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Ich bin mein lebenlang Matheliebhaber, war immer mein Lieblingsfach, und die Noten waren durch die Bank hervorragend. Jetzt bin ich seit Oktober an der Uni und muss feststellen: Ich bin maßlos überfordert. Nicht etwa was das Verständis bestrifft, alles was mir entgegengeworfen wirft ergibt soweit auch Sinn, die Beweise sind zum großteil logisch erschließbar, aber wenn ich dann vor einer Aufgabe sitze, "Zeigen sie..." habe ich 0,00000000 Ahnung wie ich das angehen soll.
Beispiel der aktuellen Hausaufgabe:
Seien X,Y,Z Mengen, und seien$ f:X [mm] \to [/mm] Y, g:Y [mm] \to [/mm] Z$ bijektive funktionen.
Zeigen Sie: Die Umkerfunktion$ f^-^1$ und die Komposition $g [mm] \circ [/mm] f$ sind bijektiv.
Manchmal wird so bewiesen, manchmal so, manchmal so. Woher weiß ich was ich anwenden soll? Beweisen haben wir nie gelernt - ich weiß nicht was ausreichend ist, was ich benutzen soll etc Bei einer Aufgabe schreibt der Prof nen kleinen Text an und sagt "damit ist das bewiesen" und ich frag mich "WO?!", für mich fühlt sich das nicht als ausreichend betwiesen an, wohingegen bei anderer Sache ledigilich die Definition umgeändert wird und das ganze dann als abgeschlossen gilt, während bei anderen Sachen wieder 2 Tafeln voll mit Herleitungen ist.
An sich wär das ja kein Problem wenn ich das nachlesen könnte, nur fehlt mir hierzu einfach das Material. Im Buch steht nur "Beweis: Übungsaufgabe", die ich wenn überhaupt erst in einem Zukünftigen Tutorium haben werde zum Thema f^-^1, was 3 Tage vor der Haushaufgabenfrist ist - Ohne möglichkeit mich mit meiner Gruppe außerhalb des Wochenendes zu treffen danach. Am meisten vermiss ich erschließende BEISPIELE. Woher soll ich wissen wie man was anwendet wenn ich es nie angewand sehe? Wir haben HA und Übungsaufgaben, aber keine Lösungen - Lerneffekt ist also = 0 für mich. Blind ins Leere wurschteln hab ich noch nie als effektiv empfunden.
Ich hatte immer eine Leidenschaft für Mathe, aber das fühlt sich hier einfach nach "Nachschlagen und Abschreiben" an bisher. Warum ich zu den Vorlesungen gehen soll, wenn mir dort nur 1zu1 das Buch angeschrieben wird, hab ich bisher auch nicht raus. Fühlt sich an wie nen Fernstudium, nur mit Tafel statt Monitor. Und das HAs ZWANGSKRITERIUM sind macht das ganze unertragbar. Du weißt DU MUSST es können, ansonsten darfst du nichtmal zur Prüfung. Und das in 2 Fächern, jede Woche. Ich bin schon am Überlegen das Studium abbzubrechen (bzw in was anderes zu wechseln), was mich persönlich selbst sehr schockiert, aber Spaß macht das was wir bisher machen nicht, und beim Blättern im Skript scheint sich das Verhalten auch nicht zu ändern. Ich will das was ich Lern auch anwenden, Funktionen analysieren, Gleichungen auflösung etc RECHNEN ebend, und nicht nur irgendwelche Beweise hinklieren ohne selbst diese erarbeitet zu haben. Ich geb bei Gott nicht schnell auf, das ist nur eine Option die sich für mich gerade aufgetan hat, entgegen meiner eigenen Überzeugung. =/
Und fast allem im Studium gehts atm ähnlich, in den Tutiren sitzen alle nur da wenn es heißt "fangt die Aufgabe mal alleine an" und warten bis er anfängt die Aufgabe zu machen.
Ändert sich noch was...? Oder bleibt mir der saure Apfel oder die Einsicht das mich meine Leidenschaft sich total verändert hat.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Willkommen im Club!
Das hört sich leider zynisch an, ich kann dir aber nur sagen: Bei mir war das 1970 genau so, und das wird sich wohl auch nicht ändern. Und ich habe anfangs genau so wie du empfunden.
Auf der Schule hatte ich mir die gesamte Oberstufen-Mathematik selber beigebracht, alles was mir in die Hände fiel gelesen, nachgerechnet, mir selber Aufgaben gestellt und gelöst - und an der Uni kam der Schock.
Nach jedem Aufgabenzettel bin ich zu Hause durch die Wälder gelaufen, grübelnd, wie man die Aufgaben wohl lösen kann, bis nach Tagen mal eine Idee kam - oft aber auch nicht.
Das Ganze wird nur dadurch lösbar, dass man im Laufe der Zeit immer mehr Routine bekommt und dann Dinge "sieht", die man vorher nicht sehen konnte. Wenn du überhaupt Erfolg haben willst, kannst du nicht auf einfachere Aufgaben oder bessere Erklärungen der Profs oder der Tutoren hoffen, sondern musst Taktiken entwickeln, wie du derartige Aufgaben anfasst.
1. Schritt:
mache dir zu allen Definitionen Beispiele und - genau so wichtig - Gegenbeispiele. Überlege dann, wie du das Ganze innerlich vereinfachen kannst.
2. Schritt:
versuche dir anschaulich den Sachverhalt vorzustellen.
3. Suche nun einen formalen Beweis. Dabei musst du nun wieder auf die Definitionen der Vorlesung zurückgreifen.
Zu 1 und 2:
Bijektiv heißt injektiv und surjektiv. Zur Veranschaulichung nehmen wir eine Tanzveranstaltung mit Männern und Frauen. Es tanzen nur jeweils ein Mann und eine Frau zusammen. Da die Männer die Frauen auffordern, bilden die Männer die Definitions- und M die Frauen die Wertemenge F. Wenn sich nun jeder Mann auf genau eine Frau stürzt, haben wir eine Funktion M [mm] \mapsto [/mm] F (jedem Element aus M wird genau eines aus F zugeordnet). Gibt es eine Frau, die von mindestens 2 Männern aufgefordert wird, so ist die Abbildung nicht injektiv. Sie ist es nur dann, wenn keine Frau von mehr als einem Mann aufgefordert wird. Werden alle Frauen von jemandem aufgefordert, ist die Abbildung surjektiv; bleiben Frauen übrig, dann nicht. Beispiele: Anton und Paul fordern Betty auf, also nicht injektiv. Jeder Mann fordert eine andere Frau auf, aber zwei bleiben übrig, also injektiv, aber nicht surjektiv; das bedeutet, dass es mehr Frauen als Männer gibt. Alle Frauen werden aufgefordert, Betty sogar von drei Männern, also surjektiv, aber nicht injektiv; das bedeutet, dass es mehr Männer als Frauen gibt.Jeder Mann fordert eine andere Frau auf, und keine bleibt übrig, also injektiv und surjektiv, also bijektiv. Das bedeutet, dass es gleich viele Männer wir Frauen gibt.
Ist eine Abbildung bijektiv, heißt das, dass immer ein Mann mit "seiner" Frau tanzen kann und niemand übrig bleibt.
(Aus nicht-injektiv und gleichzeitig nicht-surjektiv kann man nicht schließen, dass die Mengen verschieden groß sind; es könnte ja z.B. ein Mann fremdgehen wollen, dann bliebe seine Frau allein zurück (nicht-surjektiv) und die Dame seines Herzens hätte neben ihrem bisherigen Tanzpartner nun noch einen zweiten (nicht-injektiv).)
Jetzt müsste klar sein, warum eine bijektive Abbildung umkehrbar und bijektiv ist - oder? Un die Komposition von zwei Abbildungen auch - oder? (jede Frau bringt noch ihr Kind mit).
Deine Aufgabe nun: von diesen Bildern ausgehend alles noch mal abstrakt mit den Worten "Abbildung", "injektiv" und "surjektiv" erklären...
Viel Erfolg für dein weiteres Studium.
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Danke für die Antwort und die Aufbauenden Worte. Ich hab schon öfters gelesen das viele am Anfang nicht weiterwußten und dann am Ende alles gemeistert haben. Nur fühle ich zur Zeit, mich nicht in der Lage das jemals selbst sagen zu können, zumal ich ja nicht mal den Luxus habe "abzuwarten" bis ich es vielleicht schaffe, da man ja jede Woche Hausaufgaben erbringen MUSS, und mit 80% der Punkte für den Schein, ist auch der Raum für Fehler mehr als gering.
Mir ist die Logik bei der Aufgabe schon klar (wenn auch die definition [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) \Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] mir total unschlüssig erscheint, außer mit der Argumentation der Wahreitstabelle, welche ich für [mm] \Rightarrow [/mm] total unlogisch empfinde (1=2 => 1=1 - Gesamtaussage richtig da F [mm] \Rightarrow [/mm] W = W ist! d'oh toller Beweis... damit lässt sich ja die Existenz der Heinzelmännchen richtig biegen :X).
Mein Verständis:
-Injektiv ist wenn jedes x GENAU EIN f(x) [=y] besitzt.
-Surjektiv ist wenn JEDES f(x) (Urbild) getroffen wird; aka der "Wertebreich" ist vollständig verknüpft.
-Beides zusammen folgert die Bijektivität da alle besetzt sind und das nur einmalig. Zu jedem x also ein spezifisches y gehört. Daraus folgt auch das zu jedem y auch ein spezifisches x gehört, daher ist eine bijektive Funktion auch Umkehrbar. Geschrieben $f^-^1$. Nicht zu verwechseln mit dem Urbild $f^-^1(x)$ und der Inversen $f(x)^-^1$.
Ich hoffe das ist soweit richtig. Wie gesagt, mein Problem liegt eher mein "Verständnis" auf Papier zu bringen, und zwar Aufgaben- und Beweisgerecht.
Zum beweisen von Bijektivität muss ich eigentlich nur zeigen, das die gesuchte Funktion In- und Surjektiv ist, oder gegebenenfalls ein simples Gegenbeispiel erbringen. Aber auch hier, hab ich keine Ahnung wie ich den Sachverhalt "beweise", vorallem da mir hier ein Schema dafür fehlt, bzw ich mit der Logik der Definition der Injektivität nichts anfangen kann. Hier ist das Problem: Fehlende Beispiele.
Eine Komposition g über f ist recht einfach zu benutzen. g(f(x)). Also setzt ich erst den Wert in f ein und den erhaltenen Wert dann in g.
Sowohl g über f als auch die Umkehrfunktion sind laut meinem Verständnis natürlich Bijektiv wenn g als auch f bijektiv sind - nur das ebend zu "zeigen" fällt mir schwer.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die Antwort und die Aufbauenden Worte. Ich hab
> schon öfters gelesen das viele am Anfang nicht
> weiterwußten und dann am Ende alles gemeistert haben. Nur
> fühle ich zur Zeit, mich nicht in der Lage das jemals
> selbst sagen zu können, zumal ich ja nicht mal den Luxus
> habe "abzuwarten" bis ich es vielleicht schaffe, da man ja
> jede Woche Hausaufgaben erbringen MUSS, und mit 80% der
> Punkte für den Schein, ist auch der Raum für Fehler mehr
> als gering.
das ist heftig: In Trier brauchte man in der Regel 50% - und wenn man
mit den Professoren sprach', durfte man manchmal mit ein bisschen
weniger auch in die Klausuren gehen. Wenn man "extrem unter 50%"
hatte - auch - aber solche Leute hatten dann meist noch eine
Zusatzleistung zu erbringen!
Wo studierst Du denn?
> Mir ist die Logik bei der Aufgabe schon klar (wenn auch die
> definition [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]f(x_2) \Rightarrow x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] mir total
> unschlüssig erscheint,
Ist sie aber nicht: Bei Funktionen $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] kann man die Injektivität
sogar recht leicht anschaulich erklären:
Skizziere den Graphen von [mm] $f\,.$ [/mm] Wenn jede zur [mm] $x\,$-Achse [/mm] parallele
Gerade diesen Graphen in höchstens einem Punkt schneidet, dann nennt
man [mm] $f\,$ [/mm] injektiv.
Damit kannst Du Dir anschaulich sofort klarmachen, dass [mm] $f(x)=x^3$
[/mm]
als Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] injektiv ist, und [mm] $g(x):=x^2\,$ [/mm] als Funktion
[mm] $\IR \to \IR$ [/mm] nicht. Und natürlich gilt entsprechendes für "kleinere
Definitionsbereiche [mm] $\subseteq \IR$" [/mm] analog.
Und vielleicht machst Du Dir auch mal klar, warum
[mm] $$h(x):=\begin{cases} x^3, & \mbox{für } |x| \not=1 \\ 1, & \mbox{für } |x|=1 \end{cases}$$
[/mm]
als Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] weder injektiv noch surjektiv ist!
> außer mit der Argumentation der
> Wahreitstabelle, welche ich für [mm]\Rightarrow[/mm] total
> unlogisch empfinde (1=2 => 1=1 - Gesamtaussage richtig da F
> [mm]\Rightarrow[/mm] W = W ist! d'oh toller Beweis... damit lässt
> sich ja die Existenz der Heinzelmännchen richtig biegen
> :X).
>
> Mein Verständis:
> -Injektiv ist wenn jedes x GENAU EIN f(x) [=y] besitzt.
Nein. Dass "jedes [mm] $x\,$ [/mm] genau ein [mm] $f(x)\,$ [/mm] besitzt", ist eine Eigenschaft,
die [mm] $f\,$ [/mm] braucht, damit man [mm] $f\,$ [/mm] FUNKTION/ABBILDUNG nennen darf.
Injektiv bedeutet: Jedes [mm] $y\,$ [/mm] (des Zielbereichs) hat entweder genau ein
[mm] $x\,$ [/mm] des Definitionsbereichs mit [mm] $f(x)=y\,,$ [/mm] oder es hat keines!
Und warum ist [mm] $f_1(x)=x^2$ [/mm] als Funktion [mm] $f_1:[0,\infty) \to \IR$ [/mm] nun injektiv?
Warum wäre [mm] $f_2(x)=x^2$ [/mm] als Funktion [mm] $f_2: [-1,\infty) \to \IR$ [/mm] dies nicht?
(Folgt etwa aus [mm] $f_2(x)=1=f_2(x')$ [/mm] denn schon $x=x'$? Nein, denn was
gilt für [mm] $x=-1\,$ [/mm] und $x'=1$?)
> -Surjektiv ist wenn JEDES f(x) (Urbild) getroffen wird;
Nein. Surjektiv bedeutet, dass es zu jedem $y [mm] \in [/mm] Y$ mindestens ein $x [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] $f(x)=y\,$ [/mm] gibt. Das kann man so charakterisieren:
Ist $f:X [mm] \to Y\,,$ [/mm] so ist [mm] $f\,$ [/mm] genau dann surjektiv, wenn
[mm] $$f(X)=Y\,,$$
[/mm]
d.h. wenn
[mm] $$\{f(x): x \in X\}=Y\,.$$
[/mm]
Dabei ist [mm] $\{f(x): x \in X\}= \bigcup_{x \in X}\{f(x)\}\,.$
[/mm]
> aka der "Wertebreich" ist vollständig verknüpft.
?
> -Beides zusammen folgert die Bijektivität da alle besetzt
> sind und das nur einmalig. Zu jedem x also ein spezifisches
> y gehört. Daraus folgt auch das zu jedem y auch ein
> spezifisches x gehört, daher ist eine bijektive Funktion
> auch Umkehrbar.
Das meinst Du richtig, denke ich. Es ist zwar nicht supersauber formuliert,
aber das hast Du richtig erfasst, soweit ich das sehe!
> Geschrieben [mm]f^-^1[/mm]. Nicht zu verwechseln mit
> dem Urbild [mm]f^-^1(x)[/mm] und der Inversen [mm]f(x)^-^1[/mm].
>
> Ich hoffe das ist soweit richtig. Wie gesagt, mein Problem
> liegt eher mein "Verständnis" auf Papier zu bringen, und
> zwar Aufgaben- und Beweisgerecht.
>
> Zum beweisen von Bijektivität muss ich eigentlich nur
> zeigen, das die gesuchte Funktion In- und Surjektiv ist,
> oder gegebenenfalls ein simples Gegenbeispiel erbringen.
> Aber auch hier, hab ich keine Ahnung wie ich den
> Sachverhalt "beweise", vorallem da mir hier ein Schema
> dafür fehlt, bzw ich mit der Logik der Definition der
> Injektivität nichts anfangen kann. Hier ist das Problem:
> Fehlende Beispiele.
Jein. Denn das Ziel der Unimathematik ist es ja eigentlich, dass Du auch
arbeiten kannst, ohne unzählige Beispiele durchgearbeitet zu haben und
dann anhand der Beispiele Folgerungen ziehen willst.
Eigentlich sind Beispiele nur noch mal zum Verdeutlichen des bereits
erlernten dann anzusehen. Aus der Schule bist Du das umgekehrt
gewohnt:
Ich kann Dir auch nicht dazu raten, aber frag' mal, ob vielleicht ein Wechsel
an eine FH Dir das ganze leichter machen würde. Die Arbeitsweise da ist
ein bisschen anders - aber für so etwas mußt Du Dich selbst erkundigen,
denn ich kenne mich da nicht wirklich aus.
Vielleicht nochmal eine andere Definition der Injektivität, und zwar eine,
die, wegen Kontraposition, äquivalent zu der von Dir formulierten ist:
Du hattest gesagt:
$f: X [mm] \to [/mm] Y$ heißt injektiv, wenn für alle [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] X$ gilt, dass
[mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] schon [mm] $x_1=x_2$ [/mm] impliziert.
Äquivalent dazu:
$f: X [mm] \to [/mm] Y$ heißt injektiv, wenn für alle [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] X$ gilt, dass
[mm] $x_1 \not=x_2$ [/mm] schon [mm] $f(x_1) \not=f(x_2)$ [/mm] impliziert.
Und für etwa [mm] $f_3(x)=x^4$ [/mm] als Funktion [mm] $\red{\;\IR\;} \to \IR$ [/mm] ist klar, dass
[mm] $f_3$ [/mm] nicht injektiv ist: Obwohl $-1 [mm] \not=1$ [/mm] ist, ist dennoch [mm] $f_3(-1)=1=f_3(1)\,.$
[/mm]
Weiterhin ist [mm] $f_3$ [/mm] nicht surjektiv: Denn zu $y=-1$ finden wir kein $x [mm] \in \red{\;\IR\;}$ [/mm]
mit [mm] $f_3(x)=-1\,,$ [/mm] denn dann müßte ja [mm] $x^4=-1$ [/mm] gelten...
Warum wäre aber [mm] $f_4(x)=x^4$ [/mm] als Funktion [mm] $\IR \to [0,\infty)$ [/mm] surjektiv?
(Nicht aber injektiv!)
P.S. Durchstöber' mal das Forum nach "injektiv" bzw. "surjektiv". Da gibt's
doch unzählige Diskussionen. Und ich glaube, ich habe schon mindestens
einmal versucht, das ganze ein wenig anhand der Graphen, jedenfalls von
Funktionen $M [mm] \to [/mm] N$ mit $M,N [mm] \subseteq \IR\,,$ [/mm] zu erklären. Wenn man
das dafür verstanden hat, hat man schon viel gewonnen!
Gruß,
Marcel
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> Ist sie aber nicht: Bei Funktionen [mm]f: \IR \to \IR[/mm] kann man
> die Injektivität
> sogar recht leicht anschaulich erklären:
> Skizziere den Graphen von [mm]f\,.[/mm] Wenn jede zur [mm]x\,[/mm]-Achse
> parallele
> Gerade diesen Graphen in höchstens einem Punkt schneidet,
> dann nennt
> man [mm]f\,[/mm] injektiv.
> Damit kannst Du Dir anschaulich sofort klarmachen, dass
> [mm]f(x)=x^3[/mm]
> als Funktion [mm]\IR \to \IR[/mm] injektiv ist, und [mm]g(x):=x^2\,[/mm] als
> Funktion
> [mm]\IR \to \IR[/mm] nicht. Und natürlich gilt entsprechendes für
> "kleinere
> Definitionsbereiche [mm]\subseteq \IR[/mm]" analog.
>
> Und vielleicht machst Du Dir auch mal klar, warum
> [mm]h(x):=\begin{cases} x^3, & \mbox{für } |x| \not=1 \\ 1, & \mbox{für } |x|=1 \end{cases}[/mm]
>
> als Funktion [mm]\IR \to \IR[/mm] weder injektiv noch surjektiv
> ist!
Das ist schon klar. Auch das zbsp x² für $ [mm] \IR^+_0 \to \IR$ [/mm] injektiv ist (aber nicht surjektiv), da jedes y nur ein zugehörigen x wert hat. (-x)² ist ja laut definition ausgeschlossen. Wobei mir hier grad auffällt (auch wenn die Frage blöd ist) ist $f(5) und [mm] $f(\wurzel25)²$ [/mm] für f(x)=x², nicht beides y = 25?
> Nein. Dass "jedes [mm]x\,[/mm] genau ein [mm]f(x)\,[/mm] besitzt", ist eine
> Eigenschaft,
> die [mm]f\,[/mm] braucht, damit man [mm]f\,[/mm] FUNKTION/ABBILDUNG nennen
> darf.
> Injektiv bedeutet: Jedes [mm]y\,[/mm] (des Zielbereichs) hat
> entweder genau ein
> [mm]x\,[/mm] des Definitionsbereichs mit [mm]f(x)=y\,,[/mm] oder es hat
> keines!
Das meinte ich eigentlich auch nur umgekehrt aufgeschrieben. ^^ jedes y hat genau ein x (oder "keines", das hab ich vergessen).
>
> Und warum ist [mm]f_1(x)=x^2[/mm] als Funktion [mm]f_1:[0,\infty) \to \IR[/mm]
> nun injektiv?
> Warum wäre [mm]f_2(x)=x^2[/mm] als Funktion [mm]f_2: [-1,\infty) \to \IR[/mm]
> dies nicht?
> (Folgt etwa aus [mm]f_2(x)=1=f_2(x')[/mm] denn schon [mm]x=x'[/mm]? Nein,
> denn was
> gilt für [mm]x=-1\,[/mm] und [mm]x'=1[/mm]?)
>
> > -Surjektiv ist wenn JEDES f(x) (Urbild) getroffen wird;
>
> Nein. Surjektiv bedeutet, dass es zu jedem [mm]y \in Y[/mm]
> mindestens ein [mm]x \in X[/mm] mit [mm]f(x)=y\,[/mm] gibt. Das kann man so
> charakterisieren:
> Ist [mm]f:X \to Y\,,[/mm] so ist [mm]f\,[/mm] genau dann surjektiv, wenn
> [mm]f(X)=Y\,,[/mm]
> d.h. wenn
> [mm]\{f(x): x \in X\}=Y\,.[/mm]
>
> Dabei ist [mm]\{f(x): x \in X\}= \bigcup_{x \in X}\{f(x)\}\,.[/mm]
>
> > aka der "Wertebreich" ist vollständig verknüpft.
>
> ?
>
Genau das hab ich auch geschireben (nur nicht so formal). Jedes y hat nen zugehöriges x. also ist der "Wertebereich Y" vollständig "verknüpft" - es gibt kein y das keine Verknüpfung zu einem oder mehren x hat. vielleicht nicht sehr gut ausgedrückt.
> Jein. Denn das Ziel der Unimathematik ist es ja eigentlich,
> dass Du auch
> arbeiten kannst, ohne unzählige Beispiele durchgearbeitet
> zu haben und
> dann anhand der Beispiele Folgerungen ziehen willst.
> Eigentlich sind Beispiele nur noch mal zum Verdeutlichen
> des bereits
> erlernten dann anzusehen. Aus der Schule bist Du das
> umgekehrt
> gewohnt:
Nicht zwangsweise. Ich hab nichts dagegen die Theorie zuerst zu lernen, ich würde nur gerne ein erläuterndes Beispiel dazu haben. Man macht ja auch nicht den Führerschein ohne jemals Auto zu fahren. Ich kann mir an Beispielen sehr gut herleiten wie die Theorie dahinter funktioniert - selbst Beispiele "finden" ist allerdings wieder ein Schuss ins Schwarze. Ich hab keine Ahnung ob mein Beispiel stimmt (selbst wenn es in sich Sinnig ist).
>
> Vielleicht nochmal eine andere Definition der
> Injektivität, und zwar eine,
> die, wegen Kontraposition, äquivalent zu der von Dir
> formulierten ist:
> Du hattest gesagt:
> [mm]f: X \to Y[/mm] heißt injektiv, wenn für alle [mm]x_1,x_2 \in X[/mm]
> gilt, dass
> [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm] schon [mm]x_1=x_2[/mm] impliziert.
>
> Äquivalent dazu:
> [mm]f: X \to Y[/mm] heißt injektiv, wenn für alle [mm]x_1,x_2 \in X[/mm]
> gilt, dass
> [mm]x_1 \not=x_2[/mm] schon [mm]f(x_1) \not=f(x_2)[/mm] impliziert.
>
> Und für etwa [mm]f_3(x)=x^4[/mm] als Funktion [mm]\red{\;\IR\;} \to \IR[/mm]
> ist klar, dass
> [mm]f_3[/mm] nicht injektiv ist: Obwohl [mm]-1 \not=1[/mm] ist, ist dennoch
> [mm]f_3(-1)=1=f_3(1)\,.[/mm]
>
> Weiterhin ist [mm]f_3[/mm] nicht surjektiv: Denn zu [mm]y=-1[/mm] finden wir
> kein [mm]x \in \red{\;\IR\;}[/mm]
> mit [mm]f_3(x)=-1\,,[/mm] denn dann müßte ja [mm]x^4=-1[/mm] gelten...
>
> Warum wäre aber [mm]f_4(x)=x^4[/mm] als Funktion [mm]\IR \to [0,\infty)[/mm]
> surjektiv?
> (Nicht aber injektiv!)
>
> P.S. Durchstöber' mal das Forum nach "injektiv" bzw.
> "surjektiv". Da gibt's
> doch unzählige Diskussionen. Und ich glaube, ich habe
> schon mindestens
> einmal versucht, das ganze ein wenig anhand der Graphen,
> jedenfalls von
> Funktionen [mm]M \to N[/mm] mit [mm]M,N \subseteq \IR\,,[/mm] zu erklären.
> Wenn man
> das dafür verstanden hat, hat man schon viel gewonnen!
>
> Gruß,
> Marcel
Es ist einfach unlogisch in meinem Kopf das f(3)=(4) => 3=4 folgen soll. Umgekehrt macht es endlos mehr Sinn mit 1 [mm] \not= [/mm] -1 => f(1)=1=f(-1) ist soviel mehr verständlicher für mich, um die Injektivität zu checken. danke dafür.
aber mein eigentliches problem it hier nicht die verständnis, sondern die beweisführung (im allgemeinen).
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> > Und vielleicht machst Du Dir auch mal klar, warum
> > [mm]h(x):=\begin{cases} x^3, & \mbox{für } |x| \not=1 \\
1, & \mbox{für } |x|=1 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > als Funktion [mm]\IR \to \IR[/mm] weder injektiv noch surjektiv
> > ist!
> Das ist schon klar. Auch das zbsp x² für [mm] \IR^+_0 \to \IR[/mm][/mm]
Hallo,
Du meinst die Funktion
f:[mm] \IR^+_0 \to \IR[/mm] mit
[mm] f(x):=x^2.
[/mm]
> injektiv ist (aber nicht surjektiv), da jedes y
[mm] \in \IR
[/mm]
> nur ein
höchstens einen
> zugehörigen x wert hat.
>(-x)² ist ja laut definition
> ausgeschlossen.
???
Du willst wohl damit sagen, daß man keine negativen Zahlen einsetzen darf.
> Wobei mir hier grad auffällt (auch wenn
> die Frage blöd ist) ist [mm]f(5) und [/mm][mm] f(\wurzel25)²$[/mm] [/mm] für
> f(x)=x², nicht beides y = 25?
Aha.
Du hast [mm] f(5)=25=f(\wurzel{25}) [/mm] und fragst Dich nun, ob die Funktion möglicherweise doch nicht injektiv ist, weil Du ja zwei x-Werte hast, deren Funktionswert gleich ist.
Es ist aber doch [mm] 5=\wurzel{25}. [/mm] Die beiden x-Werte sehen also bloß verschieden aus, sind aber gleich.
> > > -Surjektiv ist wenn JEDES f(x) (Urbild) getroffen wird;
> >
> > Nein. Surjektiv bedeutet, dass es zu jedem [mm]y \in Y[/mm]
> > mindestens ein [mm]x \in X[/mm] mit [mm]f(x)=y\,[/mm] gibt.
> Genau das hab ich auch geschireben (nur nicht so formal).
Nein, Du hattest etwas anderes geschrieben, daß nämlich jedes f(x) getroffen wird. Das ist aber nichts besonderes, denn wenn es nicht getroffen würde, wär's kein f(x).
Entscheidend für Surjektivität ist, daß auf jedes Element der Zielmenge Y ein Element der Definitionsmenge X abgebildet wird, daß es also zu jedem
> > $y [mm] \in [/mm] Y$
> > mindestens ein $x [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] $f(x)=y\,$ [/mm] gibt.
Der Unterschiede zu dem, was Du schriebst, ist eben nicht bloß formaler Natur, sondern es gibt einen wesentlichen inhaltlichen Unterschied.
> Jedes y hat nen zugehöriges x. also ist der "Wertebereich
> Y" vollständig "verknüpft" - es gibt kein y das keine
> Verknüpfung zu einem oder mehren x hat. vielleicht nicht
> sehr gut ausgedrückt.
Das nicht, aber inhaltlich richtig.
> Ich hab nichts dagegen die Theorie
> zuerst zu lernen, ich würde nur gerne ein erläuterndes
> Beispiel dazu haben. Man macht ja auch nicht den
> Führerschein ohne jemals Auto zu fahren. Ich kann mir an
> Beispielen sehr gut herleiten wie die Theorie dahinter
> funktioniert - selbst Beispiele "finden" ist allerdings
> wieder ein Schuss ins Schwarze. Ich hab keine Ahnung ob
> mein Beispiel stimmt (selbst wenn es in sich Sinnig ist).
Tja, Schule und Studium ist eben ein Unterschied.
Im Studium muß man entschieden mehr Eigenaktivität entwickeln, der Kellner kommt nicht wie in der Schule mit einem Silbertablett mit Vorgekautem, was er mit Verbeugung serviert.
Wenn Du ein Beispiel gebastelt hast, mußt Du es selbst daraufhin prüfen, ob es wirklich in allen Punkten dem Geforderten entspricht.
Kurz zu Deinen Erfahrungen am Studienbeginn: so wie Du wird sich eine große Zahl Deiner Kommilitonen auch fühlen.
Manche werden still leiden.
Wenige werden überhaupt keine Probleme haben.
Man muß sich erst an die neue Arbeitsweise gewöhnen - und außerdem i.d.R. verkraften, daß man nicht der Überflieger ist, von dem man mal geglaubt hatte, man sei es...
Warte mal ein Weilchen ab, Du hast doch gerade erst begonnen. Studiere die Musterlösungen, vollziehe Beweise nach.
Verzeih Dir, wenn Du nicht alles sofort kannst.
Nach ein, zwei Semestern wirst Du absehen können, ob das Fach Mathematik etwas für Dich ist, oder ob Du in einem Fach, in welchem Mathematik Mittel zum Zweck ist, glücklicher wirst.
Zur Injektivität:
> Es ist einfach unlogisch in meinem Kopf das f(3)=f(4) => 3=4
> folgen soll.
Wieso denn: wenn die Funktionswerte gleich sind, müssen bei Injektivität auch die Argumente (die ikse) gleich sein.
Und wenn zu gleichen Funtionswerten verschiedene Argumente gehören, ist die Funktion nicht injektiv. Basta.
> Umgekehrt macht es endlos mehr Sinn mit 1
> [mm]\not=[/mm] -1 => f(1)=1=f(-1) ist soviel mehr verständlicher
[mm] "1\not=1 [/mm] ==> f(1)=f(-1)" ist völliger Schwachsinn.
Aber wenn zu 1 und -1, welche ja verschieden sind, die Funktionswerte gleich sind, dann ist die Funktion nicht injektiv.
Vielleicht meintest Du das.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> [mm]"1\not=1[/mm] ==> f(1)=f(-1)" ist völliger Schwachsinn.
>
> Aber wenn zu 1 und -1, welche ja verschieden sind, die
> Funktionswerte gleich sind, dann ist die Funktion nicht
> injektiv.
> Vielleicht meintest Du das.
ich glaube, er hatte eine spezielle Funktion [mm] $f\,,$ [/mm] bei der man sehen
konnte, dass, obwohl $-1 [mm] \not=1$ [/mm] ist, dennoch [mm] $f(-1)=f(1)\,$ [/mm] gilt.
Irgendwo in meiner Antwort hatte ich sowas geschrieben!
(Ob das nun [mm] $f(x)=|x|\,$ [/mm] oder [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] oder ... war, kann man
nachlesen!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 Do 01.11.2012 | | Autor: | Ifeeldumb |
> Es ist aber doch [mm]5=\wurzel{25}.[/mm] Die beiden x-Werte sehen
> also bloß verschieden aus, sind aber gleich.
Haha - ich sollt um die Uhrzeit keine Überlegungen mehr anstellen. Fall von "Man sieht den Wald vor lauter Bäumen nicht".
>
>
> > > > -Surjektiv ist wenn JEDES f(x) (Urbild) getroffen wird;
> > >
> > > Nein. Surjektiv bedeutet, dass es zu jedem [mm]y \in Y[/mm]
> > > mindestens ein [mm]x \in X[/mm] mit [mm]f(x)=y\,[/mm] gibt.
>
> > Genau das hab ich auch geschireben (nur nicht so formal).
>
> Nein, Du hattest etwas anderes geschrieben, daß nämlich
> jedes f(x) getroffen wird. Das ist aber nichts besonderes,
> denn wenn es nicht getroffen würde, wär's kein f(x).
> Entscheidend für Surjektivität ist, daß auf jedes
> Element der Zielmenge Y ein Element der Definitionsmenge X
> abgebildet wird, daß es also zu jedem
> > > [mm]y \in Y[/mm]
> > > mindestens ein [mm]x \in X[/mm] mit [mm]f(x)=y\,[/mm] gibt.
>
> Der Unterschiede zu dem, was Du schriebst, ist eben nicht
> bloß formaler Natur, sondern es gibt einen wesentlichen
> inhaltlichen Unterschied.
für mich ist f(x) = y. Ich sehe schon das ich das von jetzt an deutlicher Unterscheiden MUSS, da es ebend doch nicht "gleich" ist. Ich hab ja auch geschrieben gehabt f(x) [=y]. Mir ist aber jetzt klar das f(x) in der Tat nur jede Aussage vom Definitionsbereich verknüpft, nicht aber den Wertebereich.
> Tja, Schule und Studium ist eben ein Unterschied.
> Im Studium muß man entschieden mehr Eigenaktivität
> entwickeln, der Kellner kommt nicht wie in der Schule mit
> einem Silbertablett mit Vorgekautem, was er mit Verbeugung
> serviert.
> Wenn Du ein Beispiel gebastelt hast, mußt Du es selbst
> daraufhin prüfen, ob es wirklich in allen Punkten dem
> Geforderten entspricht.
>
> Kurz zu Deinen Erfahrungen am Studienbeginn: so wie Du wird
> sich eine große Zahl Deiner Kommilitonen auch fühlen.
> Manche werden still leiden.
> Wenige werden überhaupt keine Probleme haben.
>
> Man muß sich erst an die neue Arbeitsweise gewöhnen - und
> außerdem i.d.R. verkraften, daß man nicht der
> Überflieger ist, von dem man mal geglaubt hatte, man sei
> es...
> Warte mal ein Weilchen ab, Du hast doch gerade erst
> begonnen. Studiere die Musterlösungen, vollziehe Beweise
> nach.
> Verzeih Dir, wenn Du nicht alles sofort kannst.
> Nach ein, zwei Semestern wirst Du absehen können, ob das
> Fach Mathematik etwas für Dich ist, oder ob Du in einem
> Fach, in welchem Mathematik Mittel zum Zweck ist,
> glücklicher wirst.
Ich will auch nicht Schulmäßig auschließlich an nem Roten Faden durch den Stoff gezogen werden, nur ist "Stoff vermitteln" und "Stoff 1zu1 aus dem Skriüt an die Tafel klieren, OHNE ergänzendes zu vermitteln" ebend nicht eine Methode des Lernens - für niemanden. Mir ist unschlüssig ob ich nicht einfach Zuhause bleibe und den Stoff im Buch anguck, statt das gleiche in der Vorlesung zu tun. So hätt ich mehr Zeit zum Lernen. Nur kann mit dem Stoff alleine nichts anfangen, wenn die Basics nicht richtig beigebracht wurden (Beweisführung). Das Material ist auch mehr als mager, so dass es unmöglich ist hier alleine durchzustarten. Ich habe mir jetzt Zusatz-Literatur gekauft, mit durchgerechnetetn Beispielen, ich hoffe das gibt dem Stoff eine Anwendung, dürfte Morgen ankommen. Warum gibts die Übungsaufgaben zbsp nicht mit Lösungen / durchgerechnet. Sind schließlich Übungsaufgaben, warum also die Lösung vorenthalten? Ich glaub das alleine, würde es mir um einiges einfacher machen mir die "Herrangehensweise" klar zu machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich will auch nicht Schulmäßig auschließlich an nem
> Roten Faden durch den Stoff gezogen werden, nur ist "Stoff
> vermitteln" und "Stoff 1zu1 aus dem Skriüt an die Tafel
> klieren, OHNE ergänzendes zu vermitteln" ebend nicht eine
> Methode des Lernens - für niemanden. Mir ist unschlüssig
> ob ich nicht einfach Zuhause bleibe und den Stoff im Buch
> anguck, statt das gleiche in der Vorlesung zu tun. So hätt
> ich mehr Zeit zum Lernen. Nur kann mit dem Stoff alleine
> nichts anfangen, wenn die Basics nicht richtig beigebracht
> wurden (Beweisführung). Das Material ist auch mehr als
> mager, so dass es unmöglich ist hier alleine
> durchzustarten. Ich habe mir jetzt Zusatz-Literatur
> gekauft, mit durchgerechnetetn Beispielen, ich hoffe das
> gibt dem Stoff eine Anwendung, dürfte Morgen ankommen.
> Warum gibts die Übungsaufgaben zbsp nicht mit Lösungen /
> durchgerechnet. Sind schließlich Übungsaufgaben, warum
> also die Lösung vorenthalten? Ich glaub das alleine,
> würde es mir um einiges einfacher machen mir die
> "Herrangehensweise" klar zu machen.
Du sollst lernen, das "allgemeine", was in der Vorlesung vermittelt wird,
auf spezielle Situationen anzuwenden - bzw. da herauszufiltern, welche
der vorgestellten "Werkzeuge" dafür passen könnten.
Wie willst Du so etwas lernen, wenn Du nie selbst probiert hast, die
Übungsaufgaben zu lösen? Dann kommt eine neue Situation, und Du bist
dermaßen unkreativ, dass Du noch nicht mal versuchst, passende
Werkzeuge zu finden, um ein anderes Problem zu lösen/zu behandeln.
Und die Lösungen werden doch nicht vorenthalten: Jedenfalls wurden bei
uns immer die Lösungen vorgerechnet, ob in einer Übung oder in einem
Tutorium. (Oder sie wurden online zum Download gestellt.)
Abgesehen davon: Du kannst auch hier nachfragen, man erwartet aber
von Dir eben Mitarbeit. Wenn man das nicht erwarten würde: Was würde
Dir eine "Musterlösung" bringen? Du liest sie durch: "Ah, so geht das also."
Legst sie beiseite und hast in den nächsten 10 Minuten eh schon wieder
alles vergessen - d.h. stellt man Dir dann die gleiche Aufgabe nochmal,
wirst Du auch nicht mehr können als vorher.
Hast Du gelernt, wie man lernt, sich mit Musterlösungen die Lösungen von
Aufgaben zu verinnerlichen, die man selbst nicht lösen konnte? Ich finde
es da am geeignetesten, so eine Art "ich spicke, lege den Spickzettel weg,
arbeite die Aufgabe selbst solange durch, bis ich wieder spicken muss etc.
pp."-Verfahren anzuwenden!
Komm' mal weg von der Vorstellung, dass man jedes Problem nur durch
Behandlung genügend vieler Beispiele lösen kann. Im Mathematikstudium
sollst Du lernen, möglichst viele "Werkzeuge" benutzen/anwenden zu
können, um (nicht nur, aber vorwiegend mathematische) Probleme, die
vielleicht auch wie "Neuland" aussehen, selbstständig lösen zu können.
Bei Dir muss irgendwann der Punkt kommen: "Hey, heute habe ich in der
Vorlesung das und das gehört. Okay, jetzt habe ich doch hier ein Problem..."
meinetwegen hast Du mal über etwas "abstrakteres" nachgedacht", oder
irgendeine Finanzplanung in Deinem Leben willst Du optimieren. Dann
musst Du in der Lage sein, dieses Problem logisch nach und nach zu
erschließen. Meinetwegen muss es erstmal formuliert werden. Dann siehst
Du: Es ist sinnvoller, wenn ich dieses "große Problem" in Teilprobleme
zerlege. Und dann siehst Du nach und nach: "Dieses und jenes Teilproblem
kann ich schnell lösen: Ich habe ja gelernt, wie ich Extremalstellen
berechnen kann..."
Oder was auch immer.
Uni-Mathematik: Man bekommt verdammt starke, sehr allgemein
einsetzbare "Werkzeuge" in die Hand und soll damit lernen, auch
(komplexere!) kleinere Probleme zu lösen - wobei "klein" in
Anführungszeichen gemeint ist, denn manchmal kann so ein "kleines"
Problem auch mal 'ne Diplomarbeit werden.
Du willst immer noch den umgekehrten Weg (soweit ich weiß, war Euler
da auch ein Beispiel für): Mit möglichst vielen speziellen Situationen,
speziellen Problemen willst Du dann nach und nach eine Theorie
entwickeln bzw. nach und nach den Theorieaufbau verstehen, den es
zur Zeit gibt.
Deswegen nach wie vor: Informiere Dich mal, ob eine FH für Dich
geeigneter wäre - jedenfalls, wenn Du, wie Angela vorgeschlagen hatte,
nach den ersten 2 Semestern immer noch so unzufrieden mit der
Unimathematik bist.
Und nochmal die Frage, denn ich habe die Antwort bisher nicht gesehen
oder vielleicht überlesen: Wo studierst Du denn?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Do 01.11.2012 | | Autor: | Ifeeldumb |
Aber das ist es ja. Ich lerne Werkzeuge die ich nie angewand sehe!
De Morgan zbsp, wurde via Beispiel gezeigt / erklärt / bewiesen. Das ist ein Werkzeug was ich verinnerlicht habe und auch für alles benutzen kann.
Nur dann steht irgendwo etwas Abstraktes, und man erwartet das man dieses Abstrakte Chaos geordnert und folgerichtig an Aufgaben anwenden soll. Da fehlt einfach ein Schritt dazwischen.
Ich bin schon in der Lage äquivalente Anwendung aus Beispielen zu ziehen oder wenn der Beweis klar genug erbracht ist. Das ist aber ebend nur selten der Fall.
Und wie man selbst am besten lernt ist ja für jeden unterschiedlich. Noch NIE habe ich "blind ins Leere rechnen / überlegen"ohne mittel der Überprüfung auf Richtigkeit als annehmbar empfunden. Übungsaufgaben ohne Lösung sind für mich fast nutzlos. Klar ich guck sie mir an, mach mir Gedanken und alles, nur wenn ich mich dann verrenn und ich keine weiteren Angehnsweisen finde oder überhaupt keine Herangehnsweise habe, sitzt ich auf dem Trockenen ohne Möglichkeit die Aufgabe selbstständig zu entschlüsseln und zu erarbeiten.
Theorie => Beispiel, oder Beispiel => Theorie oder Beispiel <> Theorie ist mir egal, nur Theorie ohne Beispiel ist ebenso minderwertig wie ein Beispiel ohne Theorie; je nach Komplexität des Vermittelten Stoffes. Alles "gleich" zu behandeln, ist einfach ein Fehler meiner Meinung nach.
Ich Studiere in Berlin - und das HA-Kriterium ist von Modul zu Modul unterschiedlich (ich weiß nicht ob allgemeingültig, oder vom Professor ausgehend), wenn es überhaupt eins gibt. I&E Rechnungswesen braucht keins und ist dazu sowas von leicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Do 01.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> (1=2 => 1=1 - Gesamtaussage richtig da F W = W ist! d'oh toller Beweis... damit lässt sich ja die Existenz der Heinzelmännchen richtig biegen :X).
In der Tat ist
$1=2$ => ich bin der Kaiser von China
wahr.
Nur: $1=2$ ist nicht wahr und somit hat die obige Aussage null Informationsgehalt. Außerdem gibt es keinen kausalen Zusammenhang zwischen den beiden Aussagen $1=2$ und "ich bin der Kaiser von China".
In der mathematischen Praxis werden kaum Schlussfolgerungen aus Aussagen, von denen man schon weiß, dass sie falsch sind, gezogen. Stattdessen trifft man Schlussfolgerungen mit kausalem Zusammenhang.
> Es ist einfach unlogisch in meinem Kopf das f(3)=(4) => 3=4
> folgen soll.
Du nimmst also an, dass f injektiv ist und dass f(3)=f(4) ist. Das ist schlichtweg eine falsche Aussage: Wenn f injektiv ist, kann nicht f(3)=f(4) gelten.
Somit ist jede Folgerung aus der falschen Aussage f(3)=f(4) wahr.
Willst du allerdings erst beweisen, dass f(3)=f(4) für injektives f nicht gelten kann, so kannst du folgendermaßen vorgehen:
Beweis durch Widerspruch:
Angenommen f(3)=f(4).
Weil f injektiv ist, wäre dann 3=4, was einen Widerspruch darstellt.
Also war die Annahme f(3)=f(4) falsch.
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Ich frage mich, warum das die "DEFINITION" für Injektivität ist, wenn es doch nichts darüber aussagt?
[mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] => [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2
[/mm]
Ist doch nur zum Widerlegen gut oder nicht? Da [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] ja die Injektivität auschließt. Warum steht dann dort nicht nur als Vorraussetzung [mm] f(x_1) \not= f(x_2)?
[/mm]
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> Ich frage mich, warum das die "DEFINITION" für
> Injektivität ist, wenn es doch nichts darüber aussagt?
> [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]f(x_2)[/mm] => [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm]
> Ist doch nur zum Widerlegen gut oder nicht? Da [mm]f(x_1)[/mm] =
> [mm]f(x_2)[/mm] ja die Injektivität auschließt. Warum steht dann
> dort nicht nur als Vorraussetzung [mm]f(x_1) \not= f(x_2)?[/mm]
Hallo,
irgendwie weiß ich gerade nicht so recht, was Du meinst bzw. sagen möchtest.
In der Tat kann man die Injektivität einer Funktion [mm] f:X\to [/mm] Y wie folgt definieren:
f heißt injektiv
<==>
für alle [mm] x_1, x_2\in [/mm] X gilt:
sofern [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] ist, so folgt [mm] x_1=x_2.
[/mm]
(injektiv: Funktionswerte gleich ==> Argumente gleich)
Wenn in irgendeinem Satz nun von einer injektiven Funktion die Rede ist, weißt Du, daß exakt dies damit gemeint ist.
Ist die Situation so, daß Du eine konkrete Funktion vorliegen hast und deren Injektivität beweisen möchtest, so ist zu zeigen, daß aus der Gleichheit der Funktionswerte die Gleichheit der Argumente folgt.
Möchtest Du Injektivität widerlegen, so gibst Du zwei verschiedene Argumente an, die denselben Funktionswert haben.
Du kannst Injektivität aber auch (völlig gleichwertig zu dem von oben) so definieren:
f heißt injektiv
<==>
sofern [mm] x_1, x_2\in [/mm] X mit [mm] x_1\not=x_2,
[/mm]
so folgt [mm] f(x_1)\not=f(x_2).
[/mm]
(injektiv: Argumente verschieden ==> Funktionswerte verschieden.)
> [mm] $f(x_1)$ [/mm] = [mm] $f(x_2)$ [/mm] => [mm] $x_1$ [/mm] = [mm] $x_2$
[/mm]
> Ist doch nur zum Widerlegen gut oder nicht?
Es ist eine Eigenschaft injektiver Funktionen.
Wenn z.B. in irgendeinem Beweis eine injektive Funktion vorkommt, man im Verlaufe seiner Bemühungen und Betrachtungen feststellt, daß die Funktionswerte an den Stellen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] übereinstimmen, so weiß man, daß [mm] x_1=x_2 [/mm] gilt.
Natürlich nutzt man die Definition auch, wenn man die Injektivität einer Funktion widerlegen mchte.
> Da [mm] $f(x_1)$ [/mm] = [mm] $f(x_2)$ [/mm] ja die Injektivität auschließt.
Nö.
Sofern [mm] x_1=x_2 [/mm] gilt, ist [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] mit der Injektivität kompatibel.
>Warum steht dann
> dort nicht nur als Vorraussetzung [mm] $f(x_1) \not= f(x_2)?$
[/mm]
Hm. Ich glaube Du hast etwas nicht richtig verstanden.
Die Injektivität wird ja nicht durch [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] definiert, sondern durch die Folgerung, die sich hieraus ergibt: [mm] x_1=x_2.
[/mm]
Ebenso ergibt sich im Falle der Injektivität aus [mm] x_1\not=x_2, [/mm] daß [mm] f(x_1)\not=f(x_2).
[/mm]
Ist die Funkion nicht injektiv, so folgt aus der Verschiedenheit der Argumente nicht zwingend, daß die Funktionswerte verschieden sein müssen.
Ich prüfe jetzt mal, ob die Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] mit f(x):=3x+4 injektiv ist:
seien [mm] x,y\in \IR [/mm] mit
f(x)=f(y).
Nach Def. der Funktion folgt
3x+4=3y+4
==>
3x=3y
==> x=y.
Aus f(x)=f(y) folgt, daß x=y. Also weiß ich nun, daß die Funktion injektiv ist.
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ifeeldumb,
um Dir noch ein wenig die Frustrationen zu nehmen:
Es gibt einige Youtube-Videos, wo Leute "anschaulich" Injektivität
und Surjektivität erklären. Ich habe nun nicht die Zeit, mir ein paar
anzusehen und "sie qualitativ zu bewerten" - aber such' mal danach,
und guck' Dir so das ein oder andere an!
Denn "manchmal sagen Bilder mehr als 1000 Worte"!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:32 Do 01.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ifeeldumb,
in der Tat gibt es bei den Aufgaben selten ein Schema F, nach dem sie bearbeitet werden können. Aber zumindest ein Grundgerüst für die Beweise kann man vielen Aufgaben ganz gut entnehmen, wie ich dir gerne an deiner Aufgabe aus den aktuellen Hausaufgaben demonstrieren möchte. Ich wandele sie dazu etwas ab, um den Umfang ein wenig zu reduzieren:
| Aufgabe 1 | | Seien [mm] $f\colon X\to [/mm] Y$ und [mm] $g\colon Y\to [/mm] Z$ surjektive Abbildungen. Man zeige, dass dann auch [mm] $g\circ [/mm] f$ surjektiv ist. |
Was kannst du nun an diese Aufgabe herangehen?
Zum Verständnis des Begriffs der Surjektivität hast du ja schon einige Tipps erhalten.
Es kann nie schaden auszuschreiben, was die Voraussetzungen bedeuten:
f surjektiv heißt:
Für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ existiert ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit $f(x)=y$.
g surjektiv heißt:
Für alle [mm] $z\in [/mm] Z$ existiert ein [mm] $y\in [/mm] Y$ mit $g(y)=z$.
Nachdem die Voraussetzungen geklärt sind, nun zur Behauptung [mm] $g\circ [/mm] f$ surjektiv. Auch die Bedeutung davon solltest du dir aufschreiben:
Für alle [mm] $z\in [/mm] Z$ existiert ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit [mm] $g\circ [/mm] f(x)=z$.
Das ist also nun zu zeigen. Zu zeigen ist also eine "für alle"-Aussage. Zum Beweis von "für alle"-Aussagen gibt es ein Standardverfahren: Man nimmt sich ein beliebiges dieser Objekte (hier [mm] $z\in [/mm] Z$) her und zeigt die Aussage über dieses Objekt. Weil das Objekt beliebig war, gilt die Aussage für alle diese Objekte. Also:
"Sei [mm] $z\in [/mm] Z$. Zu zeigen ist, dass ein [mm] $x\in [/mm] X$ existiert mit [mm] $g\circ [/mm] f(x)=z$."
Zu zeigen ist also nun eine "es existiert"-Aussage. Auch da gibt es ein Standardverfahren: Man gibt ein Beispiel für ein solches Element an. (Wobei man meist Ideen braucht, um so ein Beispiel zu finden.)
Im Laufe des Beweises werden wir also ein Element [mm] $x\in [/mm] X$ angeben.
Das Ende des Beweises wird dann in etwa so aussehen:
"Es gilt also [mm] $f\circ [/mm] g(x)=z$."
Damit ist dann gezeigt, dass es ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit [mm] $f\circ [/mm] g(x)=z$ gibt, was zu zeigen war.
Soweit der Rahmen des Beweises!
Kriegst du selbst ähnliche Überlegungen für folgende Aufgabe hin? Also:
Was bedeuten die Voraussetzungen?
Was bedeutet die Behauptung?
Wie lautet der Rahmen für eventuell auftauchende "für alle"- oder "es existiert"-Aussagen, die zu zeigen sind?
| Aufgabe 2 | | Seien [mm] $f\colon X\to [/mm] Y$ und [mm] $g\colon Y\to [/mm] Z$ injektive Abbildungen. Man zeige, dass dann auch [mm] $g\circ [/mm] f$ injektiv ist. |
Viel Erfolg!
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:55 Do 01.11.2012 | | Autor: | Ifeeldumb |
Danke! nach sowas hab ich gesucht. Eine führende Hand.
Ich werd das morgen dann mal angehn im Detail. Ich frage mich nur, wer gedacht hat das das UNI Konzept wie es zur Zeit betrieben wird eine gute Idee war. Irgendwo hat da die Erklärung zu vielem am Anfang gefehlt, zbsp wie man an so eine Aufgabe rangeht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke! nach sowas hab ich gesucht. Eine führende Hand.
> Ich werd das morgen dann mal angehn im Detail. Ich frage
> mich nur, wer gedacht hat das das UNI Konzept wie es zur
> Zeit betrieben wird eine gute Idee war.
glaubst Du, dass sich das erst vor kurzem so entwickelt hat?
> Irgendwo hat da die
> Erklärung zu vielem am Anfang gefehlt, zbsp wie man an so
> eine Aufgabe rangeht.
Das ist der Sinn und Zweck der Kombination "Vorlesung+Übung". Es gibt
übrigens immer ein fatales Problem: In den ersten Semestern traut sich
fast keiner der Student(in)nen, mal mit einer Aufgabe, bei der man gar
nicht zu Rande kommt, mal zu den Professoren zu gehen oder damit
zu den betreuenden Übungsleitern zu gehen. Aus Angst, dass man sich
"als dumm" darstellen könnte.
Denken wir mal rational: Wenn man eh nicht für das Studium geeignet ist,
wird man es eh irgendwann "verlassen", weil man nicht weiter kommt, die
Punkte/Scheine fehlen etc. pp.. Da wird sich keiner großartig an Euch
erinnern. Wenn ihr aber von den Leuten etwas lernt, und dann nach und
nach sich herausstellt, dass ihr gut durch's Studium kommt, dann hatte der
Prof. vielleicht anfangs den Eindruck "Uiuiuiu, mit dem/der werden wir's
nicht leicht haben!", aber im Laufe der Zeit kann sich dann doch nur der
Eindruck entwickeln "Wow, anfangs hatte der/die bei so leichten Aufgaben
Probleme, und jetzt: Man, hat der/die sich entwickelt!"
D.h.: Verlieren kann man dabei doch eigentlich nichts. Oder?
Also: Hintern hoch und geht auch mal fragen. Ich kenne einen 1er-Diplomer,
der hatte noch kurz vor'm Vordiplom nicht verstanden, was Kompaktheit
eigentlich heißt... Man muss auch mal 'n bisschen den Mut zur Blamage
haben!
Gruß,
Marcel
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nachdem ich jetzt ne halbe stunde darauf gestart hab, ist mir immernoch nicht klar wie ich das jetzt genau beweisen soll bzw was ich hinzuschreiben habe. Allein schon das ich in der vorrausetzung habe "=bijektiv" und dann "bijektiv" beweisen soll ist doch sinnfrei?! mein username ist grad program. ich schaff nicht mal eine aufgabe der HA, und das geht den anderen in meiner 3er gruppe genau so und durch das scheinkriterium fühl ich mich grade kurz vorm verzweifeln und depressiv...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Do 01.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Kopf hoch, wenn du hier dran bleibst sehe ich im Moment alles andere als schwarz!
> Allein schon das ich
> in der vorrausetzung habe "=bijektiv" und dann "bijektiv"
> beweisen soll ist doch sinnfrei?!
Wenn die einen Abbildungen bijektiv sind, muss es die andere ja a priori noch lange nicht sein.
Gehen wir doch mal das von mir vorgeschlagene Programm durch:
1. Was bedeuten die Voraussetzungen?
2. Was bedeutet die Behauptung, die wir zeigen müssen?
3. Anhand der "für alle"-bzw. "es existiert"-Aussagen aus 2. den Beweisrahmen abstecken.
Meine Idee ist, dass du zunächst diese Schritte einübst. Dann präsentiere ich dir anhand der von mir gegebene leicht abgewandelten Aufgabe Strategien zu
4. Beweisführung.
Aber fangen wir doch erst einmal mit 1. und 2. an. Gucke dir diese Schritte ruhig noch einmal in meiner vorigen Antwort an.
Zu 1.: Ich führe dir an "g bijektiv" vor, was ich meine:
g bijektiv heißt: g injektiv und g surjektiv
g injektiv heißt:
Für alle [mm] $y,y'\in [/mm] Y$ mit $g(y)=g(y')$ gilt bereits $y=y'$.
g surjektiv heißt:
Für alle [mm] $z\in [/mm] Z$ existiert ein [mm] $y\in [/mm] Y$ mit $g(y)=z$.
Formuliere du nun, was "f bijektiv" bedeutet!
Zu 2.: Was bedeutet [mm] $g\circ [/mm] f$ bijektiv?
Zu 3. kann ich natürlich erst etwas sagen, wenn 2. erledigt ist.
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Erstmal danke an alle die mir hier versuchen zu helfen, ich bin wirklich dankbar. Zurzeit ist das meine einzige Bezugsquelle wenn es geht vorranzukommen. Ich bezweifel das folgendes richtig ist, aber naja:
> Gehen wir doch mal das von mir vorgeschlagene Programm
> durch:
> 1. Was bedeuten die Voraussetzungen?
> 2. Was bedeutet die Behauptung, die wir zeigen müssen?
> 3. Anhand der "für alle"-bzw. "es existiert"-Aussagen aus
> 2. den Beweisrahmen abstecken.
>
> Meine Idee ist, dass du zunächst diese Schritte einübst.
> Dann präsentiere ich dir anhand der von mir gegebene
> leicht abgewandelten Aufgabe Strategien zu
> 4. Beweisführung.
>
> Aber fangen wir doch erst einmal mit 1. und 2. an. Gucke
> dir diese Schritte ruhig noch einmal in meiner vorigen
> Antwort an.
>
>
> Zu 1.: Ich führe dir an "g bijektiv" vor, was ich meine:
>
> g bijektiv heißt: g injektiv und g surjektiv
>
> g injektiv heißt:
>
> Für alle [mm]y,y'\in Y[/mm] mit [mm]g(y)=g(y')[/mm] gilt bereits [mm]y=y'[/mm].
>
> g surjektiv heißt:
>
> Für alle [mm]z\in Z[/mm] existiert ein [mm]y\in Y[/mm] mit [mm]g(y)=z[/mm].
>
>
> Formuliere du nun, was "f bijektiv" bedeutet!
Laut Vorrausetzung ist f bijektiv, das heißt f ist sowohl Injektiv als auch Surjektiv.
Surjektiv: Für alle $ [mm] x\in [/mm] X $ existiert ein $ [mm] y\in [/mm] Y $ mit $ f(x)=y $.
Injektiv: Für alle $ [mm] x_1,x_2\in [/mm] X $ mit $ [mm] x_1\not=x_2 [/mm] $ gilt $ [mm] f(x_1)\not=f(x_2). [/mm] $
>
> Zu 2.: Was bedeutet [mm]g\circ f[/mm] bijektiv?
Das [mm]g\circ f[/mm] auch wieder Injektiv und Surjektiv ist:
Injektiv: Für alle $x [mm] \in [/mm] X$ existiert ein $ z [mm] \in [/mm] Z$ mit $f(x)=z$.
Surjektiv: mh... Für alle $ [mm] x_1,x_2\in [/mm] X $ mit $ [mm] x_1\not=x_2 [/mm] $ gilt $ [mm] g(f(x_1))\not=g(f(x_2)). [/mm] $??
>
>
> Zu 3. kann ich natürlich erst etwas sagen, wenn 2.
> erledigt ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Formuliere du nun, was "f bijektiv" bedeutet!
> Laut Vorrausetzung ist f bijektiv, das heißt f ist sowohl
> Injektiv als auch Surjektiv.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Surjektiv: Für alle [mm]x\in X[/mm] existiert ein [mm]y\in Y[/mm] mit
> [mm]f(x)=y [/mm].
Nein. Das, was du geschrieben hast, gilt für jede Funktion f. Zu jedem [mm] $x\in [/mm] X$ existiert ein [mm] $y\in [/mm] Y$ mit $f(x)=y$, nämlich einfach $y:=f(x)$.
Surjektivität von f bedeutet:
Für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ existiert ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit $f(x)=y$.
> Injektiv: Für alle [mm]x_1,x_2\in X[/mm] mit [mm]x_1\not=x_2[/mm]
> gilt [mm]f(x_1)\not=f(x_2).[/mm]
Schön!
> > Zu 2.: Was bedeutet [mm]g\circ f[/mm] bijektiv?
> Das [mm]g\circ f[/mm] auch wieder Injektiv und Surjektiv ist:
Im Folgenden hast du wahrscheinlich nur flüchtigkeitshalber injektiv und surjektiv vertauscht. Ansonsten:
> Injektiv: Für alle [mm]x \in X[/mm] existiert ein [mm]z \in Z[/mm] mit
> [mm]f(x)=z[/mm].
Selber Fehler wie bei der Surjektivität von f.
(Natürlich meinst du außerdem [mm] $g\circ [/mm] f$ statt $f$.)
> Surjektiv: mh... Für alle [mm]x_1,x_2\in X[/mm] mit [mm]x_1\not=x_2[/mm]
> gilt [mm]g(f(x_1))\not=g(f(x_2)). [/mm]??
Abgesehen von der Verwechslung von injektiv und surjektiv: Völlig korrekte Ausformulierung der Injektivität von [mm] $g\circ [/mm] f$!
Ich fasse zusammen:
1. Wir haben als Voraussetzungen:
f injektiv:
Für alle [mm] $x,x'\in [/mm] X$ mit [mm] $x\not=x'$ [/mm] gilt [mm] $f(x)\not=f(x')$.
[/mm]
g injektiv:
Für alle [mm] $y,y'\in [/mm] Y$ mit [mm] $y\not=y'$ [/mm] gilt [mm] $g(y)\not=g(y')$.
[/mm]
f surjektiv:
Für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ existiert ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit $f(x)=y$.
g surjektiv:
Für alle [mm] $z\in [/mm] Z$ existiert ein [mm] $y\in [/mm] Y$ mit $g(y)=z$.
2. Zu zeigen sind zwei Dinge:
a) [mm] $g\circ [/mm] f$ injektiv, d.h.
Für alle [mm]x_1,x_2\in X[/mm] mit [mm]x_1\not=x_2[/mm] gilt [mm]g(f(x_1))\not=g(f(x_2))[/mm].
b) [mm] $g\circ [/mm] f$ surjektiv, d.h.
Für alle [mm] $z\in [/mm] Z$ existiert ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit $g(f(x))=z$.
Schreibe dir diese Zusammenfassung am besten auf ein Blatt Papier.
1. und 2. erledigt!
Zu 3.: Ich mache mal den Rahmen für b) vor und du versuchst dann den Rahmen für a), ok?
b) "Zu zeigen: Für alle [mm] $z\in [/mm] Z$ existiert ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit $g(f(x))=z$."
Zu zeigen ist also eine "für alle"-Aussage. Standardverfahren: Wir nehmen ein solches Objekt (hier: [mm] $z\in [/mm] Z$) her und zeigen die Aussage für dieses Objekt.
"Sei [mm] z\in [/mm] Z. Zu zeigen ist, dass ein [mm] $x\in [/mm] X$ existiert mit $g(f(x))=z$."
Zu zeigen ist also eine "es existiert"-Aussage. Standardverfahren: Wir geben ein Beispiel für ein solches Objekt (hier: [mm] $x\in [/mm] X$ mit $g(f(x))=z$) an.
Im Laufe des Beweises werden wir also ein [mm] $x\in [/mm] X$ angeben.
Unser Beweisende wird lauten:
"Also g(f(x))=z."
Nun viel Erfolg bei deinem Versuch von 3. für Teil a)!
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:46 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> > > Formuliere du nun, was "f bijektiv" bedeutet!
> > Laut Vorrausetzung ist f bijektiv, das heißt f ist
> sowohl
> > Injektiv als auch Surjektiv.
>
> > Surjektiv: Für alle [mm]x\in X[/mm] existiert ein [mm]y\in Y[/mm] mit
> > [mm]f(x)=y [/mm].
> Nein. Das, was du geschrieben hast, gilt für
> jede Funktion f. Zu jedem [mm]x\in X[/mm] existiert ein [mm]y\in Y[/mm] mit
> [mm]f(x)=y[/mm], nämlich einfach [mm]y:=f(x)[/mm].
>
> Surjektivität von f bedeutet:
>
> Für alle [mm]y\in Y[/mm] existiert ein [mm]x\in X[/mm] mit [mm]f(x)=y[/mm].
>
> > Injektiv: Für alle [mm]x_1,x_2\in X[/mm] mit [mm]x_1\not=x_2[/mm]
> > gilt [mm]f(x_1)\not=f(x_2).[/mm]
> Schön!
>
>
> > > Zu 2.: Was bedeutet [mm]g\circ f[/mm] bijektiv?
> > Das [mm]g\circ f[/mm] auch wieder Injektiv und Surjektiv ist:
>
>
> Im Folgenden hast du wahrscheinlich nur
> flüchtigkeitshalber injektiv und surjektiv vertauscht.
> Ansonsten:
> > Injektiv: Für alle [mm]x \in X[/mm] existiert ein [mm]z \in Z[/mm] mit
> > [mm]f(x)=z[/mm].
> Selber Fehler wie bei der Surjektivität von f.
> (Natürlich meinst du außerdem [mm]g\circ f[/mm] statt [mm]f[/mm].)
> > Surjektiv: mh... Für alle [mm]x_1,x_2\in X[/mm] mit
> [mm]x_1\not=x_2[/mm]
> > gilt [mm]g(f(x_1))\not=g(f(x_2)). [/mm]??
> Haargenau!
hätte er von INJEKTIVITÄT gesprochen, würde ich Dir zustimmen. 
Gruß,
Marcel
>
> Ich fasse zusammen:
>
> 1. Wir haben als Voraussetzungen:
>
> f injektiv:
>
> Für alle [mm]x,x'\in X[/mm] mit [mm]x\not=x'[/mm] gilt [mm]f(x)\not=f(x')[/mm].
>
> g injektiv:
>
> Für alle [mm]y,y'\in Y[/mm] mit [mm]y\not=y'[/mm] gilt [mm]g(y)\not=g(y')[/mm].
>
> f surjektiv:
>
> Für alle [mm]y\in Y[/mm] existiert ein [mm]x\in X[/mm] mit [mm]f(x)=y[/mm].
>
> g surjektiv:
>
> Für alle [mm]z\in Z[/mm] existiert ein [mm]y\in Y[/mm] mit [mm]g(y)=z[/mm].
>
>
> 2. Zu zeigen sind zwei Dinge:
>
> a) [mm]g\circ f[/mm] injektiv, d.h.
>
> Für alle [mm]x_1,x_2\in X[/mm] mit [mm]x_1\not=x_2[/mm] gilt
> [mm]g(f(x_1))\not=g(f(x_2))[/mm].
>
> b) [mm]g\circ f[/mm] surjektiv, d.h.
>
> Für alle [mm]z\in Z[/mm] existiert ein [mm]x\in X[/mm] mit [mm]g(f(x))=z[/mm].
>
>
> Schreibe dir diese Zusammenfassung am besten auf ein Blatt
> Papier.
>
> 1. und 2. erledigt!
>
>
> Zu 3.: Ich mache mal den Rahmen für b) vor und du
> versuchst dann den Rahmen für a), ok?
>
> b) "Zu zeigen: Für alle [mm]z\in Z[/mm] existiert ein [mm]x\in X[/mm] mit
> [mm]g(f(x))=z[/mm]."
>
> Zu zeigen ist also eine "für alle"-Aussage.
> Standardverfahren: Wir nehmen ein solches Objekt (hier:
> [mm]z\in Z[/mm]) her und zeigen die Aussage für dieses Objekt.
>
> "Sei [mm]z\in[/mm] Z. Zu zeigen ist, dass ein [mm]x\in X[/mm] existiert mit
> [mm]g(f(x))=z[/mm]."
>
> Zu zeigen ist also eine "es existiert"-Aussage.
> Standardverfahren: Wir geben ein Beispiel für ein solches
> Objekt (hier: [mm]x\in X[/mm] mit [mm]g(f(x))=z[/mm]) an.
>
> Im Laufe des Beweises werden wir also ein [mm]x\in X[/mm] angeben.
>
> Unser Beweisende wird lauten:
>
> "Also g(f(x))=z."
>
>
> Nun viel Erfolg bei deinem Versuch von 3. für Teil a)!
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 00:53 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
sorry für mein missverständliche Formulierung.
> > Im Folgenden hast du wahrscheinlich nur
> > flüchtigkeitshalber injektiv und surjektiv vertauscht.
> > Ansonsten:
Hiermit meinte ich ausreichend auf den Fehler hingewiesen zu haben und getrost die Vertauschung der Begriffe im Folgenden ignorieren zu können.
Aber gut, dass du nocheinmal drauf hinweist, um jedes Missverständnis auszuschließen. Ich editiere es daher gleich einmal.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 02:27 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi Tobi,
> Hallo Marcel,
>
> sorry für mein missverständliche Formulierung.
>
> > > Im Folgenden hast du wahrscheinlich nur
> > > flüchtigkeitshalber injektiv und surjektiv vertauscht.
> > > Ansonsten:
> Hiermit meinte ich ausreichend auf den Fehler hingewiesen
> zu haben und getrost die Vertauschung der Begriffe im
> Folgenden ignorieren zu können.
>
> Aber gut, dass du nocheinmal drauf hinweist, um jedes
> Missverständnis auszuschließen. Ich editiere es daher
> gleich einmal.
ja ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , da hatte ich vorhin wohl zu flüchtig gelesen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 02:39 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> ja , da hatte ich vorhin wohl zu flüchtig
> gelesen...
Keine Ursache! Meine Formulierung war ja offenbar missverständlich, also ist es gut, dass du mich draufhingewiesen hast.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:50 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Ifeeldumb |
So banal es klingt, die zahlreichen Däumchen haben einen sehr positiven Effekt auf meinen Gemütszustand.
Ich hab das schlichtweg immer falschrum gelesen irgendwie. Natürlich macht es nur Sinn das für jedes y ein x für f(x) = y gibt und nicht andersrum. Der Wertebereich ist ja komplett verknüpft, wie ich es selbst mit meiner komschen Aussage hingestellt habe x). Den Fehler werd ich hoffentlich nicht mehr machen.
Und ja bei dem einen hab ich das außersehn in der falschen Reinfolge gehabt. Konnte es nicht mehr bearbeiten, weil es schon reserviert war :)
Ich werd das morgen in der Uni nochmal aus dem Kopf versuchen auf Papier zu bringen und weiterzuführen. Für heute ist erstmal schlafen angesagt. Ich werde dann morgen das ganze weiterführen bzw meine Ergebnisse präsentieren.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> nachdem ich jetzt ne halbe stunde darauf gestart hab, ist
> mir immernoch nicht klar wie ich das jetzt genau beweisen
> soll bzw was ich hinzuschreiben habe. Allein schon das ich
> in der vorrausetzung habe "=bijektiv" und dann "bijektiv"
> beweisen soll ist doch sinnfrei?! mein username ist grad
> program. ich schaff nicht mal eine aufgabe der HA, und das
> geht den anderen in meiner 3er gruppe genau so und durch
> das scheinkriterium fühl ich mich grade kurz vorm
> verzweifeln und depressiv...
depressiv wirst Du nicht - das Gefühl, nahe der Verzweiflung zu sein,
kann durchaus nachvollziehbar sein.
Was die Sache mit der Umkehrfunktion betrifft (d.h., Du hattest ja zu
zeigen: ist [mm] $f\,$ [/mm] bijektiv, so auch [mm] $f^{-1}$):
[/mm]
Lies' mal hier (klick me)!
Aber wichtig: Denk' drüber nach und stelle Rückfragen, wenn da etwas
unklar ist!
So, okay, ich mach' nun mal folgendes:
Seien $f: X [mm] \to [/mm] Y$ und $g: Y [mm] \to [/mm] Z$ beides injektive Funktionen. Ich
behaupte, dass dann auch $g [mm] \circ [/mm] f: X [mm] \to [/mm] Z$ injektiv ist.
(Das wird Dir helfen - warum?)
Denn:
Wir nehmen IRGENDWELCHE [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] X$ her, die nur zudem [mm] $x_1 \not=x_2$
[/mm]
erfüllen. Zu zeigen ist, dass dann schon $(g [mm] \circ f)(x_1) \not=(g \circ f)(x_2)$ [/mm] gilt.
1.) [mm] $f\,$ [/mm] ist injektiv: Daher folgt [mm] $f(x_1) \not=f(x_2)\,.$
[/mm]
2.) Beachte nun, dass mit [mm] $y_1:=f(x_1)$ [/mm] und [mm] $y_2:=f(x_2)$ [/mm] nun
[mm] $y_1,y_2 \in [/mm] Y$ mit [mm] $y_1 \not=y_2$ [/mm] gilt (die letzte Ungleichheit wegen 1.)).
Was folgt nun für [mm] $g(y_1)\,$ [/mm] und [mm] $g(y_2)\,$?
[/mm]
Und jetzt denke drüber nach, warum Du damit schon
$$(g [mm] \circ f)(x_1) \not=(g \circ f)(x_2)$$
[/mm]
gezeigt hast!
P.S. Hast Du eine Idee, was man noch zeigen könnte? $g [mm] \circ [/mm] f$ soll ja
auch surjektiv sein...
Naheliegend wäre es, also erstmal zu behaupten: ...?
Gruß,
Marcel
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> Was die Sache mit der Umkehrfunktion betrifft (d.h., Du
> hattest ja zu
> zeigen: ist [mm]f\,[/mm] bijektiv, so auch [mm]f^{-1}[/mm]):
> Lies' mal hier (klick me)!
>
Ich glaub der user dort ist sogar aus meiner Vorlesung. Er hatte Wort für Wort ne Frage gestellt von unserem Blatt letzte Woche. ^^
Die neue Frage ist ja auch Teil meiner Aufgabe.
Hier zu eine Frage die mir schon in der Vorlesung schwammig war: [mm] $Id_x [/mm] := f(x) [mm] \circ [/mm] f^-^1(x)$ oder? Heißt das, das einfach f(x) auf sich selbst zeigt - vom Wertebereich?
> So, okay, ich mach' nun mal folgendes:
> Seien [mm]f: X \to Y[/mm] und [mm]g: Y \to Z[/mm] beides injektive
> Funktionen. Ich
> behaupte, dass dann auch [mm]g \circ f: X \to Z[/mm] injektiv ist.
> (Das wird Dir helfen - warum?)
Das ist ja quasi die Aufgabenstellung. Ich behaupte das [mm]g \circ f: X \to Z[/mm] bijektiv ist, und muss das belegen (in dem ich zeige das sie In- und Surjektiv sind). Hier quasi mit Injektivität.
> Denn:
> Wir nehmen IRGENDWELCHE [mm]x_1,x_2 \in X[/mm] her, die nur zudem
> [mm]x_1 \not=x_2[/mm]
> erfüllen. Zu zeigen ist, dass dann schon [mm](g \circ f)(x_1) \not=(g \circ f)(x_2)[/mm]
> gilt.
>
> 1.) [mm]f\,[/mm] ist injektiv: Daher folgt [mm]f(x_1) \not=f(x_2)\,.[/mm]
>
> 2.) Beachte nun, dass mit [mm]y_1:=f(x_1)[/mm] und [mm]y_2:=f(x_2)[/mm] nun
> [mm]y_1,y_2 \in Y[/mm] mit [mm]y_1 \not=y_2[/mm] gilt (die letzte
> Ungleichheit wegen 1.)).
>
> Was folgt nun für [mm]g(y_1)\,[/mm] und [mm]g(y_2)\,[/mm]?
>
> Und jetzt denke drüber nach, warum Du damit schon
> [mm](g \circ f)(x_1) \not=(g \circ f)(x_2)[/mm]
> gezeigt hast!
Da ja [mm] f(x_1) \not= f(x_2) [/mm] als auch [mm] g(y_1) \not= g(y_2) [/mm] folgert das [mm] g(f(x_1)) \not= g(f(x_2) [/mm] gilt. Ist das a) richtig, und b) als "Beweis" für die Injektivität ausreichend? Die Definition der Injektivität [mm] x_1 \not= x_2 \Rightarrow f(x_1) \not= f(x_2) [/mm] erfüllt es ja...
>
> P.S. Hast Du eine Idee, was man noch zeigen könnte? [mm]g \circ f[/mm]
> soll ja
> auch surjektiv sein...
> Naheliegend wäre es, also erstmal zu behaupten: ...?
>
> Gruß,
> Marcel
...das f: X [mm] \to [/mm] Y und g: Y [mm] \to [/mm] Z surjektiv sind und daraus folgt das [mm]g \circ f[/mm] auch surjektiv ist. Was zu Zeigen gilt.
Ich mach das morgen weiter für die Surjektivität, wenn es bisher richtig ist. Zeit fürs Bett.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:37 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Hier zu eine Frage die mir schon in der Vorlesung schwammig
> war: [mm]Id_x := f(x) \circ f^-^1(x)[/mm] oder? Heißt das, das
> einfach f(x) auf sich selbst zeigt - vom Wertebereich?
Für jede Menge X hat man eine Abbildung [mm] $Id_X\colon X\to [/mm] X$, also von X nach X selbst, die einfach definiert ist durch [mm] $Id_X(x):=x$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] X$. Sie bildet also jedes Element von x auf sich selbst ab.
(Man kann sich überlegen: Wenn [mm] $f\colon X\to [/mm] Y$ bijektiv ist (also eine Umkehrabbildung [mm] $f^{-1}\colon Y\to [/mm] X$ hat), gilt [mm] $Id_X=f^{-1}\circ [/mm] f$.)
> > Seien [mm]f: X \to Y[/mm] und [mm]g: Y \to Z[/mm] beides injektive
> > Funktionen. Ich
> > behaupte, dass dann auch [mm]g \circ f: X \to Z[/mm] injektiv ist.
> > (Das wird Dir helfen - warum?)
> Das ist ja quasi die Aufgabenstellung. Ich behaupte das [mm]g \circ f: X \to Z[/mm]
> bijektiv ist, und muss das belegen (in dem ich zeige das
> sie In- und Surjektiv sind). Hier quasi mit Injektivität.
Es ist in der Tat fast ein Teil unserer Aufgabenstellung. In unserer Aufgabe sind f und g sogar bijektiv; bei Marcel sind f und g nur injektiv. Aber wenn wir Marcels Aussage gezeigt haben und somit wissen, dass die Verkettung zweier injektiver Abbildungen wieder injektiv ist, können wir argumentieren:
Die Abbildungen f und g aus deiner Aufgabe sind bijektiv, also insbesondere Injektiv. Also ist nach Marcels Behauptung [mm] $g\circ [/mm] f$ injektiv.
> > Wir nehmen IRGENDWELCHE [mm]x_1,x_2 \in X[/mm] her, die nur
> zudem
> > [mm]x_1 \not=x_2[/mm]
> > erfüllen. Zu zeigen ist, dass dann
> schon [mm](g \circ f)(x_1) \not=(g \circ f)(x_2)[/mm]
> > gilt.
> >
> > 1.) [mm]f\,[/mm] ist injektiv: Daher folgt [mm]f(x_1) \not=f(x_2)\,.[/mm]
>
> >
> > 2.) Beachte nun, dass mit [mm]y_1:=f(x_1)[/mm] und [mm]y_2:=f(x_2)[/mm] nun
> > [mm]y_1,y_2 \in Y[/mm] mit [mm]y_1 \not=y_2[/mm] gilt (die letzte
> > Ungleichheit wegen 1.)).
> >
> > Was folgt nun für [mm]g(y_1)\,[/mm] und [mm]g(y_2)\,[/mm]?
> >
> > Und jetzt denke drüber nach, warum Du damit schon
> > [mm](g \circ f)(x_1) \not=(g \circ f)(x_2)[/mm]
> > gezeigt hast!
> Da ja [mm]f(x_1) \not= f(x_2)[/mm] als auch [mm]g(y_1) \not= g(y_2)[/mm]
Ja, da [mm] $y_1\not=y_2$ [/mm] folgt aus der Injektivität von g, dass [mm] $g(y_1)\not=g(y_2)$ [/mm] gilt.
> folgert das [mm]g(f(x_1)) \not= g(f(x_2)[/mm] gilt.
Wir können in der Tat [mm] $g(f(x_1)) \not= g(f(x_2)$ [/mm] folgern.
Die Argumentation stimmt noch nicht ganz.
Die Aussage [mm] $g(y_1)\not=g(y_2)$ [/mm] bedeutet wegen [mm] $y_1=f(x_1)$ [/mm] und [mm] $y_2=f(x_2)$ [/mm] (so hatte Marcel [mm] $y_1$ [/mm] und [mm] $y_2$ [/mm] definiert) gerade [mm] $g(y_1)\not=g(y_2)$.
[/mm]
> Ist das a)
> richtig, und b) als "Beweis" für die Injektivität
> ausreichend? Die Definition der Injektivität [mm]x_1 \not= x_2 \Rightarrow f(x_1) \not= f(x_2)[/mm]
> erfüllt es ja...
Ja, das reicht aus. Zu zeigen war:
(*) Für alle [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $x_1\not=x_2$ [/mm] gilt [mm] $g\circ f(x_1)\not=g\circ f(x_2)$.
[/mm]
Dazu hat Marcel das von mir genannte Standardverfahren für "für alle"-Aussagen angewendet: Er hat sich ein beliebig vorgegebens solches Objekt (hier: [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $x_1\not=x_2$) [/mm] hergenommen und für dieses Objekt den Beweis der Aussage (hier: [mm] $g\circ f(x_1)\not=g\circ f(x_2)$) [/mm] begonnen.
Am Ende (nach einiger Argumentation) kamen wir begründet zum Schluss, dass tatsächlich [mm] $g\circ f(x_1)\not=g\circ f(x_2)$ [/mm] gilt.
Da die [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $x_1\not=x_2$, [/mm] mit denen wir gearbeitet haben, beliebig waren, haben wir die Aussage [mm] $f\circ g(x_1)\not=f\circ g(x_2)$ [/mm] tatsächlich für ALLE [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $x_1\not=x_2$ [/mm] gezeigt. Und genau das war nach (*) zu zeigen.
> > P.S. Hast Du eine Idee, was man noch zeigen könnte? [mm]g \circ f[/mm]
> > soll ja
> > auch surjektiv sein...
> > Naheliegend wäre es, also erstmal zu behaupten: ...?
> ...das WENN f: X [mm]\to[/mm] Y und g: Y [mm]\to[/mm] Z surjektiv sind und dann daraus
> folgt das [mm]g \circ f[/mm] auch surjektiv ist. Was zu Zeigen
> gilt.
Das meinte Marcel sicherlich.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 11:53 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> > Hier zu eine Frage die mir schon in der Vorlesung schwammig
> > war: [mm]Id_x := f(x) \circ f^-^1(x)[/mm] oder? Heißt das, das
> > einfach f(x) auf sich selbst zeigt - vom Wertebereich?
> Für jede Menge X hat man eine Abbildung [mm]Id_X\colon X\to X[/mm],
> also von X nach X selbst, die einfach definiert ist durch
> [mm]Id_X(x):=x[/mm] für alle [mm]x\in X[/mm]. Sie bildet also jedes Element
> von x auf sich selbst ab.
>
> (Man kann sich überlegen: Wenn [mm]f\colon X\to Y[/mm] bijektiv ist
> (also eine Umkehrabbildung [mm]f^{-1}\colon Y\to X[/mm] hat), gilt
> [mm]Id_X=f^{-1}\circ f[/mm].)
>
>
> > > Seien [mm]f: X \to Y[/mm] und [mm]g: Y \to Z[/mm] beides injektive
> > > Funktionen. Ich
> > > behaupte, dass dann auch [mm]g \circ f: X \to Z[/mm] injektiv ist.
> > > (Das wird Dir helfen - warum?)
> > Das ist ja quasi die Aufgabenstellung. Ich behaupte das
> [mm]g \circ f: X \to Z[/mm]
> > bijektiv ist, und muss das belegen (in dem ich zeige das
> > sie In- und Surjektiv sind). Hier quasi mit Injektivität.
> Es ist in der Tat fast ein Teil unserer Aufgabenstellung.
> In unserer Aufgabe sind f und g sogar bijektiv; bei Marcel
> sind f und g nur injektiv. Aber wenn wir Marcels Aussage
> gezeigt haben und somit wissen, dass die Verkettung zweier
> injektiver Abbildungen wieder injektiv ist, können wir
> argumentieren:
> Die Abbildungen f und g aus deiner Aufgabe sind bijektiv,
> also insbesondere Injektiv. Also ist nach Marcels
> Behauptung [mm]f\circ g[/mm] injektiv.
da ist ein Verschreiber: $f [mm] \circ [/mm] g$ wäre i.a. ja gar nicht definiert, sondern
$g [mm] \circ [/mm] f$ (vertauschte Reihenfolge) ist definiert!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 13:37 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Danke! Ich korrigiere es sofort.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:38 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Ich möchte noch ein wenig die Strategie erläutern, wie man auf einen solchen Beweis kommen kann.
Nach Durchführung der Schritte 1. bis 3. hast du also z.B. stehen:
1. Voraussetzungen:
f injektiv:
Für alle [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $x_1\not=x_2$ [/mm] gilt [mm] $f(x_1)\not=f(x_2)$.
[/mm]
g injektiv:
Für alle [mm] $y_1,y_2\in [/mm] Y$ mit [mm] $y_1\not=y_2$ [/mm] gilt [mm] $g(y_1)\not=g(y_2)$.
[/mm]
2. Behauptung:
[mm] $g\circ [/mm] f$ injektiv, d.h.
Für alle [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $x_1\not=x_2$ [/mm] gilt [mm] $g(f(x_1))\not=g(f(x_2))$.
[/mm]
3. Grundgerüst des Beweises:
(Standardverfahren "für alle"-Aussage:)
"Seien [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $x_1\not=x_2$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $g(f(x_1))\not=g(f(x_2))$."
[/mm]
Das Beweisende sollte ungefähr so aussehen:
"Also [mm] $g(f(x_1))\not=g(f(x_2))$."
[/mm]
Kommen wir nun zu 4., dem häufig schwierigsten Teil. Aber auch hier gibt es Standardmethoden.
Wir müssen mit den Objekten, die wir haben (f, g, [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$), [/mm] arbeiten. Es gilt aus dem, was wir wissen (f und g injektiv, [mm] $x_1\not=x_2$), [/mm] neue Erkenntnisse zu erzielen.
Eine Methode: Anwendung von einer vorausgesetzten "für alle"-Aussage auf konkrete Objekte.
Hier haben wir die "für alle"-Aussagen f injektiv und g injektiv (siehe 1.) in unserem Fundus. Beispiel f injektiv:
Für alle [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $x_1\not=x_2$ [/mm] gilt [mm] $f(x_1)\not=f(x_2)$.
[/mm]
Wir können nun argumentieren: Weil ALLE [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $x_1\not=x_2$ [/mm] die Eigenschaft [mm] $f(x_1)\not=f(x_2)$ [/mm] haben, haben insbesondere UNSERE [mm] $x_1,x_2$ [/mm] die Eigenschaft [mm] $f(x_1)\not=f(x_2)$.
[/mm]
Jetzt haben wir schon einmal die Eigenschaft f injektiv verwendet. Die Eigenschaft g injektiv werden wir bestimmt auch noch irgendwo brauchen.
Schauen wir mal, ob wieder die Methode "Anwendung von einer vorausgesetzten "für alle"-Aussage auf konkrete Objekte" anwendbar ist.
g injektiv:
Für alle [mm] $y_1,y_2\in [/mm] Y$ mit [mm] $y_1\not=y_2$ [/mm] gilt [mm] $g(y_1)\not=g(y_2)$.
[/mm]
Wir brauchen also Objekte [mm] $y_1,y_2\in [/mm] Y$ mit [mm] $y_1\not=y_2$. [/mm] Und solche Objekte kennen wir tatsächlich: [mm] $y_1:=f(x_1)$ [/mm] und [mm] $y_2:=f(x_2)$ [/mm] sind Elemente von Y und wir haben ja schon gezeigt, dass [mm] $f(x_1)\not=f(x_2)$!
[/mm]
Wir erhalten somit [mm] $g(y_1)\not=g(y_2)$.
[/mm]
Und das besagt, da [mm] $y_1=f(x_1)$ [/mm] und [mm] $y_2=f(x_2)$ [/mm] war, nichts anderes als [mm] $g(f(x_1))\not=g(f(x_2))$. [/mm] Genau das war zu zeigen!
Was du dir an Strategien für 4. merken solltest:
- Versuche, die verschiedenen Voraussetzungen ins Spiel zu bringen und neue Erkenntnisse aus ihnen zu ziehen.
- Wende vorausgesetzte "für alle"-Aussagen auf konkrete Objekte an.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> Ich möchte noch ein wenig die Strategie erläutern, wie
> man auf einen solchen Beweis kommen kann.
>
> Nach Durchführung der Schritte 1. bis 3. hast du also z.B.
> stehen:
>
>
> 1. Voraussetzungen:
>
> f injektiv:
>
> Für alle [mm]x_1,x_2\in X[/mm] mit [mm]x_1\not=x_2[/mm] gilt
> [mm]f(x_1)\not=f(x_2)[/mm].
>
> g injektiv:
>
> Für alle [mm]y_1,y_2\in Y[/mm] mit [mm]y_1\not=y_2[/mm] gilt
> [mm]g(y_1)\not=g(y_2)[/mm].
>
> 2. Behauptung:
>
> [mm]g\circ f[/mm] injektiv, d.h.
>
> Für alle [mm]x_1,x_2\in X[/mm] mit [mm]x_1\not=x_2[/mm] gilt
> [mm]g(f(x_1))\not=g(f(x_2))[/mm].
>
> 3. Grundgerüst des Beweises:
>
> (Standardverfahren "für alle"-Aussage:)
>
> "Seien [mm]x_1,x_2\in X[/mm] mit [mm]x_1\not=x_2[/mm]. Zu zeigen ist
> [mm]g(f(x_1))\not=g(f(x_2))[/mm]."
>
> Das Beweisende sollte ungefähr so aussehen:
>
> "Also [mm]g(f(x_1))\not=g(f(x_2))[/mm]."
>
>
>
> Kommen wir nun zu 4., dem häufig schwierigsten Teil. Aber
> auch hier gibt es Standardmethoden.
>
> Wir müssen mit den Objekten, die wir haben (f, g, [mm]x_1[/mm] und
> [mm]x_2[/mm]), arbeiten. Es gilt aus dem, was wir wissen (f und g
> injektiv, [mm]x_1\not=x_2[/mm]), neue Erkenntnisse zu erzielen.
>
> Eine Methode: Anwendung von einer vorausgesetzten "für
> alle"-Aussage auf konkrete Objekte.
> Hier haben wir die "für alle"-Aussagen f injektiv und g
> injektiv (siehe 1.) in unserem Fundus. Beispiel f
> injektiv:
>
> Für alle [mm]x_1,x_2\in X[/mm] mit [mm]x_1\not=x_2[/mm] gilt
> [mm]f(x_1)\not=f(x_2)[/mm].
>
> Wir können nun argumentieren: Weil ALLE [mm]x_1,x_2\in X[/mm] mit
> [mm]x_1\not=x_2[/mm] die Eigenschaft [mm]f(x_1)\not=f(x_2)[/mm] haben, haben
> insbesondere UNSERE [mm]x_1,x_2[/mm] die Eigenschaft
> [mm]f(x_1)\not=f(x_2)[/mm].
>
> Jetzt haben wir schon einmal die Eigenschaft f injektiv
> verwendet. Die Eigenschaft g injektiv werden wir bestimmt
> auch noch irgendwo brauchen.
>
> Schauen wir mal, ob wieder die Methode "Anwendung von einer
> vorausgesetzten "für alle"-Aussage auf konkrete Objekte"
> anwendbar ist.
> g injektiv:
>
> Für alle [mm]y_1,y_2\in Y[/mm] mit [mm]y_1\not=y_2[/mm] gilt
> [mm]g(y_1)\not=g(y_2)[/mm].
>
> Wir brauchen also Objekte [mm]y_1,y_2\in Y[/mm] mit [mm]y_1\not=y_2[/mm]. Und
> solche Objekte kennen wir tatsächlich: [mm]y_1:=f(x_1)[/mm] und
> [mm]y_2:=f(x_2)[/mm] sind Elemente von Y und wir haben ja schon
> gezeigt, dass [mm]f(x_1)\not=f(x_2)[/mm]!
> Wir erhalten somit [mm]g(y_1)\not=g(y_2)[/mm].
>
> Und das besagt, da [mm]y_1=f(x_1)[/mm] und [mm]y_2=f(x_2)[/mm] war, nichts
> anderes als [mm]g(f(x_1))\not=g(f(x_2))[/mm]. Genau das war zu
> zeigen!
da würde ich eine "Minimalität" ergänzen:
Wir wissen nun [mm] $g(f(x_1))\not=g(f(x_2))\,,$ [/mm] und das ist nichts anderes
als
$$(g [mm] \circ f)(x_1) \not=(g \circ f)(x_2)\,.$$
[/mm]
Denn - bleiben wir bei Studienanfängern lieber "pedantisch" - genau DAS
ist eigentlich die zu beweisende Aussage!
Gruß,
Marcel
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