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Methode der kleinsten Quadrate: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 Mo 03.09.2018
Autor: Ataaga

Aufgabe
Eine als konstant angenommene Temperatur T wird N-Mal gemessen und es liegen zufällige Messabweichungen mit der Standartabweichung σT vor. Für das Messsignal gilt yi=T+εi, wobei εi die zufällige Messabweichung des Wertes yi darstellt.
Leiten Sie Formel zur Berechnung von T mit der Methode der kleinsten Quadrate her.

Ich habe bei der Aufgabe überhaup kein Plan.
Kann mir bitte jemand bei der Lösung helfen...
Ich muss die Aufgabe morgen abgeben...

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:https://www.onlinemathe.de/forum/Methode-der-kleinsten-Quadrate-28
Beste Grüße

        
Bezug
Methode der kleinsten Quadrate: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Mo 03.09.2018
Autor: HJKweseleit


> Eine als konstant angenommene Temperatur T wird N-Mal
> gemessen und es liegen zufällige Messabweichungen mit der
> Standartabweichung σT vor. Für das Messsignal gilt
> yi=T+εi, wobei εi die zufällige Messabweichung des
> Wertes yi darstellt.
>  Leiten Sie Formel zur Berechnung von T mit der Methode der
> kleinsten Quadrate her.

T ist unbekannt und soll so gewählt werden, dass die Summe der Abweichungsquadrate minimal wird. Ob das dann die tatsächliche Temperatur ist, weiß man immer noch nicht, aber dieses Ergebnis liegt dann sehr nahe am tatsächlichen Wert.

Gewünscht: [mm] \summe_{i=1}^{n} \varepsilon_i^2 [/mm]  minimal [mm] \gdw \summe_{i=1}^{n} (y_i-T)^2 [/mm] minimal.

Die [mm] y_i [/mm] sind Messwerte und damit feststehend. T ist sozusagen variabel und soll eben so gewählt werden, dass diese Summe minimal wird. Also leitest du den Ausdruck nach T ab und setzt das Ergebnis 0. Dazu brauchst du entweder die Kettenregel, oder du benutzt die binom. Formel und rechnest die Klammer vorher aus.

Bezug
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