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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Potenz
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Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 So 30.11.2008
Autor: Beliar

Aufgabe
Beweisen Sie durch voll.Induk. nach n, dass für alle natürlichen Zahlen m und n gilt:
[mm] (1+m)^n \ge [/mm] 1+m*n.

Hallo,
also ich verstehe im Moment nicht wie ich das beweisen soll oder vielmehr kann.
Wenn ich für n =1 nehme passiert doch folgendes
[mm] (1+m)^1 \ge [/mm] 1+m*1  das ist dann doch
1+m   [mm] \ge [/mm] 1+1m also auf beiden Seiten das gleiche
wer mag mir hier weiterhelfen?
Danke für jeden Tip
Beliar

        
Bezug
Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 So 30.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Reinhard,

> Beweisen Sie durch voll.Induk. nach n, dass für alle
> natürlichen Zahlen m und n gilt:
>  [mm](1+m)^n \ge[/mm] 1+m*n.
>  Hallo,
>  also ich verstehe im Moment nicht wie ich das beweisen
> soll oder vielmehr kann.

Zunächst nimmst du dir ein beliebiges [mm] $m\in\IN$ [/mm] als fest gegeben her, dann machst du die Induktion über $n$

>  Wenn ich für n =1 nehme passiert doch folgendes
>  [mm](1+m)^1 \ge[/mm] 1+m*1  das ist dann doch
>  1+m   [mm]\ge[/mm] 1+1m also auf beiden Seiten das gleiche
>  wer mag mir hier weiterhelfen?

Ja, da steht $1+m \ [mm] \ge [/mm] \ 1+m$

Das ist doch eine wahre Aussage, ich sehe da keinen Widerspruch

Es ist doch meinetwegen auch $5 \ ge \ 5$, oder nicht?

Nun weiter mit der Induktion:

Ind.vor.: Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] beliebig und gelte [mm] $(1+m)^n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] 1+n\cdot{}m$ [/mm]

Dann ist im Induktionsschluss die Gültigkeit der Aussage für $n+1$ zu zeigen, zu zeigen ist also, dass gilt

[mm] $(1+m)^{n+1} [/mm] \ ge \ [mm] 1+(n+1)\cdot{}m$ [/mm]

Nimm dir dazu mal die linke Seite her, forme ein bisschen um, so dass du die Ind.vor. ins Spiel bringen kannst, weit ist es nicht mehr ... ;-)

>  Danke für jeden Tip
>  Beliar


LG

schachuzipus

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Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 So 30.11.2008
Autor: Beliar

Also die  Frage die ich habe,
1+m [mm] \ge [/mm] 1+m ist also wahr, weil größer GLEICH gefragt ist ok
aber wie wird die linke Seite umgeformt
[mm] (1+m)^n+1 [/mm] wird daraus (1*n+1)+(m*n+1) also
n+1 + nm+ m und ist die Seite darum größer?

Bezug
                        
Bezug
Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 So 30.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Also die  Frage die ich habe,
>  1+m [mm]\ge[/mm] 1+m ist also wahr, weil größer GLEICH gefragt ist
> ok
>  aber wie wird die linke Seite umgeformt
>   [mm](1+m)^n+1[/mm] wird daraus (1*n+1)+(m*n+1) also
>  n+1 + nm+ m und ist die Seite darum größer?

Das ist leider nur schwerlich zu entziffern:

Schreibe Exponenten, Indizes und was auch immer mit mehr als 1 Zeichen in geschweifte Klammern {}

linke Seite: [mm] $(1+m)^{n+1}=(1+m)\cdot{}\red{(1+m)^n} [/mm] \ > \ [mm] (1+m)\cdot{}\red{(1+n\cdot{}m)}$ [/mm] nach Ind.vor.

Multipliziere da mal aus, sortiere um, denke daran, dass du zu [mm] $(1+(n+1)\cdot{}m)$ [/mm] hinkommen willst, halte das also im Blick


LG

schachuzipus


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Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 So 30.11.2008
Autor: Beliar

ok, ich versuche das mal
linke Seite:
(1+m)^(n+1) wird dann [mm] (1+m)^1 [/mm] und [mm] (1+m)^n [/mm] das verstehe ich
dann aus dem ersten teil (1+m) aus dem zweiten müsste dann ( 1n +mn) werden.
und zusammen ( 1+ 1n+mn+m) aber wie komme ich zu deinem Ergebnis?

Bezug
                                        
Bezug
Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 So 30.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> ok, ich versuche das mal
>  linke Seite:
>  (1+m)^(n+1) wird dann [mm](1+m)^1[/mm] und [mm](1+m)^n[/mm] das verstehe
> ich
>  dann aus dem ersten teil (1+m) aus dem zweiten müsste dann
> ( 1n +mn) werden. [kopfkratz3]

In der Indvor. steht doch [mm] $(1+m)^n [/mm] \ > \ [mm] (1+n\cdot{}m)$ [/mm]

Wieso machst du daraus was anderes?

Wir haben nun [mm] $(1+m)^{n+1}=(1+m)(1+m)^n [/mm] \ > \ [mm] (1+m)(1+n\cdot{}m)$ [/mm] nach genau der Indvor.

[mm] $=1+nm+m+mnm=(1+(n+1)m)+nm^2$ [/mm]

Nun ist aber [mm] $nm^2>0$, [/mm] also nehmen wir das weg und verkleinern so weiter

[mm] $(1+(n+1)m)+nm^2 [/mm] \ > \ (1+(n+1)m)$

Und genau das war im Induktionsschritt zu zeigen.

Schaue dir mal die ganz linke Seite und die ganz rechte Seite an ohne alle Zwischenschritte, dann haben wir hier also gezeigt:

[mm] $(1+m)^{n+1} [/mm] \ > \ [mm] 1+(n+1)\cdot{}m$ [/mm]

genau das, was wir wollten



>  und zusammen ( 1+ 1n+mn+m) aber wie komme ich zu deinem
> Ergebnis?

LG

schachuzipus

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Potenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:41 So 30.11.2008
Autor: Beliar

Danke so langsam wirds klar

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