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Mittlere Änderungsrate: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 So 16.01.2011
Autor: KarlMarx

Das Wachstum eines Baumes wird näherungsweise von der Funktion $f(x) = [mm] \frac{1}{2}x^2$ [/mm] im Intervall $[0; 3]$ beschrieben ($x$ in Jahren, $y$ in Metern).

a) Bestimme die Höhe des Baumes in Halbjahresintervallen und lege eine Tabelle dazu an.

b) Wie groß ist der Höhenunterschied des Baumes vom ersten zum fünften halben Jahr? Welche durchschnittliche Wachstumgeschwindigkeit hat er in dieser Zeit?

c) Wie schnell wächst der Baum durchschnittlich im ersten, zweiten und im dritten Jahr?

d) Wie hoch ist die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit über die gesamten drei Jahre?

        
Bezug
Mittlere Änderungsrate: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 Mo 17.01.2011
Autor: Profi_jdr_10

[]Hier ist der Link zur Lösung


Bezug
                
Bezug
Mittlere Änderungsrate: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:49 Mo 17.01.2011
Autor: KarlMarx

Ich zitiere hier mal Profi_jdr_10s Antwort, welche mich per Nachricht erreichte:

> Hallo Kalle,
>
> Ich habe jetzt die Lösung zu der Aufgabe geschrieben.
> Das habe ich auch wieder handschriftlich gemacht.
> Ist das OK für dich, wenn ich das immer so mache?
>
> Ansonsten hatte ich mich noch gefragt, ob jede Funktion nur reele Nullstellen haben kann,
> da die biquadratische Gleichung nur > zwei Nullstellen hatte, weil die anderen beiden
> Lösungen eine negative Diskriminante beinhalteten.
> Und ich wusste nicht genau was dieses Zeichen bedeutet: [mm] $\cap$ [/mm]
> Kann mir aber denken, dass es etwas mit gleichsetzen zu tun hat.
>
> Bis dann, Julian.


Ich (und die meisten anderen hier wahrscheinlich auch) würde es bevorzugen, wenn Du Deine Lösungen im üblichen Code direkt hier als Antwort einstellst und keine Handschriften hochlädst. Das hat mindestens drei entscheidene Vorteile:
1. Es läßt sich alles wunderbar lesen.
2. Du lernst, mit dem Code umzugehen.
3. Andere User können es auch problemlos lesen und daraus lernen, Fragen stellen oder auch Hinweise geben.

Zu Deiner Frage der (reellen) Nullstellen:
Wenn Du danach fragst, hast Du anscheinend schon von der nächst größeren Zahlenmenge gehört? Das sind die Komplexen Zahlen [mm] ($\mathbb{C}$). [/mm] Abgesehen davon, dass diese Zahlenmenge normaler Weise erst in letzten Klassenstufe (und dort auch meist nicht im Grundkurs) behandelt wird, kann eine Funktion, deren Definitionsbereich die Menge der Reellen Zahlen ist, natürlich nur reelle Nullstellen besitzen.
Generell gilt: Ein Polynom $n$-ten Grades kann maximal $n$ Nullstellen besitzen, es können aber auch weniger sein (so wie bei der biquadratischen Funktion).

Zum fraglichen Zeichen:
In der Analysis bedeutet das Zeichen [mm] $\cap$ [/mm] "geschnitten". Wenn man also $f(x) [mm] \cap [/mm] g(x)$ schreibt, bedeutet das: "Funktion $f(x)$ geschnitten mit Funktion $g(x)$. Insofern hast Du Recht, wenn Du schreibst, dass es was mit Gleichsetzen zu tun hat, denn wenn man zwei Funktionen schneidet setzt man ja ihre Funktionsgleichungen gleich.

Und nun zu Deinen Lösungen:
Die Ergebnisse sind zwar alle richtig und an Aufgabenteil a) gibt es auch nichts auszusetzen. Allerdings ist Deine Schreibweise in den Aufgabenteilen b) bis d) auf jeden Fall recht absonderlich und meines Erachtens zumindest unzureichend, denn Du stellst eine Gleichung in $x$ auf. Die zu berechnende Größe ist aber mit Nichten ein $x$-Wert, sondern die Steigung einer Geraden, die die Funktion in zwei definierten Punkten schneidet (Sekante). Habt Ihr das in der Schule so gelernt? In einer Klausur würde ich für diese Schreibweise mindestens einen Punkt abziehen, aber wahrscheinlich eher zwei. Egal - nun bist Du ja hier und willst es besser machen. In jedem Fall solltest Du Dir die in Mitteleuropa allgemein übliche Schreibweise aneignen, denn die brauchst Du für die nächsten zwei Schuljahre unbedingt.

Man schreibt für Aufgabenteil b)

Höhenunterschied vom ersten zum fünften halben Jahr:

[mm] $\Delta f_{0,5 \to 2,5} [/mm] = f(x=2,5) - f(x=0,5)$

[mm] $\Delta f_{0,5 \to 2,5} [/mm] = 3,125 - 0,125$

[mm] $\Delta f_{0,5 \to 2,5} [/mm] = 3$

Der Baum wächst innerhalb dieser zwei Jahre um $3$ Meter.

Hinweis dazu: Das Zeichen [mm] $\Delta$ [/mm] (sprich Delta) ist ein großes griechisches D und steht für Differenz, welche ja gebildet wird.


Mittlere Wachstumsgeschwindigkeit in diesem Zeitraum:

Die mittlere Änderungsrate einer Funktion im Intervall $[a; b]$ ist durch folgenden Quotienten definiert: [mm] $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} [/mm] = [mm] \frac{f(x=b) - f(x=a)}{b-a}$. [/mm]

Die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit ist genau so eine mittlere Änderungsrate, denn sie gibt an, um wieviel Meter der Baum in einem bestimmten Zeitintervall ($x$-Intervall) durchschnittlich wächst. Wir schreiben also für den Zeitraum von $x=0,5$ bis $x=2,5$:

[mm] $\bar{v}_{0,5 \to 2,5} [/mm] = [mm] \frac{f(x=2,5) - f(x=0,5)}{2,5 - 0,5}$, [/mm]

wobei ich den etwas umständlichen Bruch [mm] $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$ [/mm] durch das [mm] $\bar [/mm] v$ ersetzt habe. Mit $v$ bezeichnet man im Allgemeinen eine Geschwindigkeit und der waagerechte Strich oben drüber bedeutet, dass es ein Durchschnittswert ist. Die Indizierung (Schreiben eines Indexes) sollte hoffentlich selbsterklärend sein - selbstverständlich kann man sie auch anders wählen aber es empfiehlt sich, überhaupt Indizes zu verwenden, da Du ja mehrere Wachstumsgeschwindigkeiten in verschiedenen Intervallen berechnest und die sollten nicht alle gleich heißen: Gib den Kindern eindeutige und möglichst leicht verständliche Namen.

Da Du in Aufgabenteil a) ja schon alle dafür notwendigen Werte berechnet hast, brauchst Du das nun nicht nochmal zu tun, sondern kannst direkt schreiben:

[mm] $\bar{v}_{0,5 \to 2,5} [/mm] = [mm] \frac{(3,125-0,125)\textrm{ m}}{(2,5-0,5)\textrm{ a}} [/mm] = [mm] 1,5\textrm{m/a}$. [/mm]

Die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit vom ersten bis zum fünften halben Jahr beträgt also $1,5$ Meter pro Jahr.


Damit solltest Du die Aufgabenteile c) und d) auch schön schreiben können und kannst Dich dann gleich am Matheraum-Code ausprobieren...

Zusatzaufgabe: Stelle bitte sowohl die Funktion als auch alle berechneten mittleren Änderungsraten in einem geeigneten Intervall in einem Koordinatensystem dar.

Gruß und einen schönen Abend, Kalle.

Bezug
                        
Bezug
Mittlere Änderungsrate: Zusatz
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:14 Mo 17.01.2011
Autor: Loddar

Hallo Kalle!


> Das hat mindestens drei entscheidene Vorteile:
>  1. Es läßt sich alles wunderbar lesen.
>  2. Du lernst, mit dem Code umzugehen.
>  3. Andere User können es auch problemlos lesen und daraus
> lernen, Fragen stellen oder auch Hinweise geben.

4. Man kann auch direkt Korrekturen vornehmen, ohne die Tipparbeit auf den Helfenden abzuwälzen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Mittlere Änderungsrate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:25 Mo 17.01.2011
Autor: KarlMarx

Moin Loddar!

Richtig! Danke.

Bezug
                        
Bezug
Mittlere Änderungsrate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:09 Di 18.01.2011
Autor: Profi_jdr_10

c)
Im 1. Jahr: [mm]\Delta f_{0\to 1} = f (x= 1 ) - f (x=0)[/mm]
          [mm]\gdw \Delta f_{0\to 1} = 0,5[/mm]
Im 2. Jahr: [mm] \Delta f_{1\to 2} = f (x= 2) - f (x=1)[/mm]
          [mm]\gdw \Delta f_{1\to 2} = 1,5[/mm]
Im 3. Jahr: [mm] \Delta f_{2\to 3} = f (x= 3) - f (x=2)[/mm]
                   [mm] \gdw \Delta f_{2\to 3} = 2,5[/mm]

d)
[mm]\bar{\nu} _{0 \to 3} = \frac{f ( x=3) (m)}{3 (Jahre)}[/mm]

[mm]\gdw \bar{\nu} _{0 \to 3} = \frac{4,5 (m)}{3 (Jahre)}[/mm]

[mm]\gdw \bar{\nu} _{0 \to 3} = 1,5 ( m/Jahr)[/mm]


Das ist nochmal die korrekte Schreibweise für c) und d).
Das Koordinatensystem zeichne ich und werde es dann noch einscannen.
        


Bezug
        
Bezug
Mittlere Änderungsrate: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Di 18.01.2011
Autor: Profi_jdr_10

Hier ist das Koordinatensystem: []Klick mich


Bezug
                
Bezug
Mittlere Änderungsrate: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 Di 18.01.2011
Autor: KarlMarx

Aha, so langsam nähern wir uns ...
Allerdings ist noch nicht alles ganz richtig.

c) Hier berechnest Du nur Höhenunterschiede, weil Du lediglich - wie bei der ersten Frage zu Aufgabenteil b) - die Differenz der Funktionswerte aufstellst. Da kommt dann natürlich eine Größe in Metern heraus. Es soll aber eine Geschwindigkeit sein. Deswegen mußt Du wie bei der zweiten Frage von Aufgabenteil b) rechnen und den Differenzenquotienten (so heißt der Bruch [mm] $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$ [/mm] nämlich) aufstellen. Erst dann hat das Ergebnis die Einheit Meter/Jahr, was gefragt war.

d) Ist soweit richtig.

Zusatzaufgabe
Du hast zwar nur zwei Änderungsraten eingezeichnet, obwohl ich nach allen berechneten fragte, aber die beiden sind richtig. Ein Fehler hat sich dennoch eingeschlichen, und zwar bei der Funktion selbst: Du hattest in der Wertetabelle folgenden Punkt richtig bestimmt: $(2,5 | 3,125)$. In der Graphik hast Du die Parabel aber durch einen anderen Punkt gezeichnet. Er hat zwar den gleichen $x$-Wert, doch der $y$-Wert ist etwa um $0,5$ zu hoch. Deinen Punkt würde man wohl als $(2,5 | 3,625)$ ablesen und der ist nicht Bestandteil der Funktion. Die Funktion muss natürlich auch durch den rechten Punkt der cyan-farbenen mittleren Änderungsrate laufen. So ein Fehler sollte Dir beim Erstellen einer Graphik sofort auffallen: Die mittlere Änderungsrate verbindet immer zwei Punkte, welche auf dem Graphen der untersuchten Funktion liegen. Sonst ist die Gerade ja nicht die Sekante zwischen diesen beiden Punkten.

Fazit: Immer schön auf Plausibilität prüfen! Dafür bieten sich im Allgemeinen die folgenden Fragen an:
1. Hat mein Ergebnis die richtige Einheit. D.h. entspricht die Einheit, die ich herausbekomme, der Einheit der in der Aufgabe gesuchten Größe?
2. Macht mein Schaubild aus physikalischer Sichtweise Sinn? Wenn Du z.B die Parabel mit dem selben Scheitelpunkt aber nach unten geöffnet gezeichnet hättest, müsste Dir sofort auffallen: Moment, der Baum soll wachsen und nicht schrumpfen - also kann da was nicht stimmen.
3. Paßt das Schaubild zu meiner Rechnung? D.h. passen die Funktionsgraphen zu ihren Gleichungen und passen die einzelnen Graphen zueinander?

Soweit erstmal. Gruß, Kalle.

Bezug
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