matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-AnalysisLegendresches Polynom
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Uni-Analysis" - Legendresches Polynom
Legendresches Polynom < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Legendresches Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 So 23.04.2006
Autor: Sanshine

Aufgabe
Sei n [mm] \in \IN. [/mm] Das Legendresche Polynom n-ter Ordnung [mm] P_n: \IR \to \IR [/mm] ist definiert durch [mm] P_n(x):= \bruch{1}{2^n*n!}\bruch{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n] [/mm]

Beh.:
a) Für m,n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] m\not=n [/mm] gilt: [mm] \integral_{-1}^1{P_n(x)P_m(x)dx}=0 [/mm]
b) Für [mm] n\in \IN [/mm] gilt: [mm] \integral_{-1}^1{P^2_n(x)dx}=\bruch{2}{2n+1} [/mm]
c) [mm] P_n [/mm] besitzt genau n verschiedene Nullstellen im Intervall ]-1,1[.
d) [mm] P_n [/mm] genügt der sogenannten Legendreschen Differenzialgleichung
   [mm] (1-x^2)P_n''(x)-2xP_n'(x)+n(n+1)P_n(x)=0 [/mm]

Hallo allerseits.
Ich wollte fragen, ob mir vielleicht jemand helfen kann...

zu a) und b) habe ich schon alles mögliche versucht, inklusive die Umwandlung des [mm] (x^2-1)^n [/mm] in einen binomialausdruck. War ganz hübsch, hat aber nicht geholfen. Sehe ich das richtig, dass ich das ganze einfach partiell differenzieren muss, bis ich sehe dass am Ende nichts, bzw. das gewünschte übrig bleibt?

zu c) Ein Hinweis ist, dass ich den Satz von Rolle benutzen soll. Aber so ganz durchgestiegen bin ich da noch nicht, wie.

zu d) wieder ein Hinweis: Mann soll den das [mm] (x^2-1)^n [/mm] in der Definition von [mm] P_n [/mm] nach der binomischen Formel berechnen. Aber außer für den Fall, dass ich mich verrechnet habe (was nicht soo unwahrscheinlich ist), sehe ich nicht, wo das hinführen soll...

Wäre wie immer für jede Hilfestellung dankbar,
GRuß
San

        
Bezug
Legendresches Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 So 23.04.2006
Autor: pi-roland

Hallo San!

Vielleicht hilft dir ja die Beantwortung dieses Problems von vor einem halben Jahr:
  https://matheraum.de/read?i=106401

Mit freundlichen Grüßen,



Roland.

Bezug
                
Bezug
Legendresches Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 So 23.04.2006
Autor: Sanshine

Aufgabe
  Sei n $ [mm] \in \IN. [/mm] $ Das Legendresche Polynom n-ter Ordnung $ [mm] P_n: \IR \to \IR [/mm] $ ist definiert durch $ [mm] P_n(x):= \bruch{1}{2^n\cdot{}n!}\bruch{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n] [/mm] $

Beh.:
a) Für m,n $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ [mm] m\not=n [/mm] $ gilt: $ [mm] \integral_{-1}^1{P_n(x)P_m(x)dx}=0 [/mm] $
b) Für $ [mm] n\in \IN [/mm] $ gilt: $ [mm] \integral_{-1}^1{P^2_n(x)dx}=\bruch{2}{2n+1} [/mm] $
c) $ [mm] P_n [/mm] $ besitzt genau n verschiedene Nullstellen im Intervall ]-1,1[.
d) $ [mm] P_n [/mm] $ genügt der sogenannten Legendreschen Differenzialgleichung
   $ [mm] (1-x^2)P_n''(x)-2xP_n'(x)+n(n+1)P_n(x)=0 [/mm] $  

Vielen Dank für die Antwort.
Habe es jetzt oberflächlich versucht, nachzuvollziehen und werde mir das natürlich noch in aller Ausführlihckeit anschauen, denke aber jetzt schon, dass ich es nicht verstehen werde. Angefangen bei der Sache, [mm] P_m [/mm] einfach mit [mm] x^m [/mm] zu ersetzen....
Wäre nett, wenn mir noch jemand weiter weiterhelfen könnte. Aber - sicherheitshalbe noch mal nachgefragt, sollte mich doch die Erleuchtung noch packen: Die alte Aufgabe würde mir doch nur bei a) helfen, oder?
Mit verwirrten Gruß,
San

Bezug
                        
Bezug
Legendresches Polynom: Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 Mo 24.04.2006
Autor: banachella

Hallo!

Tatsächlich wird im alten Thread nur die erste Frage behandelt. Zu deiner Frage, warum man [mm] $P_m$ [/mm] durch [mm] $x^m$ [/mm] ersetzen kann: [mm] $P_m$ [/mm] hat ja eine Darstellung [mm] $P_m(x)=\summe_{k=0}^ma_k x^k$. [/mm] Wenn du jetzt zeigen kannst, dass [mm] $\int_{-1}^1x^kP_n(x)dx=0$ [/mm] für alle $k<n$, und es gilt $m<n$, dann folgt: [mm] $\int_{-1}^1P_m(x)P_n(x)dx=\summe_{k=0}^ma_k\int_{-1}^1x^k P_n(x)dx=0$. [/mm]
Jetzt noch ein paar Tipps für die anderen Fragen:

b) Versuch's hier auch mal mit part. Integration wie in a)!

c) Grundsätzlich treten bei einem reellen Polynom komplexe Nullstellen in komplex-konjugierten Paaren auf. Ist also [mm] $\alpha\in\IC\setminus\IR$ [/mm] eine Nullstelle, so ist auch [mm] $\bar\alpha$ [/mm] eine Nullstelle. Für reelle $x$ ist dann [mm] $(x-\alpha)(x-\bar\alpha)\ge [/mm] 0$.
Jetzt nimm an, das Polynom [mm] $P_n$ [/mm] hat nur $m<n$ reelle Nullstellen von ungerader Vielfachheit. Bezeichne diese mit [mm] $x_1,\dots,x_m$. [/mm] Jetzt betrachte [mm] $(x-x_1)\cdots(x-x_m)P_n(x)$. [/mm] Was gilt für dieses Polynom? Und was passiert, wenn du [mm] $\int_{-1}^1(x-x_1)\cdots(x-x_m)P_n(x)dx$ [/mm] bildest?

d) Hast du hier schon mal versucht ein bisschen rumzurechnen? Poste doch mal deine Versuche!

Gruß, banachella

Bezug
                                
Bezug
Legendresches Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:55 Mo 24.04.2006
Autor: Sanshine

Vielen, vielen lieben Dank von meiner Seite, habe jetzt meine Aufgaben - zwar unvollständig  aber wenigstens irgendwie - abgegeben.
Ehrlich gesagt, hatte ich wenig zeit um rumzurechnen, wg Klausuren und ähnlichem, versuche, alles mögliche nachzuholen. Werde jetzt in aller Ruhe den Zettel noch mal richtig durchrechnen und bearbeiten:-)
Vielen Dank noch mal an alle Helfer,
San

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]