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Nichtwandernde Menge finden: Wie vorgehen?
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:32 Sa 09.05.2015
Autor: mikexx

Aufgabe
Hallo, sei [mm] $X=\left\{0,1,2\right\}^{\mathbb{Z}}$ [/mm] und [mm] $T\colon X\to [/mm] X$ wie folgt:

(i) aus einer 1 wird eine 2
(ii) aus einer 2 wird eine 0
(iii) aus einer 0 wird eine 1, wenn mindestens einer ihrer beiden Nachbarn eine 1 ist, sonst bleibt sie eine 0

Aufgabe: Bestimme die nichtwandernde Menge von $T$.



Definition:

A point [mm] $x\in [/mm] X$ is nonwandering with respect to the map $T$ if for any neighborhood [mm] $U\ni [/mm] x$ there is a $N>0$ such that [mm] $T^N(U)\cap U\neq\emptyset$ [/mm] The set of all nonwandering points of $T$ is called the nonwandering set and denoted by [mm] $\Omega(T)$. [/mm]





Leider weiß ich gar nicht, wie ich [mm] $\Omega(T)$ [/mm] bestimmen kann. Hoffentlich kann und mag mir jemand weiter helfen!

Schöne Grüße

        
Bezug
Nichtwandernde Menge finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:44 Sa 09.05.2015
Autor: hippias

Ich finde die Menge interessant. Ich haette eine Frage: Wie ist die Topologie/Metrik auf $X$ definiert?

Bezug
                
Bezug
Nichtwandernde Menge finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:46 Sa 09.05.2015
Autor: mikexx

Hallo,

auf [mm] $\left\{0,1,2\right\}$ [/mm] betrachte man die diskrete Topologie und auf $X$ die zugehörige Produkttopologie. Als Subbasis für diese Produkttopologie eignen sich z.B. die Elementarzylinder

[mm] $\left\{x\in X: x(i)=a\right\}, i\in\mathbb{Z}, a\in\left\{0,1,2\right\}$. [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Nichtwandernde Menge finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:48 Sa 09.05.2015
Autor: hippias

Eine prompte Antwort! Mal sehen, ob mir etwas einfaellt.

Bezug
                                
Bezug
Nichtwandernde Menge finden: "Beobachtung"
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:52 Sa 09.05.2015
Autor: mikexx

Eine Beobachtung, bei der ich nicht weiß, ob sie relevant ist:

L beinhalte die bi-unendlichen Folgen folgender Bauart:

- Jede 1 hat rechts von sich eine 2,
- jede 2 hat rechts von sich eine 0,
- jede 0 hat rechts von sich eine 0 oder eine 1.

Dann agiert T auf L als Links-Shift.


R beinhalte die bi-unendlichen Folgen folgender Form:

- Jede 1 hat links von sich eine 2,
- jede 2 hat links von sich eine 0,
- jede 0 hat links von sich eine 0 oder eine 1.

Auf R agiert T als Rechts-Shift.

Bezug
        
Bezug
Nichtwandernde Menge finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:54 So 10.05.2015
Autor: tobit09

Hallo mikexx!


Stammt []dieser Beitrag hier auch von dir?

Ist die vorliegende Aufgabe gar keine klassische Übungsaufgabe, sondern ein selbst gestelltes Problem, das möglicherweise gar keine "schöne" Lösung besitzt?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Nichtwandernde Menge finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:58 So 10.05.2015
Autor: mikexx

Daran habe ich mich angelehnt, ist aber nicht von mir.

Ja, ist wohl keine schöne Übungsaufgabe, wo man unbedingt eine schöne Lösung finden kann...

Bezug
        
Bezug
Nichtwandernde Menge finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:15 So 10.05.2015
Autor: tobit09

Leider bin ich weit davon entfernt, dieses Problem lösen zu können.

Daher nur ein paar lose Überlegungen:


Man kann sich überlegen, dass das Bild von T genau die Menge der [mm] $x\in [/mm] X$ ist, für die "jede 1 in x mindestens eine 2 als Nachbar hat".
(Ich verzichte zunächst auf eine formale Präzisierung und hoffe, dass meine Formulierung trotzdem verständlich ist. Ansonsten kannst du gerne nachfragen.)

Das Bild von T ist abgeschlossen in $X$.

Damit kann man sich überlegen: Für [mm] $x\in X\setminus [/mm] im(T)$ gilt [mm] $x\notin\Omega(T)$. [/mm]

Mit anderen Worten: [mm] $\Omega(T)\subseteq [/mm] im(T)$.
Noch anders formuliert: Damit ein [mm] $x\in [/mm] X$ nichtwandernd ist, muss notwendigerweise jede 1 in x mindestens eine 2 als Nachbar haben.


Eine weiteres Beispiel für eine notwendige Bedingung für einen nichtwandernden Punkt ist, dass er keine drei aufeinanderfolgenden 2en enthält.


Ein Beispiel für ein [mm] $x\in\Omega(T)$ [/mm] ist gegeben durch $x(i):=0$ für alle [mm] $i\in\IZ$. [/mm]

Bezug
                
Bezug
Nichtwandernde Menge finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 So 10.05.2015
Autor: mikexx

Gilt nicht auch Folgendes:

[mm] $Y\subset\Omega(T)$, [/mm] für

[mm] $Y:=\bigcap_{n=0}^{\infty}T^n(X)$? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Nichtwandernde Menge finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 So 10.05.2015
Autor: tobit09


> Gilt nicht auch Folgendes:
>  
> [mm]Y\subset\Omega(T)[/mm], für
>  
> [mm]Y:=\bigcap_{n=0}^{\infty}T^n(X)[/mm]?

Ich sehe das gerade nicht. Warum gilt das?

Bezug
                                
Bezug
Nichtwandernde Menge finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:32 So 10.05.2015
Autor: mikexx

Also ich habe eine äquivalente Definition von [mm] $\Omega(T)$ [/mm] benutzt.

[mm] $\Omega(T):=\left\{x\in X: \text{for every neighbourhood U of x }\exists n\geq 1: U\cap T^{-n}(U)\neq\emptyset\right\}.$ [/mm]


[mm] $Y=\bigcap_{n\geq 0}T^n(X)$ [/mm] ist die Menge aller [mm] $x\in [/mm] X$, die man unendlich oft zurückentwickeln kann.

Wenn jetzt [mm] $x\in [/mm] Y$ ist und $U$ eine Umgebung von $x$ ist, dann ist [mm] $U\cap T^{-n}(U)\neq\emptyset$ [/mm] für ein $n>0$, oder ?

Bezug
                                        
Bezug
Nichtwandernde Menge finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:50 So 10.05.2015
Autor: tobit09


> Also ich habe eine äquivalente Definition von [mm]\Omega(T)[/mm]
> benutzt.
>  
> [mm]\Omega(T):=\left\{x\in X: \text{for every neighbourhood U of x }\exists n\geq 1: U\cap T^{-n}(U)\neq\emptyset\right\}.[/mm]

Ja.


> [mm]Y=\bigcap_{n\geq 0}T^n(X)[/mm] ist die Menge aller [mm]x\in X[/mm], die
> man unendlich oft zurückentwickeln kann.

Zumindest kann man sie "beliebig lang endlich oft zurückentwickeln".


> Wenn jetzt [mm]x\in Y[/mm] ist und [mm]U[/mm] eine Umgebung von [mm]x[/mm] ist, dann
> ist [mm]U\cap T^{-n}(U)\neq\emptyset[/mm] für ein [mm]n>0[/mm], oder ?

Für welches $n>0$ soll dies gelten?
Wie willst du ein Element [mm] $U\cap T^{-n}(U)$ [/mm] konstruieren (oder anders dessen Existenz beweisen)?

Bezug
                                                
Bezug
Nichtwandernde Menge finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:59 So 10.05.2015
Autor: mikexx


> > Also ich habe eine äquivalente Definition von [mm]\Omega(T)[/mm]
> > benutzt.
>  >  
> > [mm]\Omega(T):=\left\{x\in X: \text{for every neighbourhood U of x }\exists n\geq 1: U\cap T^{-n}(U)\neq\emptyset\right\}.[/mm]
>  
> Ja.
>  
>
> > [mm]Y=\bigcap_{n\geq 0}T^n(X)[/mm] ist die Menge aller [mm]x\in X[/mm], die
> > man unendlich oft zurückentwickeln kann.
>  Zumindest kann man sie "beliebig lang endlich oft
> zurückentwickeln".
>  
>
> > Wenn jetzt [mm]x\in Y[/mm] ist und [mm]U[/mm] eine Umgebung von [mm]x[/mm] ist, dann
> > ist [mm]U\cap T^{-n}(U)\neq\emptyset[/mm] für ein [mm]n>0[/mm], oder ?
> Für welches [mm]n>0[/mm] soll dies gelten?
>  Wie willst du ein Element [mm]U\cap T^{-n}(U)[/mm] konstruieren
> (oder anders dessen Existenz beweisen)?


Hm, wenn x in U ist und x in Y, gibts doch eigentlich für jedes $n>0$ ein y, sodass [mm] $T^ny=x\in [/mm] U$. Dann ist doch [mm] $y\in T^{-n}(U)$. [/mm] Achso und ich weiß nicht, ob auch [mm] $y\in [/mm] U$.


Och, menno. War wohl nichts.

Bezug
                                                        
Bezug
Nichtwandernde Menge finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:02 So 10.05.2015
Autor: tobit09


> Och, menno. War wohl nichts.

Tröste dich: Meine Ansätze haben ja auch noch keinen wirklichen Erfolg gebracht...

Bezug
                                                                
Bezug
Nichtwandernde Menge finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:06 So 10.05.2015
Autor: mikexx

Siehst du denn, ob die Mengen L und R, die ich unter "Beobachtung" hingeschrieben habe, in [mm] $\Omega(T)$ [/mm] sind?

Edit: Ich denke, sie sind es.

Zum Beispiel für L:

Sei x in L. Und sei U eine Umgebung von $x$, dann ist x in einer Zylindermenge Z, z.B. [120], die Menge aller Sequenzen, die an den Stellen 0 bis 2 die Abgolge 120 stehen haben.

Wenn ich jetzt z.B: y=.... 120012... nehme (wobei die erste 1 links an Position 0 stehen soll), dann gilt [mm] $y\in [/mm] Z$ und [mm] $T^4(y)\in [/mm] Z$. Also doch [mm] $T^4(y)\in T^4(U)$. [/mm]


Bezug
                                                                        
Bezug
Nichtwandernde Menge finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:46 So 10.05.2015
Autor: tobit09


> Siehst du denn, ob die Mengen L und R, die ich unter
> "Beobachtung" hingeschrieben habe, in [mm]\Omega(T)[/mm] sind?
>  
> Edit: Ich denke, sie sind es.

Das denke ich auch.
Allerdings werde ich zumindest heute Abend keinen exakten Beweis mehr ausarbeiten.
Solange ich das nicht getan habe, steht meine Aussage unter "Irrtumsvorbehalt".


> Zum Beispiel für L:
>  
> Sei x in L. Und sei U eine Umgebung von [mm]x[/mm], dann ist x in
> einer Zylindermenge Z, z.B. [120], die Menge aller
> Sequenzen, die an den Stellen 0 bis 2 die Abgolge 120
> stehen haben.

Du meinst sicherlich, dass wir eine solche Zylindermenge Z mit der zusätzlichen Eigenschaft [mm] $Z\subseteq [/mm] U$ wählen.


> Wenn ich jetzt z.B: y=.... 120012... nehme (wobei die erste
> 1 links an Position 0 stehen soll),

und die Pünktchen für 0en stehen

> dann gilt [mm]y\in Z[/mm] und
> [mm]T^4(y)\in Z[/mm]. Also doch [mm]T^4(y)\in T^4(U)[/mm].

Am Ende soll es wohl [mm] $y\in [/mm] U$ und [mm] $T^4(y)\in [/mm] U$ (also [mm] $y\in U\cap T^{-4}(U))$ [/mm] heißen.

Ja, für dieses Beispiel passt es.

Ein exakter Beweis müsste natürlich mit beliebig vorgegebenen [mm] $x\in [/mm] L$ und $U$ arbeiten.

Insbesondere wäre dafür wohl zu präzisieren und zu überlegen, dass es zu jedem [mm] $x\in [/mm] L$ stets möglich ist, jedes "endliche Mittelstück" "nach rechts zu kopieren", ohne $L$ zu verlassen (was mir sehr plausibel erscheint, ich jedoch noch nicht ganz exakt verifiziert habe).

Bezug
        
Bezug
Nichtwandernde Menge finden: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mo 11.05.2015
Autor: matux

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