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Maximum auf der Einheitsscheib: Korrektur,Tipp,Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 Fr 09.09.2022
Autor: nkln

Aufgabe
Berechnen Sie das Maximum und Minimum von $| [mm] e^{z^2+2z}|$ [/mm] auf [mm] $\overline{ \mathbb E}$. [/mm]

Ich habe leider keinerlei Ansatz bzw. Idee, wie ich das machen soll.
Soll ich den Satz vom Maximums-Prinzip anwenden oder hat das irgendwas mit der Möbius-transfromation zu tun, ich habe wirklich keinerlei Ansatz..:/

        
Bezug
Maximum auf der Einheitsscheib: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Fr 09.09.2022
Autor: fred97


> Berechnen Sie das Maximum und Minimum von [mm]| e^{z^2+2z}|[/mm] auf
> [mm]\overline{ \mathbb E}[/mm].
>  Ich habe leider keinerlei Ansatz
> bzw. Idee, wie ich das machen soll.
>  Soll ich den Satz vom Maximums-Prinzip anwenden oder hat
> das irgendwas mit der Möbius-transfromation zu tun, ich
> habe wirklich keinerlei Ansatz..:/  

Die Aufgabe stinkt geradezu nach Maximumprinzip.

Bezug
                
Bezug
Maximum auf der Einheitsscheib: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:49 Sa 10.09.2022
Autor: nkln

Hi Fred,

also ich habe jetzt raus

[mm] $|e^{z^2+2z}| [/mm] $hat ein Minimum bei $z= -1$. Sprich auf dem Rand.

Dazu habe ich 1.Fall [mm] $f(z)=e^{z^2+2z}$ [/mm] und 2.Fall [mm] $g(z)=-e^{z^2+2z}$ [/mm] betrachtet.

1.Fall [mm] $f(z)=e^{z^2+2z}$ [/mm]

[mm] $f'(z)=(2z+2)\cdot{}e^{z^2+2z} [/mm] =0$, da [mm] $e^{z^2+2z}>0$ [/mm] , muss $(2z+2)=0 $sein, also $z=-1$ . Nun ist $f''(z)= [mm] e^{z^2+2z}((2z+2)^2+2)$ [/mm] und mit $z=-1$ ist [mm] $f''(-1)=\frac{2}{e}>0$ [/mm] ein lokales Minimum.

2.Fall [mm] $g(z)=-e^{z^2+2z}$ [/mm]
[mm] $g'(z)=-(2z+2)\cdot{}e^{z^2+2z} [/mm] =0, da [mm] e^{z^2+2z}>0$ [/mm] , muss $-(2z+2)=0$ sein, also $z=-1$ . Also ist $g''(z)= [mm] e^{z^2+2z}(-(2z+2)^2-2)$ [/mm] und mit $z=-1$ ist [mm] $g''(-1)=-\frac{2}{e}<0$ [/mm] ein lokales Maximum.

Der Satz von Max.-Min prinzip sagt ja, wenn $|f|$ innerhalb eines Gebietes ein lokales Min oder Max annimmt, dann ist $f$ konstant.

Aber $z=-1$ ist ja auf dem Rand. Hätte ich mir die obige Rechnung sparen können und einfach sagen können

[mm] $\overline{\mathbb E}$ [/mm] ist der Abgeschlossene Einheitskreis, sprich das Innere des Kreises plus Rand und f kann stetig fortgesetzt werden auf dem Rand, da [mm] $f(z)=e^{z^2+2z}$ [/mm] holomorph auf [mm] $\overline{\mathbb E}$. [/mm]

Dann ist $|f(z)| [mm] \le \max\{|f(\zeta)|; \zeta \in \overline{\mathbb E}\}=|e^{1^2+2*1}|=e^3$ [/mm]

geht das in die richtige Richtung?

Bezug
                        
Bezug
Maximum auf der Einheitsscheib: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:48 Sa 10.09.2022
Autor: fred97


> Hi Fred,
>  
> also ich habe jetzt raus
>  
> [mm]|e^{z^2+2z}| [/mm]hat ein Minimum bei [mm]z= -1[/mm]. Sprich auf dem
> Rand.
>  
> Dazu habe ich 1.Fall [mm]f(z)=e^{z^2+2z}[/mm] und 2.Fall
> [mm]g(z)=-e^{z^2+2z}[/mm] betrachtet.
>  
> 1.Fall [mm]f(z)=e^{z^2+2z}[/mm]
>  
> [mm]f'(z)=(2z+2)\cdot{}e^{z^2+2z} =0[/mm], da [mm]e^{z^2+2z}>0[/mm] , muss
> [mm](2z+2)=0 [/mm]sein, also [mm]z=-1[/mm] . Nun ist [mm]f''(z)= e^{z^2+2z}((2z+2)^2+2)[/mm]
> und mit [mm]z=-1[/mm] ist [mm]f''(-1)=\frac{2}{e}>0[/mm] ein lokales Minimum.
>
> 2.Fall [mm]g(z)=-e^{z^2+2z}[/mm]
>  [mm]g'(z)=-(2z+2)\cdot{}e^{z^2+2z} =0, da e^{z^2+2z}>0[/mm] , muss
> [mm]-(2z+2)=0[/mm] sein, also [mm]z=-1[/mm] . Also ist [mm]g''(z)= e^{z^2+2z}(-(2z+2)^2-2)[/mm]
> und mit [mm]z=-1[/mm] ist [mm]g''(-1)=-\frac{2}{e}<0[/mm] ein lokales
> Maximum.
>
> Der Satz von Max.-Min prinzip sagt ja, wenn [mm]|f|[/mm] innerhalb
> eines Gebietes ein lokales Min oder Max annimmt, dann ist [mm]f[/mm]
> konstant.
>  
> Aber [mm]z=-1[/mm] ist ja auf dem Rand. Hätte ich mir die obige
> Rechnung sparen können und einfach sagen können
>  
> [mm]\overline{\mathbb E}[/mm] ist der Abgeschlossene Einheitskreis,
> sprich das Innere des Kreises plus Rand und f kann stetig
> fortgesetzt werden auf dem Rand, da [mm]f(z)=e^{z^2+2z}[/mm]
> holomorph auf [mm]\overline{\mathbb E}[/mm].
>  
> Dann ist [mm]|f(z)| \le \max\{|f(\zeta)|; \zeta \in \overline{\mathbb E}\}=|e^{1^2+2*1}|=e^3[/mm]
>  
> geht das in die richtige Richtung?

Nein.  Überall behandelst Du f wie eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen.

Das fängt schon mit dem Betrag an.....




Bezug
                        
Bezug
Maximum auf der Einheitsscheib: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 So 11.09.2022
Autor: HJKweseleit

Du hast erkannt, dass das Min/Max auf dem Rand liegen muss. Also betrachtest du alle z, die auf dem Rand liegen: Setze [mm] z=e^{i\varphi}. [/mm]

Bezug
        
Bezug
Maximum auf der Einheitsscheib: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:07 Mo 12.09.2022
Autor: fred97

Ich gebe Dir mal einen Anschub.

Sei $f(z):=  | [mm] e^{z^2+2z}| [/mm] $.

Weiter sei $z=x+iy$ und $|z|=1$, also [mm] x^2+y^2=1. [/mm]

Zeige:

   $f(z)= [mm] e^{g(x)},$ [/mm]

wobei [mm] $g(x)=2x^2+2x-1$ [/mm]

Beachte hierbei

1. für w [mm] \in \IC [/mm] ist [mm] |e^w|= e^{Re(w)} [/mm]

und

2. [mm] y^2=1-x^2. [/mm]

Bestimme M: = [mm] \max \{g(x): x \in [-1,1]\} [/mm] und m: = [mm] \min \{g(x): x \in [-1,1]\}. [/mm]

Maximum bzw. Minimum von f auf  [mm] $\partial \mathbb [/mm] E$ sind dann [mm] e^M [/mm] bzw [mm] e^m. [/mm]



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