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| Aufgabe | Die Verbindung von Q nach S ist in Ordnung, wenn es einen funktionierenden Pfad gibt. Die Ausfälle [mm] K_1,...,K_5 [/mm] sind stochastisch unabhängig mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] p=\bruch{1}{3}.
[/mm]
Man berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Netzwerk in Ordnung ist.
Durch die Skizze sind 4 Pfade erkennbar:
Q -> [mm] K_1 [/mm] -> [mm] K_2 [/mm] -> S
Q -> [mm] K_3 [/mm] -> [mm] K_4 [/mm] -> S
Q -> [mm] K_3 [/mm] -> [mm] K_5 [/mm] -> S
Q -> [mm] K_5 [/mm] -> S |
Hallo!
Ich habe zuerst definiert:
[mm] B_i:= [/mm] {Komponente [mm] K_i [/mm] ist in Ordnung} mit [mm] P(B_i)=1-\bruch{1}{3}= \bruch{2}{3}
[/mm]
Dann ist
A:= {Das Netzwerk ist in Ordnung} = [mm] {(B_1 \cap B_2) \cup (B_3 \cap B_4) \cup (B_3 \cap B_5) \cup (B_5)} [/mm]
wobei ich definiere:
[mm] A_1:= B_1 \cap B_2
[/mm]
[mm] A_2:= B_3 \cap B_4
[/mm]
[mm] A_3:= B_3 \cap B_5
[/mm]
[mm] A_4:= B_5
[/mm]
Dann kann man die Ein- und Ausschlussformel von Poincaré verwenden:
[mm] P(A)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+P(A_4)
[/mm]
[mm] -(P(A_1 \cap A_2)+P(A_1 \cap A_3)+P(A_1 \cap A_4)+P(A_2 \cap A_3)+P(A_2 \cap A_4)+P(A_3 \cap A_4))
[/mm]
[mm] +P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)+P(A_1 \cap A_2 \cap A_4)+P(A_1 \cap A_3 \cap A_4)+P(A_2 \cap A_3 \cap A_4)
[/mm]
[mm] -P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4)
[/mm]
Bei stochastisch unabhängigen Ereignissen wie [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2, [/mm] sowie [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_3, [/mm] sowie [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_4, [/mm] sowie [mm] A_2 [/mm] und [mm] A_4 [/mm] kann man die Wahrscheinlichkeiten einfach auseinander ziehen, und dann wieder auseinanderziehen in [mm] P(B_i), [/mm] da [mm] P(B_i \cap B_j)=P(B_i)*P(B_j) [/mm] mit [mm] B_i,B_j [/mm] st. u.a. und i [mm] \not= [/mm] j.
Bei stochastisch abhängigen Ereignissen wie [mm] A_2 [/mm] und [mm] A_3, [/mm] sowie [mm] A_3 [/mm] und [mm] A_4 [/mm] geht das nicht ganz so einfach, aber wenn man sich bspw. überlegt, dass [mm] A_2 \cap A_3= B_3 \cap B_4 \cap B_3 \cap B_5= B_3 \cap B_4 \cap B_5, [/mm] dann kann man die Wahrscheinlichkeit wieder auseinander ziehen.
Stimmt so die Überlegung, die ich gemacht habe?
Könnte mir da jemand helfen?
Grüßle, Lily
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> Die Verbindung von Q nach S ist in Ordnung, wenn es einen
> funktionierenden Pfad gibt. Die Ausfälle [mm]K_1,...,K_5[/mm] sind
> stochastisch unabhängig mit einer Wahrscheinlichkeit von
> [mm]p=\bruch{1}{3}.[/mm]
> Man berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Netzwerk in
> Ordnung ist.
>
> Durch die Skizze sind 4 Pfade erkennbar:
> Q -> [mm]K_1[/mm] -> [mm]K_2[/mm] -> S
> Q -> [mm]K_3[/mm] -> [mm]K_4[/mm] -> S
> Q -> [mm]K_3[/mm] -> [mm]K_5[/mm] -> S
> Q -> [mm]K_5[/mm] -> S
> Hallo!
>
> Ich habe zuerst definiert:
> [mm]B_i:=\ \{Komponente\ K_i\ ist\ in\ Ordnung\}[/mm] mit
> [mm]P(B_i)=1-\bruch{1}{3}= \bruch{2}{3}[/mm]
>
> Dann ist
> A:= {Das Netzwerk ist in Ordnung} = [mm]{(B_1 \cap B_2) \cup (B_3 \cap B_4) \cup (B_3 \cap B_5) \cup (B_5)}[/mm]
> wobei ich definiere:
> [mm]A_1:= B_1 \cap B_2[/mm]
> [mm]A_2:= B_3 \cap B_4[/mm]
> [mm]A_3:= B_3 \cap B_5[/mm]
>
> [mm]A_4:= B_5[/mm]
>
> Dann kann man die Ein- und Ausschlussformel von Poincaré
> verwenden:
> [mm]P(A)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+P(A_4)[/mm]
> [mm]-(P(A_1 \cap A_2)+P(A_1 \cap A_3)+P(A_1 \cap A_4)+P(A_2 \cap A_3)+P(A_2 \cap A_4)+P(A_3 \cap A_4))[/mm]
>
> [mm]+P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)+P(A_1 \cap A_2 \cap A_4)+P(A_1 \cap A_3 \cap A_4)+P(A_2 \cap A_3 \cap A_4)[/mm]
>
> [mm]-P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4)[/mm]
>
> Bei stochastisch unabhängigen Ereignissen wie [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2,[/mm]
> sowie [mm]A_1[/mm] und [mm]A_3,[/mm] sowie [mm]A_1[/mm] und [mm]A_4,[/mm] sowie [mm]A_2[/mm] und [mm]A_4[/mm]
> kann man die Wahrscheinlichkeiten einfach auseinander
> ziehen, und dann wieder auseinanderziehen in [mm]P(B_i),[/mm] da
> [mm]P(B_i \cap B_j)=P(B_i)*P(B_j)[/mm] mit [mm]B_i,B_j[/mm] st. u.a. und i
> [mm]\not=[/mm] j.
> Bei stochastisch abhängigen Ereignissen wie [mm]A_2[/mm] und [mm]A_3,[/mm]
> sowie [mm]A_3[/mm] und [mm]A_4[/mm] geht das nicht ganz so einfach, aber wenn
> man sich bspw. überlegt, dass [mm]A_2 \cap A_3= B_3 \cap B_4 \cap B_3 \cap B_5= B_3 \cap B_4 \cap B_5,[/mm]
> dann kann man die Wahrscheinlichkeit wieder auseinander
> ziehen.
>
> Stimmt so die Überlegung, die ich gemacht habe?
> Könnte mir da jemand helfen?
>
> Grüßle, Lily
Hallo Lily,
um dir das Leben etwas zu vereinfachen: eine einfache Überlegung
zeigt, dass man auf die Betrachtung des Ereignisses [mm] A_3 [/mm] einfach
verzichten kann. Man kann es einfach weglassen, ohne am Ergebnis
irgendetwas zu verändern. Die Rechnung wird dann aber doch
deutlich überschaubarer.
Der Pfad über [mm] K_3 [/mm] ist nur in Kombination mit [mm] K_4 [/mm] interessant,
da die Serieschaltung über [mm] K_3 [/mm] und [mm] K_5 [/mm] ohnehin nur dann
funktioniert, wenn [mm] K_5 [/mm] intakt ist. Also kann man den Pfad
über [mm] K_3 [/mm] und [mm] K_5 [/mm] getrost vergessen !
Was du mit "Wahrscheinlichkeiten auseinander ziehen" meinst,
ist mir nicht klar.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Di 06.01.2015 | | Autor: | Mathe-Lily |
Hallo!
Danke für deine Rückmeldung!
Achso, das macht es natürlich einfacher, bzw. kürzer! Danke!
Mit "auseinanderziehen der Wahrscheinlichkeiten" meinte ich, dass [mm] P(A_1 \cap A_2)=P(A_1)*P(A_2) [/mm] ist, da [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] unabhängig voneinander sind, da alle [mm] B_i [/mm] voneinander unabhängig sind.
Liebe Grüße, Lily
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Hallo!
Meine Frage steht noch offen:
Machen meine Überlegungen so Sinn? Kann man das so durchführen?
Es wäre toll, wenn mir jemand hilft! 
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 Mo 12.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Mathe-Lily!
Du musst konkreter und genauer arbeiten! Du hast viele Eigen-
schaften des Netzwerks nicht beachtet. Ein Ausfall von [mm] K_5
[/mm]
macht (zum Beispiel) zwei Pfade unbrauchbar, etc..
Alternativ kannst du dir auch die ganzen Mengen sparen; Ansatz:
Wir setzen [mm] $K_i=1\$, [/mm] falls [mm] $i\$ [/mm] funktionsfähig und [mm] $K_i=0\$, [/mm] falls [mm] $i\$ [/mm] aus-
fällt, also [mm] P(K_i=1)=\frac{2}{3} [/mm] und [mm] P(K_i=0)=\frac{1}{3}.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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Hallo!
Danke erstmal für deine Antwort!
> Du musst konkreter und genauer arbeiten! Du hast viele
> Eigen-
> schaften des Netzwerks nicht beachtet. Ein Ausfall von
> [mm]K_5[/mm]
> macht (zum Beispiel) zwei Pfade unbrauchbar, etc..
Aber habe ich das nicht beachtet, indem ich eben 2 Pfade genommen habe (einen nur über [mm] K_5 [/mm] und einen über [mm] K_5 [/mm] und [mm] K_3)?
[/mm]
>
> Alternativ kannst du dir auch die ganzen Mengen sparen;
> Ansatz:
> Wir setzen [mm]K_i=1\[/mm], falls [mm]i\[/mm] funktionsfähig und [mm]K_i=0\[/mm],
> falls [mm]i\[/mm] aus-
> fällt, also [mm]P(K_i=1)=\frac{2}{3}[/mm] und
> [mm]P(K_i=0)=\frac{1}{3}.[/mm]
>
Am Beispiel des ersten Pfads würde das heißen:
Der Pfad fällt aus, wenn [mm] K_1=0 [/mm] und/oder [mm] K_2=0, [/mm] dh. es sind folgende Kombis möglich:
[mm] K_1=0 [/mm] und [mm] K_2=0
[/mm]
[mm] K_1=0 [/mm] und [mm] K_2=1
[/mm]
[mm] K_1=1 [/mm] und [mm] K_2=0
[/mm]
Dann habe ich:
[mm] P(K_1=0)*P(K_2=0)+P(K_1=0)*P(K_2=1)+P(K_1=1)*P(K_2=0)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}*\bruch{1}{3}+\bruch{1}{3}*\bruch{2}{3}+\bruch{2}{3}*\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{5}{9}
[/mm]
Stimmt das?
Und dann addiere ich die Wahrscheinlichkeiten für den Ausfall der anderen Wege?
Aber trotzdem noch zu meiner ersten Lösungsmöglichkeit,
nur des Verständnisses wegen:
Ist die Aufstellung meiner Wahrscheinlichkeiten und mein (geplanter) Umgang mit ihnen so richtig?
Würde mich über eine Antwort/Hilfe sehr freuen!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Mi 14.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Deine Gedanken sind richtig, allerdings "unschön". Du benötigst
zum Beispiel keine Mengen [mm] B_i [/mm] oder [mm] A_i [/mm] zu definieren. Wir bleiben
zunächst bei der Mengenschreibweise: [mm] K_1,\ldots,K_5 [/mm] sind Zufallsgrößen,
die die Ausfälle charakterisieren. Jetzt haben wir zwei Möglich-
keiten:
1) Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Netzwerk
in Ordnung ist. Also interessieren wir uns für
[mm] (K_1\cap K_2)\cup(K_3\cap K_4)\cup(K_3\cap K_5)\cup(K_5),
[/mm]
wobei hier [mm] K_i [/mm] keine Ausfälle sind.
(Das können wir noch äquivalent umformen!)
2) Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Netzwerk
nicht in Ordnung ist und gehen dann über in das Gegenereignis.
Also interessieren wir uns zunächst nur für
[mm] (K_1\cup K_2)\cap(K_3\cup K_4)\cap(K_3\cup K_5)\cap(K_5),
[/mm]
wobei hier [mm] K_i [/mm] die Ausfälle sind.
(Das können wir noch äquivalent umformen!)
Hierbei benötigt man bei der ersten Möglichkeit die von dir er-
wähnte Siebformel. Welchen Vorteil hat die zweite Möglichkeit?
> Der Pfad fällt aus, wenn [mm]K_1=0[/mm] und/oder [mm]K_2=0[/mm],
[mm] $A\vee [/mm] B$ heißt [mm] $A\$ [/mm] oder [mm] $B\$ [/mm] oder beides. 
> dh. es sind folgende Kombis möglich:
> [mm]K_1=0[/mm] und [mm]K_2=0[/mm]
> [mm]K_1=0[/mm] und [mm]K_2=1[/mm]
> [mm]K_1=1[/mm] und [mm]K_2=0[/mm]
> Dann habe ich:
> [mm]P(K_1=0)*P(K_2=0)+P(K_1=0)*P(K_2=1)+P(K_1=1)*P(K_2=0)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{3}*\bruch{1}{3}+\bruch{1}{3}*\bruch{2}{3}+\bruch{2}{3}*\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]=\bruch{5}{9}[/mm]
>
> Stimmt das?
Ja, aber ich würde über das Gegenereignis gehen; Es ist
[mm] P(K_1=0\vee K_2=0)=1-P(K_1=1,K_2=1)=1-(P(K_1=1)*P(K_2=1))=1-(\frac{2}{3}*\frac{2}{3})=\frac{5}{9}.
[/mm]
Vielleicht machen wir das auch mit der Mengenschreibweise; Es ist
[mm] P(K_1\cup K_2)=P(K_1)+P(K_2)-P(K_1\cap K_2)=P(K_1)+P(K_2)-P(K_1)*P(K_2)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-(\frac{1}{3}*\frac{1}{3})=\frac{5}{9}.
[/mm]
> Und dann addiere ich die Wahrscheinlichkeiten für den Ausfall der anderen Wege?
Du beziehst dich hier auf die zweite Möglichkeit. Überlege erneut.
Vielleicht solltest du dir auch klar machen, dass
[mm] ((K_1^c\cup K_2^c)\cap(K_3^c\cup K_4^c)\cap(K_3^c\cup K_5^c)\cap(K_5^c))^c
[/mm]
[mm] =(K_1\cap K_2)\cup(K_3\cap K_4)\cup(K_3\cap K_5)\cup(K_5),
[/mm]
Aus diesem Grund sind auch beide Möglichkeiten zulässig. Weiter
oben habe ich das nicht ganz genau aufgeschrieben, weil man es
nicht braucht und es eher verwirrt als hilft. Solange klar ist
was [mm] K_i [/mm] charakterisiert sollte alles in Ordnung sein.
Ich hoffe, dass ich dich von [mm] B_i [/mm] und [mm] A_i [/mm] abbringen konnte.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Sa 10.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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