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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Modifizierte Übergangsmatrix
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Modifizierte Übergangsmatrix: Idee, Tipp, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Sa 18.04.2015
Autor: Tabs2000

Aufgabe
Bestimmen Sie die modifizierte Übergangsmatrix:

Es wandern jährlich 5 % der Alttiere einer Gecko-Art von Region B nach Region A. 10 % der Jungtiere wandern von
Region A nach Region B über. Die  hohe Anpassungsfähigkeit der Geckos führt
dazu, dass sich die Tiere in ihrer Populationsentwicklung sofort den ansässigen Geckos anpassen.
a) Die Population in beiden Regionen wird durch den Vektor v= [mm] \vektor{ JA \\ SA \\ JB \\ SB } [/mm] angeben.

JA: Junge im Gebiet A
SA: Alte im Gebiet A
etc
Leiten Sie für die neue Situation einen Übergangsgraphen her.
Ermitteln Sie eine modifizierte Übergangsmatrix P und begründen Sie Ihre Vorgehensweise.

Weitere Angaben: Unterschiedliche Geckoentwicklung in den beiden noch isolierten Gebieten, aufgeteilt nach Jung-und Alttieren binnen eines Jahres:

M (für Gebiet B) = [mm] \pmat{ 0,9 & 0,2 \\ 0,4 & 0,7 } [/mm]

N (für A) = [mm] \pmat{ 0,9 & 0,3 \\ 0,1 & 0,7 } [/mm]


Wie kann man nun die Matrix anpassen? Es muss sich auf jeden Fall um eine 4x4-Matrix handeln, da der Vektor aus vier Zeilen bestehen soll.
Meine Idee:

O= [mm] \pmat{ 0,81 & 0,3 & 0 & 0 \\ 0,09 & 0,7 & 0 & 0,05 \\ 0,1 & 0 & 0,9 & 0,19 \\ 0 & 0 & 0,4 & 0,665 } [/mm]

Also 10% der Jungtiere aus A werden zu JB -> siehe 0,1 als Element m31
Dann hab ich gedacht: Ja, wenn 10% von allen Jungen aus A zu B übergehen, bleiben quasi 90% übrig. Folglich rechne ich 0,9 (denn so viele bleiben laut der Matrix vom noch isolierten Bereich oben) * 0,9 ( der Rest) = 0,81 und dasselbe beim Übergang von JA -> SA: 0,1 * 0,9 = 0,09, weil 90% derer, die vorher zu SA wurden nur noch zu SA werden können, da 10% aller JA innerhalb eines Jahres ja zu JB werden.
Dasselbe hab ich auch bei SB gemacht, mit dem Unterschied, dass ich da 0,95 als Faktor verwendet habe, da nur 5% der Alttiere aus B zu SA werden/wandern.
Also 0,95* 0,2 = 0,19 und 0,95 * 0,7 = 0,665

In den Lösungen steht aber folgendes:

O= [mm] \pmat{ 0,8 & 0,3 & 0 & 0 \\ 0,1 & 0,7 & 0 & 0,05 \\ 0,1 & 0 & 0,9 & 0,2 \\ 0 & 0 & 0,4 & 0,65 } [/mm]

Hier wurde quasi jeweils vom Element JA-> JA bzw. SB ->SB 0,1 bzw. 0,05 abgezogen, aber ich verstehe nicht, warum man das einfach machen kann, weil ja die Möglichkeit, dass Tiere überwandern auch einen Effekt auf Übergänge wie z.B. JA-> SA haben muss, da einige Tiere ja dann nicht mehr in ihrem eigentlichen Gebiet heranwachsen würden, wenn ein Prozentsatz schon als Jungtier auswandert...
Vielleicht kann mir jemand helfen...

Liebe Grüße & danke :)

        
Bezug
Modifizierte Übergangsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:05 Mo 20.04.2015
Autor: meili

Hallo,

> Bestimmen Sie die modifizierte Übergangsmatrix:
>  
> Es wandern jährlich 5 % der Alttiere einer Gecko-Art von
> Region B nach Region A. 10 % der Jungtiere wandern von
>  Region A nach Region B über. Die  hohe
> Anpassungsfähigkeit der Geckos führt
>  dazu, dass sich die Tiere in ihrer Populationsentwicklung
> sofort den ansässigen Geckos anpassen.
>  a) Die Population in beiden Regionen wird durch den Vektor
> v= [mm]\vektor{ JA \\ SA \\ JB \\ SB }[/mm] angeben.
>  
> JA: Junge im Gebiet A
>  SA: Alte im Gebiet A
>  etc
>  Leiten Sie für die neue Situation einen Übergangsgraphen
> her.
>  Ermitteln Sie eine modifizierte Übergangsmatrix P und
> begründen Sie Ihre Vorgehensweise.
>  
> Weitere Angaben: Unterschiedliche Geckoentwicklung in den
> beiden noch isolierten Gebieten, aufgeteilt nach Jung-und
> Alttieren binnen eines Jahres:
>  
> M (für Gebiet B) = [mm]\pmat{ 0,9 & 0,2 \\ 0,4 & 0,7 }[/mm]
>  
> N (für A) = [mm]\pmat{ 0,9 & 0,3 \\ 0,1 & 0,7 }[/mm]
>  
> Wie kann man nun die Matrix anpassen? Es muss sich auf
> jeden Fall um eine 4x4-Matrix handeln, da der Vektor aus
> vier Zeilen bestehen soll.

[ok]

>  Meine Idee:
>  
> O= [mm]\pmat{ 0,81 & 0,3 & 0 & 0 \\ 0,09 & 0,7 & 0 & 0,05 \\ 0,1 & 0 & 0,9 & 0,19 \\ 0 & 0 & 0,4 & 0,665 }[/mm]
>  
> Also 10% der Jungtiere aus A werden zu JB -> siehe 0,1 als
> Element m31
>  Dann hab ich gedacht: Ja, wenn 10% von allen Jungen aus A
> zu B übergehen, bleiben quasi 90% übrig. Folglich rechne
> ich 0,9 (denn so viele bleiben laut der Matrix vom noch
> isolierten Bereich oben) * 0,9 ( der Rest) = 0,81 und
> dasselbe beim Übergang von JA -> SA: 0,1 * 0,9 = 0,09,
> weil 90% derer, die vorher zu SA wurden nur noch zu SA
> werden können, da 10% aller JA innerhalb eines Jahres ja
> zu JB werden.
> Dasselbe hab ich auch bei SB gemacht, mit dem Unterschied,
> dass ich da 0,95 als Faktor verwendet habe, da nur 5% der
> Alttiere aus B zu SA werden/wandern.
> Also 0,95* 0,2 = 0,19 und 0,95 * 0,7 = 0,665

Die Übergangsmatrix gibt die Veränderung von einem Jahr zum nächsten
Jahr an. Deshalb muss in dieser Matrix nicht die Auswirkung für die
kommenden Jahre berücksichtigt werden, da dies durch wiederholtes
Anwenden der Matrix erfolgt.

Mit dem Satz "Die  hohe  Anpassungsfähigkeit der Geckos führt dazu, dass
sich die Tiere in ihrer Populationsentwicklung sofort den ansässigen
Geckos anpassen." reicht es die wandernden Gekos im Zielgebiet
auftauchen zulassen m24 = 0,05  und m31 = 0,1 und im
Abwanderungsgebiet abzuziehen m11=0,8 statt 0,9 und m44 = 0,65 statt 0,7.

>  
> In den Lösungen steht aber folgendes:
>  
> O= [mm]\pmat{ 0,8 & 0,3 & 0 & 0 \\ 0,1 & 0,7 & 0 & 0,05 \\ 0,1 & 0 & 0,9 & 0,2 \\ 0 & 0 & 0,4 & 0,65 }[/mm]
>  
> Hier wurde quasi jeweils vom Element JA-> JA bzw. SB ->SB
> 0,1 bzw. 0,05 abgezogen, aber ich verstehe nicht, warum man
> das einfach machen kann, weil ja die Möglichkeit, dass
> Tiere überwandern auch einen Effekt auf Übergänge wie
> z.B. JA-> SA haben muss, da einige Tiere ja dann nicht mehr
> in ihrem eigentlichen Gebiet heranwachsen würden, wenn ein
> Prozentsatz schon als Jungtier auswandert...
> Vielleicht kann mir jemand helfen...
>  
> Liebe Grüße & danke :)

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Modifizierte Übergangsmatrix: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:13 Mo 20.04.2015
Autor: Tabs2000

Also zuerst einmal vielen Dank für die Antwort, hatte schon die Hoffnung aufgegeben :D

Ich verstehe nicht so ganz, was die direkte Anpassung der Geckos an das Gebiet genau für eine Rolle spielt in meiner Matrix, weil ich in meiner Matrix ja nur berücksichtigen wollte, aus welcher Übergangskategorie die Geckos stammen, die wechseln...
Die Geckos, die z.B. von JA zu JB wechseln, müssen ja nicht unbedingt aus JA (m11) stammen, sondern können ja auch aus m21 (JA->SA) stammen, wenn nun weniger JA vorhanden sind, die zu SA werden können...

Ich hatte nämlich bisher auch schon mal Aufgaben gerechnet, in denen man das so rechnen musste wie ich das hier machen wollte und ich sehe nicht so ganz den Unterschied...

Bezug
                        
Bezug
Modifizierte Übergangsmatrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Mi 22.04.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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