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Forum "Stochastik" - Mittelwert, dass ein Auto ein anderes überholt....
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Mittelwert, dass ein Auto ein anderes überholt....: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:07 Sa 29.05.2004
Autor: Marcel

Hallo zusammen,
ich bin gerade etwas verwirrt (worden), und hoffe, ihr könnt einem verwirrten Studenten dabei helfen, eine Schulaufgabe zu lösen (Aufgabe eines Nachhilfeschülers) ;-), deswegen steht sie auch im Schülerforum...
Ich denke wahrscheinlich ;-) zu kompliziert, aber irgendwo verliere ich einfach den Überblick.

Die Aufgabe lautet wie folgt:
Es ist eine Strecke von 10km vorgegeben. Ein Auto A fährt 100km/h. Ein Auto B, was zeitgleich mit Auto A startet, fährt 80km/h. Nach 5km beschleunigt Auto B auf ? km/h (Beschleunigung soll wahrscheinlich vernachlässigt werden).
Dann kam irgendetwas mit:
Mittelwert davon, dass Auto B Auto A überholt...
So, mehr wurde vom Lehrer nicht zu der Aufgabe gesagt.

Tolle Aufgabe. Zuerst hab ich mich gefragt: Wozu braucht man denn da überhaupt einen Mittelwert? Wo ist der Sinn davon, wenn man den kennt?
Naja, nicht alles muss Sinn machen bei Aufgaben, aber vielleicht erkennt ja von euch jemand einen Sinn in dieser Aufgabe?

Ich habe mir jetzt einmal folgendes überlegt:
Für die 5km braucht Auto A ja 3 Minuten:  
[mm] 100\frac{km}{h}*t_A=5km \gdw t_A=\frac{5}{100}*60min \gdw t_A=3min[/mm]
;-)

In dieser Zeit ist Auto B dann [mm]\frac{4}{5}*5km=4km[/mm] gefahren. Um wieder 5km zu fahren, braucht Auto A dann wieder 3 Minuten. D.h. irgendwie:
$P(t > 3)=0$, wenn t der Zeitpunkt ist, wo A und B "nebeneinander" sind, und $P$ die Wahrscheinlichkeit angibt, dass Auto B Auto A  (innerhalb der 10km) überholt. Andererseits ist $P(0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 3)=1$, denn wenn weniger als 3 Minuten vergehen, bis A und B nebeneinander stehen, dann überholt B mit Sicherheit A.

So, und nun stellt sich mir die Frage:
Wie geht es nun mit dem Mittelwert (Erwartungswert?) weiter?
Ich weiß momentan irgendwie nicht, worauf der Lehrer hinaus will. Aber interessieren tut mich die Lösung dieser Aufgabe auch :-)
Aber ich will meinem Nachhilfeschüler ja auch irgendwie eine vernünftige Lösung anbieten können...

Achja, ich sag's lieber gleich:
Es kann sein, dass ich erst morgen wieder die Möglichkeit habe, im Forum nachzugucken oder erst heute abend (das weiß ich noch nicht). Nur, falls sich jemand wundert, warum ich mich solange nicht zurückmelde ;-)

Viele Grüße
Marcel

        
Bezug
Mittelwert, dass ein Auto ein anderes überholt....: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:12 Sa 29.05.2004
Autor: Marcel

Hallo nochmal,
achja, ich muss eines etwas genauer erläutern:

> ... wenn t der Zeitpunkt ist, wo A und B nebeneinanderstehen...

Mit diesem t meine ich eigentlich den Zeitpunkt, nachdem die ersten 3 Minuten vergangen sind. D.h., wenn A 5 km gefahren ist, ist t=0 und wenn A dann 10km gefahren ist, ist t=3. Hoffe, dass das einigermaßen verständlich ist...

Viele Grüße
Marcel

Bezug
        
Bezug
Mittelwert, dass ein Auto ein anderes überholt....: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Sa 29.05.2004
Autor: Oliver

Hallo Marcel,

die Aufgabenstellung ist in der Tat etwas bescheiden. Von der Modellierungseite her würde ich folgenden (von Deinem etwas abweichenden) Ansatz wählen:

Auto B hat die 5 Kilometer  in 3,75 min zurück gelegt, in der gleichen Zeit hat Auto B bereits 6,25 Kilometer zurück gelegt. Für die restlichen 3,75 Kilometer benötigt Auto B noch 2,25 min. Damit Auto A Auto B einholt muss es also die restlichen B Kilometer in mindestens 2,25 min zurück gelegen, das entspricht einer Geschwindigkeit von mindestens 133 1/3 km/h.

Die Geschwindigkeit $X$, auf die Auto B beschleunigt, ist ja hier die "Zufallsvariable". Abgesehen davon, dass wir hier von keine Verteilung (Idee: gleichmäßig verteilt auf dem Intervall [mm] $(80,x_{max}]$) [/mm] kennen:

Wenn ich die Zufallsvariable $U$ so definiere, dass sie $1$ ist wenn B A überholt (also $X>133 [mm] \frac{1}{3}$ [/mm] ist) und ansonsten $0$ ist, dann ist der gesuchte "Mittelwert, dass B A überholt" genau der Erwartungswert von $U$ ... etwas komplizierte Konstruktion, zumal Du ja auch einfach $P(X>133 [mm] \frac{1}{3}) [/mm] $ berechnen kannst um das gleiche Ergebnis zu erhalten, aber dann passt es zumindest zu der Formulierung des Lehrers.

Hoffe, das hilft Dir zumindest ein bisschen weiter. Vielleicht bringt ja auch die exakte Formulierung der Fragestellung etwas Licht in den Sinn der Aufgabe ...

Bye
Oliver

Bezug
                
Bezug
Mittelwert, dass ein Auto ein anderes überholt....: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:34 Sa 29.05.2004
Autor: Marcel

Hallo Oliver,
vielen Dank erstmal :-)

> die Aufgabenstellung ist in der Tat etwas bescheiden. Von der
> Modellierungseite her würde ich folgenden (von Deinem etwas
> abweichenden) Ansatz wählen:

> Auto B hat die 5 Kilometer  in 3,75 min zurück gelegt, in der gleichen Zeit
> hat Auto B bereits 6,25 Kilometer zurück gelegt. Für die restlichen 3,75
> Kilometer benötigt Auto B noch 2,25 min. Damit Auto A Auto B einholt
> muss es also die restlichen B Kilometer in mindestens 2,25 min zurück
> gelegen, das entspricht einer Geschwindigkeit von mindestens 133 1/3
> km/h.

Hm, hier musste ich zwar etwas überlegen, weil du einmal Auto B geschrieben hast, aber A gemeint hast, aber keine Angst, ich weiss, was du meinst ;-)
Ja, stimmt, so wie ich das hier formuliert hatte, beschleunigt Auto B ja nach (seinen) 5km, dann kommt man auf 3,75 Minuten. Es kann jetzt sein, dass in der Aufgabe eigentlich gesagt wurde, dass Auto B dann beschleunigt, wenn Auto A 5km gefahren ist. Deswegen hatte ich mit den 3 Minuten gerechnet. Es kann aber auch sein, dass die Aufgabe tatsächlich so gesagt worden war, wie ich sie hier hineingestellt habe und ich beim Rechnen einfach nicht aufgepasst habe. Ich müsste dafür mit dem Lehrer persönlich sprechen, denn die Aufgabe wurde nur stichwortartig (siehe unten) notiert, der Rest vom Lehrer gesagt; und das hat mir dann mein Nachhilfeschüler gesagt, was der Lehrer gesagt hat (haben soll ;-)).

Aber ich komme damit schon klar. Nehmen wir einfach an, sie sei so formuliert gewesen, wie sie jetzt hier steht, und rechnen wir damit weiter.  Ich kann das ganze dann ja einfach analog übertragen, falls die Aufgabe anders vom Lehrer formuliert gewesen sein sollte :-)

> Die Geschwindigkeit $X$, auf die Auto B beschleunigt, ist ja hier
> die "Zufallsvariable". Abgesehen davon, dass wir hier von keine
> Verteilung (Idee: gleichmäßig verteilt auf dem Intervall [mm] (80,$x_{max}$] [/mm] )
> kennen:

> Wenn ich die Zufallsvariable $U$ so definiere, dass sie $1$ ist wenn B A
> überholt (also $X > [mm] 133\frac{1}{3}$ [/mm] ist) und ansonsten $0$ ist, dann ist
> der gesuchte "Mittelwert, dass B A überholt" genau der Erwartungswert
> von $U$ ... etwas komplizierte Konstruktion, zumal Du ja auch einfach
> $P(X > [mm] 133\frac{1}{3})$ [/mm] berechnen kannst um das gleiche Ergebnis zu
> erhalten, aber dann passt es zumindest zu der Formulierung des
> Lehrers.

Okay, mit der Idee der Gleichverteilung scheint das ja irgendwie hinzuhauen ;-)

> Hoffe, das hilft Dir zumindest ein bisschen weiter. Vielleicht bringt ja
> auch die exakte Formulierung der Fragestellung etwas Licht in den Sinn
> der Aufgabe ...

Das wär schön, wenn sie es täte. Soll ich dir mal die Aufgabe exakt, so wie sie in dem Heft des Schülers stand, hinschreiben (bzw. den Versuch starten, das ganze so exakt wie möglich hinzuschreiben, da ich das ganze aus meinem Gedächtnis reproduzieren muss)?
Hier ist sie:

Aufgabe zum Mittelwert:
Auto A: 100km/h
Auto B: 80km/h
Nach 5km:
Auto B: ? km/h

Den Rest der Formulierung der Aufgabe habe ich mir dann von meinem Nachhilfeschüler sagen lassen; leider kann die Aufgabe auch schon dadurch etwas verfälscht worden sein. Aber der Lehrer hätte die Aufgabe ja auch in einem vernünftigen Text verfassen können. Ich frage mich, warum er die Aufgabe nur stichwortartig aufgeschrieben hat.

Auf jeden Fall vielen Dank für deine Idee :-).
Ich guck mir das ganze morgen mal in Ruhe genauer an und werde ggf. nochmals nachfragen, falls mir etwas unklar ist.

Viele Grüsse
Marcel

Bezug
                
Bezug
Mittelwert, dass ein Auto ein anderes überholt....: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:24 So 30.05.2004
Autor: Marcel

Hallo Oliver,
so, nachdem ich mir jetzt 5 Minuten Zeit genommen habe, das ganze nochmal zu durchdenken, bin ich jedenfalls zu der Ansicht gekommen, dass deine Lösung vernünftig ist ;-)
Allerdings frage ich mich, ob der Lehrer das wirklich so meinte? Aber das weiß nur der Lehrer ;-)
Ich werde das ganze noch einmal ordentlich aufschreiben und versuchen, es meinem Nachhilfeschüler etwas näher zu bringen.
Also vielen Dank (ich weiß, es ist schon das dritte Mal ;-))!
Ich bin mal gespannt, was der Lehrer bei der Aufgabe eigentlich als Lösung erwartet (hat) ;-)

Viele Grüße
Marcel

Bezug
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