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Forum "Lineare Abbildungen" - Lineare Abbildungen
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Lineare Abbildungen: Linearität von Abb. bestimmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:53 Do 20.01.2005
Autor: manxx

Hallo,

Wie besimme ich allgemein die Linearität einer Abbildung?
Beispielsweise wie würde ich bei folgenden Abb. vorgehen?

f: [mm] \IR2 [/mm] -> [mm] \IR3 [/mm]
f:(x,y) =  [mm] \pmat{ y \\ -x -y \\ -x } [/mm]

und


g: [mm] \IR3 [/mm] -> [mm] \IR2 [/mm]
g:(x,y,z) =  [mm] \pmat{ -x +z \\ 2x +y -z } [/mm]


Gruß!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Do 20.01.2005
Autor: DaMenge

Hi,

du musst einfach folgende zwei Bedingungen überprüfen:
1) [mm] F(\vektor{x_1\\y_1}+\vektor{x_2\\y_2})=F(\vektor{x_1\\y_1})+F(\vektor{x_1\\y_1}) [/mm]
2) [mm] F(\lambda *\vektor{x\\y})=\lambda *F(\vektor{x\\y}) [/mm]

einfach allgmein ansetzen und schauen, ob man es umformen kann !
schreib mal auf, wie weit du kommst!

um zu zeigen, dass eine Abbildung NICHT linear ist, reicht es natürlich Gegenbeispiele zu finden !

viele Grüße
DaMenge

Bezug
                
Bezug
Lineare Abbildungen: hmm
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Do 20.01.2005
Autor: manxx

also ich habe ehrlich gesagt nicht wirklich die ahnung.

wie soll ich denn das machen? (bei den 2 beispielen)



Bezug
                        
Bezug
Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Do 20.01.2005
Autor: DaMenge

ok,
du musst wirklich nur einsetzen:
eins mache ich dir mal ein bischen vor:
zu f:
$ [mm] f(\vektor{x_1\\y_1}+\vektor{x_2\\y_2})=f(\vektor{x_1+x_2\\y_1+y_2}) [/mm] $
und nach definition von f :
$ [mm] =\vektor{ y_1+y_2 \\ -(x_1+x_2) -(y_1+y_2)\\ -(x_1+x_2)} [/mm] $
dies darf man dann im R² umformen zu:
$ [mm] =\vektor{ y_1+y_2 \\ -x_1-x_2 -y_1 -y_2\\ -x_1-x_2}=\vektor{y_1 \\ -x_1 -y_1 \\ -x_1}+\vektor{y_2 \\ -x_2 -y_2\\ -x_2} [/mm] $
und dies ist das selbe (wenn man wieder die Definition von f verwendet) wie $ [mm] f(\vektor{x_1\\y_1})+f(\vektor{x_1\\y_1}) [/mm] $

also ist die erste Eigenschaft einer linearen Abbildung damit erfüllt, den rest schaffst du bestimmt alleine - schreib deine Versuche ruhig hier hin !

viele Grüße
DaMenge

Bezug
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