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| Aufgabe | [mm] V_{n} [/mm] der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der polynomialen Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] und [mm] f_{i} \in V_{n} [/mm] definiert durch [mm] f_{i}(x)=x^i [/mm] (0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n).
Dann ist X := { [mm] f_{i} [/mm] |0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n } eine Basis von [mm] V_{n} [/mm] .
(i) Es sei D: [mm] V_{n} \to V_{n} [/mm] die Abbildung, die f die formale Ableitung f' zuordnet:
Ist f(x)= [mm] \summe_{i=0}^{n} \alpha_{i} x^i, [/mm] so ist f'(x)= [mm] \summe_{i=1}^{n} i\alpha_{i}x^{i-1}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass D linear ist, und beschreiben Sie die Abbildungsmatrix A von f bezüglich der Basis X.
(ii) Es seien P= { [mm] p_{1}......p_{k} [/mm] } [mm] \subset\IR [/mm] mit #(P)=k und [mm] U_{p} [/mm] := { [mm] f\in V_{n}| f(p_{i})=0 [/mm] für [mm] 0\le i\le [/mm] k }.
Zeigen Sie [mm] U_{p} [/mm] ist Unterraum von [mm] V_{n}.
[/mm]
Berechne Sie die Dimension von [mm] U_{p}.
[/mm]
(iii) Beschreiben Sie einen Isomorphismus des Restklassenraums [mm] V_{n}/U_{p} [/mm] mit einem geeigneten [mm] \IR^l (l\in\IN). [/mm] |
Die (i) hab ich schon fertig und sitze grad an (ii) Unterraum.
Aber habe keine einzige Idee wie ich die (ii) zweitere Teil (dimension von [mm] U_{P} [/mm] und (iii). Bräuchte unbeding ein Ansatz.
Wenn ich richtig verstehe ist [mm] U_{p} [/mm] ist die Menge aller Polynomfunktionen die linear unabhängig sind. Also ist [mm] V_{n}/U_{p} [/mm] die Menge aller Polynomfunktionen die linear abhängig sind, da [mm] V_{n} [/mm] die Menge aller Polynomfunktionen ist. Also kann man die linear abhängigen Teile wegstreichen und die auf [mm] \IR^l [/mm] biljektiv abbilden lassen, aber wie? Und wie finde ich die Dimension von [mm] U_{p} [/mm] heraus?
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Hallo,
> [mm]V_{n}[/mm] der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] der polynomialen Abbildungen von
> [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm]
In [mm] V_n [/mm] soll der Grad der Polynomfunktionen sicher höchstens n sein. Richtig?
> und [mm]f_{i} \in V_{n}[/mm] definiert durch
> [mm]f_{i}(x)=x^i[/mm] (0 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n).
> Dann ist X [mm] :=\{f_i |0 \le i\le n \} [/mm] eine Basis von
> [mm]V_{n}[/mm] .
[mm] V_n [/mm] ist ein (n+1)-dimensionaler VR.
> (ii) Es seien P= [mm] \{ p_{1}......p_{k}\}[/mm] [mm]\subset\IR[/mm] mit
> #(P)=k
P ist also eine Menge, welche k paarweise verschiedene reelle Zahlen enthält.
> und [mm]U_{p}[/mm] := [mm] \{ f\in V_{n}| f(p_{i})=0\quad für \quad0\le i\le k \}.
[/mm]
In [mm] U_P [/mm] sind all jene Funktionen [mm] f\in V_n [/mm] die an den k Stellen Nullstellen haben.
> Zeigen Sie [mm]U_{p}[/mm] ist Unterraum von [mm]V_{n}.[/mm]
> Berechne Sie die Dimension von [mm]U_{p}.[/mm]
> (iii) Beschreiben Sie einen Isomorphismus des
> Restklassenraums [mm]V_{n}/U_{p}[/mm] mit einem geeigneten [mm]\IR^l (l\in\IN).[/mm]
>
> Die (i) hab ich schon fertig und sitze grad an (ii)
> Unterraum.
> Aber habe keine einzige Idee wie ich die (ii) zweitere
> Teil (dimension von [mm]U_{P}[/mm] und (iii). Bräuchte unbeding ein
> Ansatz.
>
> Wenn ich richtig verstehe ist [mm]U_{p}[/mm] ist die Menge aller
> Polynomfunktionen die linear unabhängig sind.
Ich verstehe nicht, wie Du darauf kommst.
Machen wir ein Beispiel:
Betrachten wir [mm] V_5, [/mm] also den Raum der Polynomfunktionen vom Höchstgrad 5,
und sei [mm] P:=\{-7, 1, 4\}.
[/mm]
Dann ist
[mm] U_P=\{f\in V_n| f(-7)=0\quad und \quad f(1)=0\quad und \quad f(4)=0\}.
[/mm]
Ich habe gelernt (und Du sicher auch!), daß man dann f(x) schreiben kann als
f(x)=(x+7)(x-1)(x-4)*Polynom [mm] \quad vom\quad [/mm] Höchstgrad [mm] \quad [/mm] 2.
Ich denke, hier haben wir den Schlüssel zum Finden einer Basis...
LG Angela
> Also ist
> [mm]V_{n}/U_{p}[/mm] die Menge aller Polynomfunktionen die linear
> abhängig sind, da [mm]V_{n}[/mm] die Menge aller Polynomfunktionen
> ist. Also kann man die linear abhängigen Teile
> wegstreichen und die auf [mm]\IR^l[/mm] biljektiv abbilden lassen,
> aber wie? Und wie finde ich die Dimension von [mm]U_{p}[/mm] heraus?
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