Parabel und Extrem-&Wendepunkt < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Sa 26.08.2006 | | Autor: | franzi |
| Aufgabe | 1. Eine Parabel 3. Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems. Sie geht durch den Punkt P(1; -1) und hat an der Stelle x=2 einen Extrempunkt.
2. Eine Parabel 3. Grades schneidet die Parabel mit [mm] p(x)=2x^2+4x [/mm] zweimal auf der x-Achse. Im Schnittpunkt mit der größeren Abzisse schneiden sich beide Grafen rechtwinklig. Die Parabel 3. Grades hat dort einen Wendepunkt. |
Also wir haben gleich zum Anfang unserer Schuljahrswoche einen tollen Aufgabenzettel bekommen.. nur leider weiß ich mit den beiden aufgaben absolut nichts anzufangen!Ich weiß nicht so recht was ich eigentlich berechnen soll und auch nicht wie ich das tu --- also wie ihr seht ..Ich hab echt ein größeres Problem !Bitte helft mit... Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eine Parabel 3. Grades hat gundsätzlich diese Form:
[mm] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
[/mm]
Deine Aufgabe ist, die Koeffizienten a bis d zu bestimmen.
Dazu bekommst du Infos, die du sehr sorgfältig lesen mußt:
Die Parabel ist PUNKTsymmetrisch zum Ursprung, also f(-x)=-f(x)
Das funktioniert aber nur, wenn die Funktion durch den Ursprung geht (dazu muß d=0 sein), und auch nur, wenn ungrade Potenzen auftauchen (das heißt, das x² muß weg, als b=0)
Jetzt steht da nur noch
[mm] $f(x)=ax^3+cx$
[/mm]
Nun soll gelten, daß f(1)=-1 ist. Also einsetzen:
[mm] $-1=a*1^3+c*1x$
[/mm]
Bei x=2 ist die Ableitung null, weil Extrempunkt. Die Ableitung ist
[mm] $f'(x)=a*\bruch{1}{3}x^2+c$
[/mm]
Das soll nun für x=2 null werden:
[mm] $0=a*\bruch{1}{3}*2^2+c$
[/mm]
Jetzt hast du zwei Gleichungen, aus denen du a und c berechnen kannst:
[mm] $-1=a*1^3+c*1x$
[/mm]
[mm] $0=a*\bruch{1}{3}*2^2+c$
[/mm]
Zur zweiten Aufgabe:
Du hast wieder eine Funktion [mm] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. [/mm] Sie schneidet die andere Funktion auf der x-Achse. Das heißt: Beide haben die selben Nullstellen!
Berechne also erstmal die Nullstellen der gegebenen Funktion, und schreibe dann
[mm] $0=ax_N^3+bx_N^2+cx_N+d$
[/mm]
denn deine gesuchte Funktion hat dort auch Nullstellen.
Jetzt die Sache mit dem rechten Winkel:
Du kannst die ableitung der gegebenen Parabel an der Stelle berechnen. Das ist ja die Steigung m. Die Steigung, die senkrecht dazu ist, ist [mm] $-\bruch{1}{m}$
[/mm]
Leite also [mm] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ [/mm] ab, setze die Nullstelle ein, denn dort ist ja der Schnittpunkt, und setzte das ganze gleich dem berechneten [mm] $-\bruch{1}{m}$.
[/mm]
Damit erhälst du eine weitere Gleichung.
Nun weißt du auch noch, daß an dieder Stelle ein Wendepunkt ist, also f''(x)=0 ist. Bilde also die zweite Ableitung von [mm] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, [/mm] setzte wieder die Schnittstelle für x ein, und setzte die Gleiuchung gleich 0.
Und wieder hast du eine Gleichung.
Aus all diesen Gleichungen kannst du wieder deine Koeffizienten bestimmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Sa 26.08.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo EventHorizon.
> [mm]f(x)=ax^3+cx[/mm]
>
> Nun soll gelten, daß f(1)=-1 ist. Also einsetzen:
>
> [mm]-1=a*1^3+c*1x[/mm]
Dass hier das x zu viel ist, erwähne ich mal am Rande. Mir geht es um den unten genannten Fehler.
> Bei x=2 ist die Ableitung null, weil Extrempunkt. Die
> Ableitung ist
>
> [mm]f'(x)=a*\bruch{1}{3}x^2+c[/mm]
Die Ableitung von [mm] ax^3+cx [/mm] ist nicht [mm] $a*\red{\bruch{1}{3}}x^2+c$, [/mm] sondern
$f'(x) = [mm] \red{3}a*x^2+c$
[/mm]
Ansonsten aber eine tolle Antwort von dir ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Schönen Gruß
Disap
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