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Hallo!
Ich habe eine kurze Frage zum Widerspruchsbeweis [mm] \sqrt{p} [/mm] ist irrational für p prim. Man geht ja so vor:
[mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] vollständig gekürzt.
[mm] $\sqrt{p} [/mm] = [mm] \frac{a}{b} \gdw p*b^{2} [/mm] = [mm] a^{2}$
[/mm]
--> p ist Teiler von [mm] a^{2} [/mm] und damit auch von a, folglich lässt sich a schreiben als a = c*p.
Dann ist [mm] $p*b^{2} [/mm] = [mm] c^{2}*p^{2}$ [/mm] und damit [mm] $p*c^{2} [/mm] = [mm] b^{2}$, [/mm] d.h. b ist auch durch p teilbar. --> Widerspruch zur Annahme, [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] sei vollständig gekürzt.
Nun meine Frage: Ist der Beweis in seiner jetzigen Fassung formal korrekt, ich habe nämlich manchmal gelesen, dass man noch die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung berücksichtigen soll, ich wüsste aber nicht, wo das hier was zu suchen hätte?
Ich bin dankbar für eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 So 18.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung setzt man dabei immer vorraus, wenn du aus p teilt [mm] a^2 [/mm] schliesst p teilt a.
Keine Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung :dann waere moeglich [mm] a^2=a*a [/mm] aber auch [mm] a^2=p*n
[/mm]
n [mm] \ne [/mm] a.
Gruss leduart
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Hallo Leduart,
danke für deine Antwort, ich glaube, ich wurde soeben erleuchtet  .
Es kann nämlich [mm] a^{2} [/mm] = p*n mit [mm] n\not= [/mm] a sein, weil wegen der fehlenden Eindeutigkeit das p nur in einer der Primfaktorzerlegungen von a vorkommen könnte, stimmts?
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 So 18.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
genau das dachte ich hab ich geschrieben?
Aber bei den Beweisen darf man die Eindeutigkeit schon eigentlich vorraussetzen, weil man sie schon endlos kann, bevor man zu reellen Zahlen kommt.
Gruss leduart
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Ok, danke leduart!!
Grüße,
Stefan.
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