Phasendiagramm skizzieren < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Di 09.02.2010 | | Autor: | Katrin89 |
| Aufgabe | Skizziere das Phasendiagramm zu
y'= (-5,2;8,1) * y |
Hallo,
ein Phasendiagramm sind doch Trajektorien in der x,y Ebene, oder? Hier liegt ein autonomes System vor, die Trajektorien sind entweder identisch oder disjunkt.
Sie werden als Tripel dargestllt mit (x,y,(x',y').
Ich habe das System zunächst umgeschrieben:
x'= -5x+2y
y'=8x+y
(x, y erschien mir leichter als y1,y2)
Zur Trajektoriensuche muss man das t eleminieren. Sofern x invertierbar ist, gilt:
1) y'(x(t)= y'(t(x)
es folgt: dy/dt * dt/dx= dy/dx
einsetzen ergibt:
y'(x)= (8x+y)/(-5x+y) teile durch x
ergibt:
(8+(y/x) / (-5+2*y/x)
mit der Substitution u=y/x folgt:
[mm] (8+6u-2u^2)/(-5+2u) [/mm] *1/x=u'(x)
nach PBZ ergibt sich die DGL:
int(1/x) dx = 1/2* int(1/(u-4) du - 1/2* int (1_(u+1) du
also umgestellt DGL und resubst. gilt:
y= [mm] (-x^3*c+4x)/(1-c*x^2)
[/mm]
Nun muss ich x wählen, in y einsetzen und für die Steigung erhalte ich (x',y') zwei Koordinaten. Diese kann ich dann in die x,y Ebene einzeichnen.
Auch wenn ich mich hier verrechnet habe, kann mir jemand sagen, ob die Vorgehensweise so richtig wäre???
Bin grade in der Klausurvorbereitung!
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Hallo Katrin89,
> Skizziere das Phasendiagramm zu
> y'= (-5,2;8,1) * y
[mm]Y'=\pmat{-5 & 2 \\ 8 & 1} \ Y[/mm]
> Hallo,
> ein Phasendiagramm sind doch Trajektorien in der x,y Ebene,
> oder? Hier liegt ein autonomes System vor, die Trajektorien
> sind entweder identisch oder disjunkt.
> Sie werden als Tripel dargestllt mit (x,y,(x',y').
> Ich habe das System zunächst umgeschrieben:
> x'= -5x+2y
> y'=8x+y
>
> (x, y erschien mir leichter als y1,y2)
>
> Zur Trajektoriensuche muss man das t eleminieren. Sofern x
> invertierbar ist, gilt:
> 1) y'(x(t)= y'(t(x)
> es folgt: dy/dt * dt/dx= dy/dx
>
> einsetzen ergibt:
> y'(x)= (8x+y)/(-5x+y) teile durch x
> ergibt:
> (8+(y/x) / (-5+2*y/x)
>
> mit der Substitution u=y/x folgt:
> [mm](8+6u-2u^2)/(-5+2u)[/mm] *1/x=u'(x)
>
> nach PBZ ergibt sich die DGL:
> int(1/x) dx = 1/2* int(1/(u-4) du - 1/2* int (1_(u+1) du
>
Da hab ich was anderes heraus.
>
> also umgestellt DGL und resubst. gilt:
> y= [mm](-x^3*c+4x)/(1-c*x^2)[/mm]
>
> Nun muss ich x wählen, in y einsetzen und für die
> Steigung erhalte ich (x',y') zwei Koordinaten. Diese kann
> ich dann in die x,y Ebene einzeichnen.
>
> Auch wenn ich mich hier verrechnet habe, kann mir jemand
> sagen, ob die Vorgehensweise so richtig wäre???
Ja, die Vorgehensweise ist richtig.
> Bin grade in der Klausurvorbereitung!
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Di 09.02.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hi Mathepower,
danke für deine Antwort. Super, dann weiß ich jetzt auch, wie ich mit den Trajektorien umzugehen habe. Dass ich bei der PBZ nen Rechenfehler drin habe, ist nicht unwahrscheinlich. Habe es etwas zu schnell gerechnet. Aber nun gut, das Verfahren der PBZ kenne ich ja.
Du bist mir eine große Hilfe bei der Klausurvorbereitung!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Di 09.02.2010 | | Autor: | Katrin89 |
| Aufgabe | Beispiel: Frage zu
y'= [mm] \pmat{ -1 & -4 \\ -3 & -2 }*y [/mm] |
Hallo!
Ich habe noch einmal eine Frage zum allgemeinen Lösungsverfahren.
Ich habe noch eine andere Aufgabe, wo die Aufgabenstellung wie folgt lautet:
"Bestimmen Sie die allg. Lösung des DGL Systems und skizzieren sie die Trajektorien in der (x,y) Ebene."
Es ist ein System mit konstanten Koeff.
Gehe ich jetzt genauso vor, also t eleminieren, DGL lösen, für x,y Werte einsetzen und Steigung ist (x',y').
Falls ich "nur" die DGL lösen sollte, hätte ich das über die EW und EV gemacht und gesagt, dass die Linearkombi dann die allg. Lösung des Systems ist bzw. die linear unabh. Lösungen ein Fundamentalsystem bilden!
Vielen Dank schonmal!
Ist ne wichtige Frage für mich!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Mi 10.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
erst noch zum ersten post:
Phasendiagramm heisst eigentlich, dass man in der (y1,y2)Ebene Die Vektoren (y1',y2') aufträgt
für deine Dgl sähe das so aus. 2 (Lösungskurven eingetragen.)
[Dateianhang nicht öffentlich]
erstellt mit 3D-XploreMath
nicht einfach die Trajektorien der Lösungsmenge.
jetzt zum aktuellen post:
Du trägst einfach einige der Lösungskurven ein, ob du das mit Hilfe der Parameterdaestellung, oder mit y(x) machst ist egal. Hier scheinen die Lösungen Hyperbeln zu sein, wenn man das sieht ist es einfacher in x-y Darstellung.
Was sind dennn deine Lösungen?
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hallo leduart,
"auf dem Gebiet" bin ich jetzt auch schon ein bisschen weiter. Ich denke, dass es, wenn ich ein System mit konstanten Koeff. habe, mehr Sinn macht, dieses über Eigenwerte und EV zu berechnen. Ich schaue jetzt gerade, wie ich diese Eigenvektoren und Lösungskurven in einem Phasendiagramm zeige. Dazu habe ich einen neuen Thread aufgemacht: Phasenportrait und Lösung eines DGL-Systems.
Ich weiß nicht genau, warum bei 2 EV ein Vektor zum Ursprung hin und einer vom Ursprung weg zeigt und wie ich einen Eigenvektor im Koord.system einzeichne, der von t abhängt (darf ich hier t wählen?).
Wie gesagt, habe diese Frage auch in dem anderen Thread gestellt. Da ist das System auch mit Lösung.
Vielen Dank! Ist super mit dem Funktionenplotter. Kann man sich diesen kostenlos herunterladen? Dann kann ich überprüfen, ob ich richtig gezeichnet habe.
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