Operation, Normalteiler, Bahn < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:21 So 24.10.2004 | | Autor: | Sinchen2306 |
Hallo zusammen.
Hab da dann doch noch mal ne Frage(vielen Dank nochmal für die tollen Antworten auf die anderen Fragen!)
Sei G eine Gruppe und Sub(G) die Menge der Untergruppen von G.
Man zeige:
1. r: G x Sub(G) [mm] \to [/mm] Sub(G), (g,H) [mm] \mapsto gHg^{-1} [/mm] definiert eine Operation von G auf Sub(G).
2. Die Bahn durch ein Element H [mm] \in [/mm] Sub(G) besteht genau dann aus einem Element, wenn H ein Normalteiler von G ist.
3. Falls G eine p-Gruppe ist, so ist die Differenz aus der Anzahl der Untergruppen und der Anzahl der normalen Untergruppen durch p teilbar.
Wär echt toll, wenn ihr mir da irgendwie weiterhelfen könntet.
Liebe Grüße,
Sina
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Hallo Sina!
Ich versuche mal, ein paar Hinweise zu geben - in Aktion treten mußt Du dann selbst! 
Also zu Nummer 1:
Eine Operation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung $G [mm] \times [/mm] M [mm] \to [/mm] M$ mit den Eigenschaften:
i) $e [mm] \circ [/mm] x = x$ für alle $x [mm] \in [/mm] M$. (Dabei ist $e$ das neutrale Element von $G$)
ii) $g [mm] \circ [/mm] (h [mm] \circ [/mm] x) = (g [mm] \circ [/mm] h) [mm] \circ [/mm] x$ für $g,h [mm] \in [/mm] G$ und $x [mm] \in [/mm] M$.
Diese Eigenschaften im vorliegenden Fall nachzurechnen sollte nicht allzu schwer sein.
Zu Nummer 2: schlage die Definition eines Normalteilers nach. Dann ist die Aufgabe auch schon gelöst, denn die Bahn eines Elementes $x [mm] \in [/mm] M$ ist ja definiert als: [mm] $\{ g \circ x : g \in G \}$. [/mm] Klar ist nach Eigenschaft i), dass $x$ immer in seiner eigenen Bahn liegt. Wenn keine weiteren Elemente mehr darin liegen, heißt $x$ auch Fixpunkt der Wirkung von $G$.
Und schließlich zu Nummer 3:
Das hängt von eurer Definition einer $p$-Gruppe ab, aber ich denke, dass Teil 2 dabei eine große Rolle spielt. $Sub(G)$ ist eine endliche Menge (und was weiß man über Untergruppen von $p$-Gruppen?) und wenn $X [mm] \subseteq [/mm] Sub(G)$ die Menge der Normalteiler ist, dann ist $X$ genau die Fixpunktmenge der Operation von $G$... und es gibt einen Satz (den ihr bestimmt gehabt habt) über den Zusammenhang von Bahnen und Fixpunktmenge... daraus folgt die Aussage.
Viel Erfolg!
Lars
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Hey Lars,
vielen lieben Dank für deine Hilfe!
Liebe Grüße,
Sina
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