Potenzreihe, Wert, Kon.-Radius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius p der folgenden Potenzreihe: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}
[/mm]
b) Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck für beliebiges k [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] (1-x^2)\summe_{n=0}^{k}(n+1)x^{2n}
[/mm]
c) Bestimmen Sie den Wert der Potenzreihe aus Teil a) für jedes x [mm] \in \IC [/mm] mit |x| < p. |
Hallo zusammen,
ich habe Schwierigkeiten bei Teilaufgaben a) und c), da ich keinen Ansatz habe.
Zu Aufgabe b) habe ich folgendes:
[mm] (1-x^2)\summe_{n=0}^{k}(n+1)x^{2n}
[/mm]
= [mm] (1-x^2)*[1 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] + [mm] 3x^4 [/mm] + [mm] 4x^6 [/mm] + [mm] 5x^8 [/mm] + ... + [mm] kx^{2k-2} [/mm] + [mm] (k+1)x^{2k}
[/mm]
= 1 - [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] - [mm] 2x^4 [/mm] + [mm] 3x^4 [/mm] - [mm] 3x^6 [/mm] + [mm] 4x^6 [/mm] - [mm] 4x^8 [/mm] + [mm] 5x^8 [/mm] - [mm] 5x^{10} [/mm] + ... + [mm] kx^{2k-2} [/mm] - [mm] kx^{2k} [/mm] + [mm] (k+1)x^{2k} [/mm] - [mm] (k+1)x^{2k+2}
[/mm]
= [mm] x^0 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^6 [/mm] + [mm] x^8 [/mm] + ... + [mm] x^{2k-2} [/mm] + [mm] x^{2k} [/mm] - [mm] (k+1)x^{2k+2}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{k}x^{2n} [/mm] - [mm] (k+1)x^{2k+2}
[/mm]
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Guten Morgen,
> a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius p der folgenden
> Potenzreihe: [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}[/mm]
>
> b) Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck für beliebiges
> k [mm]\in \IN:[/mm]
>
> [mm](1-x^2)\summe_{n=0}^{k}(n+1)x^{2n}[/mm]
>
> c) Bestimmen Sie den Wert der Potenzreihe aus Teil a) für
> jedes x [mm]\in \IC[/mm] mit |x| < p.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe Schwierigkeiten bei Teilaufgaben a) und c), da ich
> keinen Ansatz habe.
>
> Zu Aufgabe b) habe ich folgendes:
>
> [mm](1-x^2)\summe_{n=0}^{k}(n+1)x^{2n}[/mm]
>
> = [mm](1-x^2)*[1[/mm] + [mm]2x^2[/mm] + [mm]3x^4[/mm] + [mm]4x^6[/mm] + [mm]5x^8[/mm] + ... + [mm]kx^{2k-2}[/mm]
> + [mm](k+1)x^{2k}[/mm]
>
> = 1 - [mm]x^2[/mm] + [mm]2x^2[/mm] - [mm]2x^4[/mm] + [mm]3x^4[/mm] - [mm]3x^6[/mm] + [mm]4x^6[/mm] - [mm]4x^8[/mm] + [mm]5x^8[/mm]
> - [mm]5x^{10}[/mm] + ... + [mm]kx^{2k-2}[/mm] - [mm]kx^{2k}[/mm] + [mm](k+1)x^{2k}[/mm] -
> [mm](k+1)x^{2k+2}[/mm]
>
> = [mm]x^0[/mm] + [mm]x^2[/mm] + [mm]x^4[/mm] + [mm]x^6[/mm] + [mm]x^8[/mm] + ... + [mm]x^{2k-2}[/mm] + [mm]x^{2k}[/mm] -
> [mm](k+1)x^{2k+2}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=0}^{k}x^{2n}[/mm] - [mm](k+1)x^{2k+2}[/mm]
Die Frage ist wohl, ob das wirklich einfacher ist. Du kannst die erste Summe allerdings auch noch umschreiben. (geometrische Reihe).
Für a) nutze am besten das Quotientenkriterium.
Für c) solltest du am besten wieder auf die geometrische Reihe zurückgreifen. Es ist [mm] x^{2n}=(x^2)^n
[/mm]
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Zu a): Da habe ich 2 Beweise. Beide liefern dasselbe Resultat, aber der erste Beweis ist deutlich kürzer, aber ich glaube irgendwie nicht, dass dieser richtig ist.
1. Beweis:
[mm] a_n [/mm] := n+1
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \bruch{n+2}{n+1} \to [/mm] 1
[mm] \Rightarrow \wurzel[n]{a_n} \to [/mm] 1
[mm] \Rightarrow [/mm] P = 1 Konvergenzradius.
2. Beweis:
[mm] a_n [/mm] := [mm] (n+1)x^{2n} \Rightarrow |a_n| [/mm] = [mm] (n+1)|x|^{2n}
[/mm]
Ist x=0, so konvergiert die Reihe offensichtlich absolut.
Sei x [mm] \not= [/mm] 0. [mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|} [/mm] = [mm] \bruch{n+2}{n+1}|x|^2 \to |x|^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] lim sup [mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|} [/mm] = lim [mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|} [/mm] = lim [mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] = lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] = [mm] |x|^2
[/mm]
Mit dem Quotientenkriterium folgt:
Wenn lim sup [mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|} [/mm] = [mm] |x|^2 [/mm] < 1
[mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}|a_n| [/mm] konvergent
[mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] absolut konvergent für |x| < 1.
Ist nun [mm] |x|^2 [/mm] = lim [mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] > 1, also |x| > 1 , dann folgt:
[mm] (\wurzel[n]{|a_n|}) [/mm] keine Nullfolge
[mm] \Rightarrow (|a_n|) [/mm] keine Nullfolge
[mm] \Rightarrow (a_n) [/mm] keine Nullfolge
[mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] konvergiert nicht für |x| > 1.
[mm] \Rightarrow [/mm] Konvergenzradius P = 1.
Zu b)
Deinen Hinweis verstehe ich nicht ganz, weil ich meinem Fall ja nur die geraden Exponenten betrachte [mm] (x^0 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + [mm] x^4 [/mm] + ...), und dafür kenne ich die Summe ja nicht.
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Hallöle,
> Zu a): Da habe ich 2 Beweise. Beide liefern dasselbe
> Resultat, aber der erste Beweis ist deutlich kürzer, aber
> ich glaube irgendwie nicht, dass dieser richtig ist.
>
> 1. Beweis:
>
> [mm]a_n[/mm] := n+1
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] = [mm]\bruch{n+2}{n+1} \to[/mm] 1
>
> [mm]\Rightarrow \wurzel[n]{a_n} \to[/mm] 1
Was'n das hier?
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] P = 1 Konvergenzradius.
Das sieht doch nicht schlecht aus. Du weißt: Für Konvergenz muss [mm] |a_{n+1}/a_n|<1 [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] sein. (saloppe Formulierung).
Also ist [mm] |\bruch{n+2}{n+1}x|<1 [/mm] zu betrachten.
Bildet man den Grenzwert erhält man |x|<1.
Betrachte nun noch die Randpunkte [mm] x=\pm1
[/mm]
>
> 2. Beweis:
>
> [mm]a_n[/mm] := [mm](n+1)x^{2n} \Rightarrow |a_n|[/mm] = [mm](n+1)|x|^{2n}[/mm]
>
> Ist x=0, so konvergiert die Reihe offensichtlich absolut.
>
> Sei x [mm]\not=[/mm] 0. [mm]\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}[/mm] =
> [mm]\bruch{n+2}{n+1}|x|^2 \to |x|^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] lim sup [mm]\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}[/mm] = lim
> [mm]\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}[/mm] = lim [mm]\wurzel[n]{|a_n|}[/mm] = lim sup
> [mm]\wurzel[n]{|a_n|}[/mm] = [mm]|x|^2[/mm]
>
> Mit dem Quotientenkriterium folgt:
>
> Wenn lim sup [mm]\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}[/mm] = [mm]|x|^2[/mm] < 1
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}|a_n|[/mm] konvergent
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] absolut konvergent
> für |x| < 1.
>
> Ist nun [mm]|x|^2[/mm] = lim [mm]\wurzel[n]{|a_n|}[/mm] > 1, also |x| > 1 ,
> dann folgt:
>
> [mm](\wurzel[n]{|a_n|})[/mm] keine Nullfolge
>
> [mm]\Rightarrow (|a_n|)[/mm] keine Nullfolge
>
> [mm]\Rightarrow (a_n)[/mm] keine Nullfolge
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] konvergiert nicht für
> |x| > 1.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Konvergenzradius P = 1.
>
>
> Zu b)
>
> Deinen Hinweis verstehe ich nicht ganz, weil ich meinem
> Fall ja nur die geraden Exponenten betrachte [mm](x^0[/mm] + [mm]x^2[/mm] +
> [mm]x^4[/mm] + ...), und dafür kenne ich die Summe ja nicht.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(x^2)^n\stackrel{x'=x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(x')^n=\sum_{n=0}^{\infty}n(x')^n+\sum_{n=0}^{\infty}(x')^n
[/mm]
Wende hier die Formeln für die geometrische Reihe an und resubstituiere.
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> Hallöle,
>
> > Zu a): Da habe ich 2 Beweise. Beide liefern dasselbe
> > Resultat, aber der erste Beweis ist deutlich kürzer, aber
> > ich glaube irgendwie nicht, dass dieser richtig ist.
> >
> > 1. Beweis:
> >
> > [mm]a_n[/mm] := n+1
> >
> > [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] = [mm]\bruch{n+2}{n+1} \to[/mm] 1
> >
> > [mm]\Rightarrow \wurzel[n]{a_n} \to[/mm] 1
> Was'n das hier?
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] P = 1 Konvergenzradius.
>
> Das sieht doch nicht schlecht aus. Du weißt: Für
> Konvergenz muss [mm]|a_{n+1}/a_n|<1[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] sein.
> (saloppe Formulierung).
> Also ist [mm]|\bruch{n+2}{n+1}x|<1[/mm] zu betrachten.
> Bildet man den Grenzwert erhält man |x|<1.
> Betrachte nun noch die Randpunkte [mm]x=\pm1[/mm]
Ist der 1. Beweis jetzt richtig? Warum muss ich noch die Randpunkte betrachten? Ich will doch nur den Konvergenzradius bestimmen.
> > Zu b)
> >
> > Deinen Hinweis verstehe ich nicht ganz, weil ich meinem
> > Fall ja nur die geraden Exponenten betrachte [mm](x^0[/mm] + [mm]x^2[/mm] +
> > [mm]x^4[/mm] + ...), und dafür kenne ich die Summe ja nicht.
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(x^2)^n\stackrel{x'=x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(x')^n=\sum_{n=0}^{\infty}n(x')^n+\sum_{n=0}^{\infty}(x')^n[/mm]
>
> Wende hier die Formeln für die geometrische Reihe an und
> resubstituiere.
Zu b) habe ich jetzt folgendes:
[mm] (1-x^2)\summe_{n=0}^{k}(n+1)x^{2n}
[/mm]
y := [mm] x^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow (1-y)\summe_{n=0}^{k}(n+1)y^n
[/mm]
Wenn y = 1, dann ist alles null.
Sei also y [mm] \not= [/mm] 1.
[mm] \Rightarrow (1-y)\summe_{n=0}^{k}(n+1)y^n [/mm] = ... = [mm] \bruch{1-y^{k+1}}{1-y}-y^{k+1}(1+k)
[/mm]
= [mm] \bruch{1-x^{2k+2}}{1-x^2}-x^{2k+2}(1+k)
[/mm]
Kann man das noch weiter vereinfachen?
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Hallo erst einmal,
>
> Ist der 1. Beweis jetzt richtig? Warum muss ich noch die
> Randpunkte betrachten? Ich will doch nur den
> Konvergenzradius bestimmen.
Ja, der Konvergenzradius ist korrekt.
Es erscheint einem so, als haust du aber Quotientenkriterium und Wurzelkriterium wild durcheinander.
>
> > > Zu b)
> > >
> > > Deinen Hinweis verstehe ich nicht ganz, weil ich meinem
> > > Fall ja nur die geraden Exponenten betrachte [mm](x^0[/mm] + [mm]x^2[/mm] +
> > > [mm]x^4[/mm] + ...), und dafür kenne ich die Summe ja nicht.
> >
> >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(x^2)^n\stackrel{x'=x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(x')^n=\sum_{n=0}^{\infty}n(x')^n+\sum_{n=0}^{\infty}(x')^n[/mm]
> >
> > Wende hier die Formeln für die geometrische Reihe an und
> > resubstituiere.
>
> Zu b) habe ich jetzt folgendes:
>
> [mm](1-x^2)\summe_{n=0}^{k}(n+1)x^{2n}[/mm]
>
> y := [mm]x^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (1-y)\summe_{n=0}^{k}(n+1)y^n[/mm]
>
> Wenn y = 1, dann ist alles null.
>
> Sei also y [mm]\not=[/mm] 1.
>
> [mm]\Rightarrow (1-y)\summe_{n=0}^{k}(n+1)y^n[/mm] = ... =
> [mm]\bruch{1-y^{k+1}}{1-y}-y^{k+1}(1+k)[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1-x^{2k+2}}{1-x^2}-x^{2k+2}(1+k)[/mm]
Ja, das stimmt.
>
> Kann man das noch weiter vereinfachen?
Gewiss, aber das bringt ja keinem was. Ich finde es in deiner Form ok.
Bleibt nur noch c) zu lösen.
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Bei c) komme ich nicht weiter.
Bisher habe ich nur:
Konvergenzradius ist 1.
Wegen b): [mm] (1-x^2)\summe_{n=0}^{k}(n+1)x^{2n} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{2k+2}}{1-x^2} [/mm] - [mm] x^{2k+2}(1+k)
[/mm]
Sei x [mm] \in \IC [/mm] mit |x| < 1.
[mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{k}(n+1)x^{2n} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1-x^{2k+2}}{1-x^2} - x^{2k+2}(1+k)}{1-x^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x^2}*(\bruch{1-x^{2k+2}}{1-x^2} [/mm] - [mm] x^{2k+2}(1+k))
[/mm]
(1+k) geht gegen unendlich. [mm] x^{2k+2} [/mm] kann gegen alles mögliche konvergieren, da wir ja in [mm] \IC [/mm] sind.
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Hallo!
> Bei c) komme ich nicht weiter.
>
> Bisher habe ich nur:
>
> Konvergenzradius ist 1.
Bei c) solltest du für Teilaufgabe a) den Wert der Reihe berechnen. Ich schrieb bereits:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(x^2)^n\stackrel{x'=x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(x')^n=\sum_{n=0}^{\infty}n(x')^n+\sum_{n=0}^{\infty}(x')^n [/mm] $
Wende darauf doch die geometrische Reihe an.
>
> Wegen b): [mm](1-x^2)\summe_{n=0}^{k}(n+1)x^{2n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-x^{2k+2}}{1-x^2}[/mm] - [mm]x^{2k+2}(1+k)[/mm]
b) hattest du doch schon fertig berechnet. Die weitergehende Umformung ist doch nur noch Schall und Rauch.
x kann durchaus auch größer als 1 sein, denn die Summe ist endlich [mm] (k<\infty). [/mm]
>
> Sei x [mm]\in \IC[/mm] mit |x| < 1.
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{n=0}^{k}(n+1)x^{2n}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{1-x^{2k+2}}{1-x^2} - x^{2k+2}(1+k)}{1-x^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1-x^2}*(\bruch{1-x^{2k+2}}{1-x^2}[/mm] -
> [mm]x^{2k+2}(1+k))[/mm]
>
> (1+k) geht gegen unendlich. [mm]x^{2k+2}[/mm] kann gegen alles
> mögliche konvergieren, da wir ja in [mm]\IC[/mm] sind.
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Ja, aber in unserer Übung hat man gesagt, dass man c) am besten mit b) löst. Das macht auch Sinn, da wegen b) gilt: [mm] (1-x^2)\summe_{n=0}^{k}(n+1)x^{2n} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{2k+2}}{1-x^2} [/mm] - [mm] x^{2k+2}(1+k).
[/mm]
Jetzt betrachte ich nur x [mm] \in \IC [/mm] mit |x| < 1, da nur für solche x die Reihe konvergiert. Also lässt sich dies umformen zu:
[mm] \summe_{n=0}^{k}(n+1)x^{2n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x^2}\cdot{}(\bruch{1-x^{2k+2}}{1-x^2} [/mm] - [mm] x^{2k+2}(1+k)), [/mm] welches ja gerade die Partialsumme von der Reihe in a) ist. Das heißt, ich müsste ,,nur" noch den Limes dieser Partialsumme für jedes |x| < 1 bestimmen.
Ich hoffe, es ist jetzt klarer geworden, was ich machen wollte/möchte.
Bei deinem Ansatz, wüsste ich nicht, wie ich den Wert für [mm] \sum_{n=0}^{\infty}n(x')^n [/mm] bestimmen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, aber in unserer Übung hat man gesagt, dass man c) am
> besten mit b) löst. Das macht auch Sinn, da wegen b) gilt:
> [mm](1-x^2)\summe_{n=0}^{k}(n+1)x^{2n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-x^{2k+2}}{1-x^2}[/mm] - [mm]x^{2k+2}(1+k).[/mm]
>
> Jetzt betrachte ich nur x [mm]\in \IC[/mm] mit |x| < 1, da nur für
> solche x die Reihe konvergiert. Also lässt sich dies
> umformen zu:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{k}(n+1)x^{2n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1-x^2}\cdot{}(\bruch{1-x^{2k+2}}{1-x^2}[/mm] -
> [mm]x^{2k+2}(1+k)),[/mm] welches ja gerade die Partialsumme von der
> Reihe in a) ist. Das heißt, ich müsste ,,nur" noch den
> Limes dieser Partialsumme für jedes |x| < 1 bestimmen.
>
> Ich hoffe, es ist jetzt klarer geworden, was ich machen
> wollte/möchte.
>
> Bei deinem Ansatz, wüsste ich nicht, wie ich den Wert für
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}n(x')^n[/mm] bestimmen soll.
zur roten Frage: siehe hier (klick!)!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 30.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Sa 22.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Richie,
> Hallo!
>
> > Bei c) komme ich nicht weiter.
> >
> > Bisher habe ich nur:
> >
> > Konvergenzradius ist 1.
> Bei c) solltest du für Teilaufgabe a) den Wert der Reihe
> berechnen. Ich schrieb bereits:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(x^2)^n\stackrel{x'=x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(x')^n=\sum_{n=0}^{\infty}n(x')^n+\sum_{n=0}^{\infty}(x')^n[/mm]
> Wende darauf doch die geometrische Reihe an.
wie berechnest Du [mm] $\sum_{n=0}^\infty n*q^n$ [/mm] für $|q| < 1$?
Das kann man so machen:
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty n*q^n=\sum_{n=0}^\infty ((n+1)*q^n -q^n)=\ldots=\frac{1}{{(1-q)}^2}-\frac{1}{1-q}=\frac{q}{(1-q)^2}\,,$$
[/mm]
wobei sich die [mm] $\ldots$ [/mm] insbesondere wie hier (klick!) erklären.
Aber eventuell geht das auch anders, nämlich es gilt:
[mm] $$(\*)\;\;\;(n+1)*q^{n+1}-n*q^n=n*q^n*(q-1)+q^{n+1}\,.$$
[/mm]
Setzt man [mm] $a_n:=n*q^{n}\,,$ [/mm] und beachtet man
[mm] $$\sum_{n=0}^N (a_{n+1}-a_n)=\ldots=a_{N+1}-a_0\,,$$
[/mm]
bzw., wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty (a_{n+1}-a_n)=\ldots=-a_0+\lim_{n \to \infty}a_n$$
[/mm]
sowie die geometrische Reihe, so folgt aus [mm] $(\*)$ [/mm] wegen [mm] $n*q^n \to [/mm] 0$
und [mm] $a_0=0$ [/mm] sodann
[mm] $$0=0-0=(q-1)*\sum_{n=0}^\infty n*q^n+\frac{q}{1-q}$$
[/mm]
und damit
[mm] $$\frac{q}{q-1}=(q-1)*\sum_{n=0}^\infty n*q^n$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty n*q^n=\frac{q}{(q-1)^2}\;\;\,\;\left(\;=\;\frac{q}{(1-q)^2}\right)\,.$$
[/mm]
Jedenfalls ist es ein wenig "tricky", [mm] $\sum_{n=0}^\infty n*q^n$ [/mm] zu berechnen!
Gruß,
Marcel
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Danke, dass hat mir sehr geholfen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Sa 22.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Richie,
> Hallöle,
>
> > Zu a): Da habe ich 2 Beweise. Beide liefern dasselbe
> > Resultat, aber der erste Beweis ist deutlich kürzer, aber
> > ich glaube irgendwie nicht, dass dieser richtig ist.
> >
> > 1. Beweis:
> >
> > [mm]a_n[/mm] := n+1
> >
> > [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] = [mm]\bruch{n+2}{n+1} \to[/mm] 1
> >
> > [mm]\Rightarrow \wurzel[n]{a_n} \to[/mm] 1
> Was'n das hier?
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] P = 1 Konvergenzradius.
>
> Das sieht doch nicht schlecht aus. Du weißt: Für
> Konvergenz muss [mm]|a_{n+1}/a_n|<1[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] sein.
> (saloppe Formulierung).
uh, das ist sehr salopp. Zum einen meinst Du mit [mm] "$|a_{n+1}/a_n|$ [/mm] für $n [mm] \to \infty$" [/mm] eigentlich einfach [mm] $\lim_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|\,.$
[/mm]
Zum anderen ist das "muss" gar kein MUSS, sondern ein "es wäre gut,
wenn" ('muss' klingt nach "das ist notwendig" - aber das, was Du schreibst,
ist eher ein "das ist hinreichend" (für Konvergenz)...).
Und zu guter letzt kann man das sogar noch verschärfen, wenn man
anstatt des Limes den Limsup schreibt.
Nix für ungut. Aber die Bemerkungen hier kann ich mir nicht wirklich
ersparen! (Das war mir nun doch ein wenig zu viel des Guten 'salopp
formuliert' - aber Du weißt ja: Ich bin penibler Mathematiker.  )
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Sa 22.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius p der folgenden
> Potenzreihe: [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}[/mm]
also aus dem ganzen Thread bisher ist eigentlich nicht präzise zu erkennen,
was die Überlegungen hier eigentlich sind (Insbesondere habe ich die
Befürchtung, das hier untergegangen war, dass eigentlich eine Wurzel
irgendwo zu ziehen ist - das ging vll. einfach nur wegen [mm] $\sqrt{1}=1$
[/mm]
unter...).
Ich gebe jetzt hier einfach mal eine Zusammenfassung aller mir bekannten
Möglichkeiten, wo man bei jeder einzelnen hoffentlich nachvollziehen kann,
was da gemacht wird.
Zunächst nehmen wir einfach mal die Möglichkeiten her, die rein elementar
sind - Richie hatte davon etwa das Quotientenkriterium angesprochen. Das
ist alles gut und schön, und nichtsdestotrotz frage ich mich immer wieder:
Schaut sich denn niemand mal an, wie man den Begriff 'Konvergenzradius'
"motiviert"? Da wendet man doch einfach auf eine Reihe das
Wurzelkriterium an.
Also: Wir fangen nun einfach mal an, indem wir, ohne auf den Begriff des
Konvergenzradius einzugehen, auf obige Reihe das ![[]](/images/popup.gif) Wurzelkriterium (Satz 6.17) (WK)
anwenden. Dabei ist im Skript [mm] $\overline{\lim}:=\limsup$ [/mm] (siehe Definition 5.18), entsprechend [mm] $\underline{\lim}=\liminf\,.$
[/mm]
Insbesondere erspare ich es mir ab und an, dann $n [mm] \to \infty$ [/mm] (oder
$k [mm] \to \infty$ [/mm] etc. pp., je nachdem, welche Laufvariable verwendet wird)
dazuzuschreiben, wenn der Limes davorsteht, und die Laufvariable, die
gegen [mm] $\infty$ [/mm] laufen soll, klar aus dem Zshg. hervorgeht: Ich schreibe
also [mm] $\lim a_k$ [/mm] anstatt [mm] $\lim_{k \to \infty} a_k\,,$ [/mm] würde aber nicht [mm] $\lim a_{k,n}$ [/mm]
schreiben, weil bei letzterem nicht klar ist, ob $k [mm] \to \infty$ [/mm] und [mm] $n\,$ [/mm] fest
oder umgekehrt oder gar $k,n [mm] \to \infty$ [/mm] gemeint ist.
1. Möglichkeit (WK):
Nach dem WK konvergiert
[mm] $$\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}$$
[/mm]
jedenfalls dann, wenn
[mm] $$\limsup \sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|} [/mm] < 1$$
und
[mm] $$\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}$$
[/mm]
divergiert jedenfalls dann, wenn
[mm] $$\limsup \sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|} \red{\;>\;} 1\,.$$
[/mm]
Wegen
[mm] $$\limsup \underbrace{\sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|}}_{=\sqrt[n]{|n+1|}*\underbrace{\sqrt[n]{|x^2|^n}}_{=|x^2|}}=|x^2|*\limsup \sqrt[n]{|(n+1)|}=|x|^{2}*\limsup \sqrt[n]{|n+1|}$$ [/mm]
konvergiert die Reihe also, wenn
[mm] $$|x|^2 [/mm] < [mm] \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[\blue{n}]{|n+1|}}$$
[/mm]
und sie divergiert, wenn
[mm] $$|x|^2 [/mm] > [mm] \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[\blue{n}]{|n+1|}}\,.$$
[/mm]
Daher konvergiert die Reihe für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x|^\red{2} [/mm] < [mm] 1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[\blue{n}]{|n+1|}$ [/mm] und sie divergiert
für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x|^\red{2} [/mm] > [mm] 1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[\blue{n}]{|n+1|}\,.$
[/mm]
Folglich konvergiert die Reihe für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x| < [mm] \left(1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[\blue{n}]{|n+1|}\right)^{1/\red{2}}$ [/mm] und sie divergiert
für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x|^2 [/mm] > [mm] \left(1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[\blue{n}]{|n+1|}\right)^{1/\red{2}}\,.$
[/mm]
(Natürlich sollte man sich nun überlegen, dass [mm] $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|n+1|}=1\,,$ [/mm] und das nun auch verwenden.)
2. Möglichkeit (QK, Wurzelkriterium (Satz 6.19) ):
Nach dem QK konvergiert die Reihe sicher dann, wenn
[mm] $$\limsup \left|\frac{(n+2)x^{2*(n+1)}}{(n+1)*x^n}\right| [/mm] < 1$$
und sie divergiert, wenn
[mm] $$\lim\mathbf{inf} \left|\frac{(n+2)x^{2*(n+1)}}{(n+1)*x^n}\right| [/mm] > [mm] 1\,.$$
[/mm]
(Beachte, dass im letzteren Fall der Limes Inferior steht!)
Jetzt überlege das mal analog zum ersten Fall weiter, für welche [mm] $x\,$ [/mm]
demnach die Reihe konvergiert und für welche sie demnach divergiert.
Das man hier genau zum selben Ergebnis kommt, wie beim 1. Fall, ist nicht
ganz selbstverständlich, denn das QK ist i.a. schwächer als das QK.
Allerdings gilt [mm] $\limsup |(n+1)/n|=1=\liminf |(n+1)/n|\,,$ [/mm] so dass Satz 5.21 2.
angewendet werden kann.
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Weitere Möglichkeiten:
Die folgenden Möglichkeiten laufen über eine direkte Berechnung des
Konvergenzradius. Prinzipiell macht man dann eigentlich auch nichts
anderes wie bei den ersten beiden Möglichkeiten, denn durch
entsprechende Überlegungen wird der Konvergenzradius ja gerade
motiviert. Um die Formeln dann aber direkt anwenden zu können, gibt
es zwei Möglichkeiten, mit [mm] $a_n:=n+1$ [/mm] ($n [mm] \in \IN_0$), [/mm] die Reihe
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}$$
[/mm]
so umzuschreiben, dass man direkt mit einer Potenzreihe der Form
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty b_n y^n$$
[/mm]
arbeiten kann.
Die erste Möglichkeit ist es, eine Variablensubstitution zu machen. Dabei
werden die [mm] $b_n=a_n$ [/mm] bleiben, aber wir substituieren [mm] $y:=x^2\,.$ [/mm] Dann
gilt
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}=\sum_{n=0}^\infty a_n y^n\,,$$
[/mm]
wobei, wie gesagt: [mm] $y:=x^2$ [/mm] substituiert wurde.
Insgesamt ist dies nun die
3. Möglichkeit (Konvergenzradiusberechnung gemäß des WK mit "Variablensubstitution"):
Mit der Variablensubstitution erkennt man, dass die Potenzreihe
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n y^n$$
[/mm]
in der Variablen [mm] $y\,$ [/mm] den Konvergenzradius [mm] $R_y=1/\limsup \sqrt[n]{|a_n|}$
[/mm]
hat. Demnach konvergiert die Potenzreihe
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}$$
[/mm]
in der Variablen [mm] $x\,$ [/mm] für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x^2| [/mm] < [mm] 1/\limsup \sqrt[n]{|a_n|}$
[/mm]
und sie divergiert für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x^2| [/mm] > [mm] 1/\limsup \sqrt[n]{|a_n|}\,.$
[/mm]
Entsprechend ist, beachte [mm] $|x^2|=|x|^2\,,$ [/mm] der Konvergenzradius [mm] $R_x$ [/mm] der
Potenzreihe
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}$$
[/mm]
in [mm] $x\,$ [/mm] einfach [mm] $R_x=\sqrt{R_y}=\sqrt{1/\limsup \sqrt[n]{|a_n|}}\,.$
[/mm]
4. Möglichkeit (Konvergenzradiusberechnung gemäß des QK mit "Variablensubstitution"):
Mit der Variablensubstitution erkennt man, dass die Potenzreihe
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n y^n$$
[/mm]
in der Variablen [mm] $y\,$ [/mm] sicher einen Konvergenzradius [mm] $R_y$ [/mm] hat, der
[mm] $$R_y \ge R^{\sup}_y:=1/\limsup |a_{n+1}/a_n|$$
[/mm]
erfüllt, und der zudem
[mm] $$R_y \le R_y^{\inf}:=1/\liminf |a_{n+1}/a_n|\,$$
[/mm]
erfüllt:
[mm] $$R_y^{\sup} \le R_y \le R_y^{\inf}\,.$$
[/mm]
(Beachte bei Wiki (klick!) die ganzen
Bemerkungen bei der Berechnung des Konvergenzradius mit dem QK!!)
Entsprechend wird die Potenzreihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}$ [/mm] in
[mm] $x\,$ [/mm] einen Konvergenzradius [mm] $R_x$ [/mm] haben, für den gelten wird:
[mm] $$\sqrt{R_y^{\sup}} \le R_x \le \sqrt{R_y^\inf}\,.$$
[/mm]
Setzt man nun [mm] $a_n=n+1$ [/mm] ein und erkennt dadurch [mm] $\lim (a_{n+1}/a_n)=1\,,$ [/mm]
so folgt hier - unter Verwendung von Satz 5.21 2.Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
- sodann $R_x=\sqrt{1}=1\,.$
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Wie schon vor der 3. Möglichkeit angesprochen kann man auch auf einem
anderen Wege $\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}$ in eine Potenzreihe der
Form $\sum_{n=0}^\infty b_n z^n$ umzuschreiben. Der folgende
vorgeschlagene Weg wird dann aber eigentlich nur wirklich sinnvoll zu
verwenden sein, wenn man das WK anwendet - warum, das wirst Du Dir
vielleicht selber klarmachen können.
Für jedes $x\,$ hat $\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}$ das gleiche
Konvergenzverhalten wie
$$\sum_{n=0}^\infty b_n x^{n}\,,$$
wenn man definiert:
$$b_n=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ a_k=a_{n/2}\;\;\;\;\;\;(=\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underbrace{k+1}_{\text{s.o., Definition der }a_k}\!\!\!\!\!\!\!), & \mbox{für } n=2k \mbox{ mit einem }k \in \IN_0 \end{cases}\,.$$
(Beweis?)
Hier wird also nicht die Variable $x\,$ ersetzt, sondern es werden
eher "Summanden angepasst".
Dies führt zur
5. Möglichkeit (Berechnung des Konvergenzradius mit 'Summandenanpassung'):
Mit den obigen $b_n$ hat die Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}$
den Konvergenzradius
$$1/\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|b_n|}=1/\limsup_{k \to \infty} \sqrt[\text{\red{2}}k]{|a_k|}\,.$$
Und hier höre ich jetzt mal auf, weil Du jetzt so langsam das alles eh erst
mal verdauen musst. Ich würde aber an Deiner Stelle wirklich alles
überdenken, denn es wäre wirklich gut, wenn man jede dieser
Überlegungen nachvollziehen kann. Und wenn Du das kannst, kannst Du
auch alles selbst zu Ende durchdenken, was Deine Aufgabe betrifft.
P.S.: Vermutlich, weil das einfach schwer zu vermeiden ist, wird es hier noch
den ein oder anderen Tippfehler oder Verschreiber geben (können). Ich
korrigiere das alles, soweit ich es sehe, wäre aber für jeden Fehlerhinweis
dankbar!
P.P.S. Analog zu den obigen Überlegungen folgt:
I.) Sei $N \in \IN\,$ fest. Ist $\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^{N*n}$ eine
Potenzreihe in der Variablen $x\,$ mit Mittelpunkt $x_0\,,$ so gilt für den
Konvergenzradius $R_x$ dieser Potenzreihe:
Sind $R_y^{\inf}:=\frac{1}{\liminf_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|$ und $R_y^{\sup}:=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|\,,$ so folgt
$$\sqrt[\red{N}]{R_y^\sup} \le R_x \le \sqrt[\red{N}]{R_y^\inf}\,,$$
mit Gleichheit überall, wenn $\lim |a_{n+1}/a_n|$ existiert.
Ferner gilt auch
$$R_x=1/\limsup \sqrt[\red{N\;}*n]{|a_n|}=\sqrt[\red{N}]{\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}}}\,.$$
Hierbei gilt immer: Die Potenzreihe
$$\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^{N*n}$$
konvergiert für alle $x\,$ mit $|x-x_0| < R_x$ und sie divergiert für alle $x\,$
mit $|x-x_0| > R_x\,.$ Für $|x-x_0|=R_x$ ist i.a. keine Aussage möglich,
d.h. im Falle $|x-x_0|=R_x$ muss man meist auf anderem Wege versuchen,
herauszufinden, für welche dieser $x\,$ die Potenzreihe konvergiert bzw.
divergiert.
II.) Sei $\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^{\mbox{t_n}}\,,$ wobei $(\mbox{t_n})_n$ eine
streng monoton wachsende Folge von Zahlen aus $\IN_0$ sei, anders
gesagt: Es ist $(\mbox{t_n})_{n=1}^\infty$ eine Teilfolge von $(n-1)_{n=0}^\infty\,.$
Dann ist der Konvergenzradius $R_x$ der Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^{t_n}$
in $x\,$ gegeben durch
$$R_x=\frac{1}{\limsup \sqrt[\red{\mbox{t}_n}]{|a_n|}}\,.$$
($\sqrt[\red{\mbox{t}_n}]{|a_n|}}$ ist die $\red{\mbox{t}_n}$-te Wurzel aus $|a_n|\,.$)
Zudem kannst Du Dir überlegen: Sind o.E. $t_n$ alle so, dass $a_n \not=0$
gilt (beachte, dass in der Reihe ja als Summand $a_n*(x-x_0)^{\red{\mbox{t}_n}}$ steht!),
so konvergiert nach dem QK dann die Reihe $\sum_{n=0}^\infty _n*(x-x_0)^{\red{\mbox{t}_n}}$
für alle $x\,$ mit
$${\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}*(x-x_0)^{\red{{t}_{n+1}}}}{a_{n}*(x-x_0)^{\red{{t}_{n}}}}\right|} < 1$$
und divergiert für alle $x\,$ mit
$${\frac{1}{\lim\red{\inf}_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}*(x-x_0)^{\red{{t}_{n+1}}}}{a_{n}*(x-x_0)^{\red{{t}_{n}}}}\right|} > 1\,.$$
Insbesondere kannst Du mit $t_n:=N*n\,$ ($N \in \IN\,,$ wobei bei mir $0 \notin \IN$ gelte!)
damit die Ergebnisse aus I.) herleiten!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Sa 22.12.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Ich weiß nicht, worum es hier geht ;)
Aber Marcel, deine Antworten sind der Hammer!
Viele Grüße
Axiom
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Sa 22.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Axiom,
> Ich weiß nicht, worum es hier geht ;)
Konvergenzradius einer Potenzreihe. Die Antwort hat eigentlich nur einen
wirklichen Sinn, und das geht aus ihr eigentlich nicht so direkt hervor:
Weil eigentlich momentan ständig Aufgaben zu Potenzreihen gestellt
werden, die eigentlich ein und demselben Schema unterliegen, und ich
langsam keine Lust mehr habe, mich da ständig zu wiederholen, will ich
eigentlich so was wie ein "Vorlage" geben, wie man derartige Aufgaben
behandelt bzw. behandeln kann. In Zukunft werde ich vermutlich einfach
nur auf diese Antwort hier verweisen, wenn ich so eine Aufgabe sehe.
Dann kann sich jemand eine Methode heraussuchen, wie er diese Aufgabe
nun behandeln will.
Deswegen fänd' ich's ganz toll, wenn sich ganz viele Leute die Antwort
penibelst durchlesen und mir jeden Fehler, den sie finden, mitteilen!
> Aber Marcel, deine Antworten sind der Hammer!
Danke.  Aber da steht nun nichts wirklich neues, sondern nur mal so ein
Zusammenwurscht. Jemand, der alleine das WK, das QK und die Motivation
des Begriffes Konvergenzradius verstanden hat, wird das alles kennen,
und auch bei einer Aufgabe wissen, was eine günstige und was eine
ungünstigere Herangehensweise für die Aufgabe ist.
P.S. Bei der einen Herleitung von [mm] $\sum_{n=0}^\infty n*q^n$ [/mm] muss man
ein bisschen was über Potenzreihen wissen: Nämlich, dass sie innerhalb
ihres Konvergenzkreises (eigentlich sogar unendlich oft) differenzierbar
sind - oder, wenn man das nicht weiß, muss man es sich halt herleiten!
P.P.S. Wie gesagt: Meine Antwort hier war keine Kritik an Richies Antworten,
die einzige Kritik an einer seiner Formulierungen habe ich im mitgeteilt.
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
erstmal danke für deine sehr umfangreiche ( :D ) Antwort, und sorry, dass ich mich jetzt erst melde. Ich habe deine Antwort schon vor ein paar Tagen gelesen, aber dachte nur: OMG!!
Ich habe mich jetzt mal ein bisschen eingelesen, aber da sind noch ein paar Sachen unklar.
> 1. Möglichkeit (WK):
> Nach dem WK konvergiert
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}[/mm]
> jedenfalls dann, wenn
> [mm]\limsup \sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|} < 1[/mm]
> und
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}[/mm]
> divergiert jedenfalls dann, wenn
> [mm]\limsup \sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|} \red{\;>\;} 1\,.[/mm]
>
> Wegen
> [mm]\limsup \underbrace{\sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|}}_{=\sqrt[n]{|n+1|}*\underbrace{\sqrt[n]{|x^2|^n}}_{=|x^2|}}=|x^2|*\limsup \sqrt[n]{|(n+1)|}=|x|^{2}*\limsup \sqrt[n]{|n+1|}[/mm]
> konvergiert die Reihe also, wenn
> [mm]|x|^2 < \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}[/mm]
>
> und sie divergiert, wenn
> [mm]|x|^2 > \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}\,.[/mm]
Warum [mm] |x|^2 [/mm] < [mm] \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}} [/mm] bzw. [mm] |x|^2 [/mm] > [mm] \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}} [/mm] ?
Müsste es nicht |x| < [mm] \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}} [/mm] bzw. |x| > [mm] \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}} [/mm] sein? Kannst du das bitte erklären?
> Daher konvergiert die Reihe für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x|^\red{2} < 1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}[/mm]
> und sie divergiert
> für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x|^\red{2} > 1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}\,.[/mm]
>
> Folglich konvergiert die Reihe für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| < \left(1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}\right)^{1/\red{2}}[/mm]
> und sie divergiert
> für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x|^2 > \left(1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}\right)^{1/\red{2}}\,.[/mm]
>
> (Natürlich sollte man sich nun überlegen, dass [mm]\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}=\limsup_{n \to \infty} \sqrt{\sqrt[n]{|n+1|}}=\sqrt{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n+1}}=\sqrt{1}=1\,,[/mm]
> und das nun auch verwenden.)
> 2. Möglichkeit (QK,
> Wurzelkriterium (Satz 6.19)
> ):
>
> Nach dem QK konvergiert die Reihe sicher dann, wenn
> [mm]\limsup \left|\frac{(n+1)x^{2*(n+1)}}{n*x^n}\right| < 1[/mm]
>
> und sie divergiert, wenn
> [mm]\lim\mathbf{inf} \left|\frac{(n+1)x^{2*(n+1)}}{n*x^n}\right| > 1\,.[/mm]
Müsste hier nicht stehen: lim sup [mm] |\bruch{(n+2)*x^{2(n+1)}}{(n+1)x^{2n}}| [/mm] < 1 und für lim inf analog?
>
> (Beachte, dass im letzteren Fall der Limes Inferior
> steht!)
>
> Jetzt überlege das mal analog zum ersten Fall weiter, für
> welche [mm]x\,[/mm]
> demnach die Reihe konvergiert und für welche sie demnach
> divergiert.
> Das man hier genau zum selben Ergebnis kommt, wie beim 1.
> Fall, ist nicht
> ganz selbstverständlich, denn das QK ist i.a. schwächer
> als das QK.
> Allerdings gilt [mm]\limsup |(n+1)/n|=1=\liminf |(n+1)/n|\,,[/mm] so
> dass
> Satz 5.21 2.
>
> angewendet werden kann.
> 4. Möglichkeit (Konvergenzradiusberechnung gemäß des QK
> mit "Variablensubstitution"):
> Mit der Variablensubstitution erkennt man, dass die
> Potenzreihe
> [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n y^n[/mm]
> in der Variablen [mm]y\,[/mm] sicher
> einen Konvergenzradius [mm]R_y[/mm] hat, der
> [mm]R_y \ge R^{\sup}_y:=1/\limsup |a_{n+1}/a_n|[/mm]
> erfüllt, und
> der zudem
> [mm]R_y \le R_y^{\inf}:=1/\liminf |a_{n+1}/a_n|\,[/mm]
Warum gilt [mm] R_y \le R_y^{\inf}:=1/\liminf |a_{n+1}/a_n| [/mm] ?
> erfüllt:
> [mm]R_y^{\sup} \le R_y \le R_y^{\inf}\,.[/mm]
> (Beachte
> bei Wiki (klick!)
> die ganzen
> Bemerkungen bei der Berechnung des Konvergenzradius mit
> dem QK!!)
>
> Entsprechend wird die Potenzreihe [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}[/mm]
> in
> [mm]x\,[/mm] einen Konvergenzradius [mm]R_x[/mm] haben, für den gelten
> wird:
> [mm]\sqrt{R_y^{\sup}} \le R_x \le \sqrt{R_y^\inf}\,.[/mm]
>
> Setzt man nun [mm]a_n=n+1[/mm] ein und erkennt dadurch [mm]\lim (a_{n+1}/a_n)=1\,,[/mm]
> so folgt hier - unter Verwendung von
> Satz 5.21 2.
> - sodann [mm]R_x=\sqrt{1}=1\,.[/mm]
>
> ___________________________________________________________
>
> ___________________________________________________________
>
> ___________________________________________________________
>
> Wie schon vor der 3. Möglichkeit angesprochen kann man
> auch auf einem
> anderen Wege [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}[/mm] in eine
> Potenzreihe der
> Form [mm]\sum_{n=0}^\infty b_n z^n[/mm] umzuschreiben. Der folgende
> vorgeschlagene Weg wird dann aber eigentlich nur wirklich
> sinnvoll zu
> verwenden sein, wenn man das WK anwendet - warum, das wirst
> Du Dir
> vielleicht selber klarmachen können.
>
> Für jedes [mm]x\,[/mm] hat [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}[/mm] das gleiche
> Konvergenzverhalten wie
> [mm]\sum_{n=0}^\infty b_n x^{n}\,,[/mm]
> wenn man definiert:
> [mm]b_n=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ k+1, & \mbox{für } n=2k \mbox{ mit einem }k \in \IN_0 \end{cases}\,.[/mm]
>
> (Beweis?)
Ich habe mir mal die Reihen [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_nx^n [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^{2n} [/mm] mit Pünkchtenschreibweise aufgeschrieben und würde auch sagen, dass sie dasselbe Konvergenzverhalten haben, aber wie sieht denn der Beweis dazu aus?
> Hier wird also nicht die Variable [mm]x\,[/mm] ersetzt, sondern es
> werden
> eher "Summanden angepasst".
>
> Dies führt zur
> 5. Möglichkeit (Berechnung des Konmvergenzradius mit
> 'Summandenanpassung'):
> Mit den obigen [mm]b_n[/mm] hat die Potenzreihe [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}[/mm]
>
> den Konvergenzradius
> [mm]1/\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|b_n|}=1/\limsup_{k \to \infty} \sqrt[\text{\red{2}}k]{|a_k|}\,.[/mm]
Warum gilt [mm] 1/\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|b_n|}=1/\limsup_{k \to \infty} \sqrt[\text{\red{2}}k]{|a_k|} [/mm] ?
> Und hier höre ich jetzt mal auf, weil Du jetzt so langsam
> das alles eh erst
> mal verdauen musst. Ich würde aber an Deiner Stelle
> wirklich alles
> überdenken, denn es wäre wirklich gut, wenn man jede
> dieser
> Überlegungen nachvollziehen kann. Und wenn Du das kannst,
> kannst Du
> auch alles selbst zu Ende durchdenken, was Deine Aufgabe
> betrifft.
>
> P.S.: Vermutlich, weil das einfach schwer zu vermeiden ist,
> wird es hier noch
> den ein oder anderen Tippfehler oder Verschreiber geben
> (können). Ich
> korrigiere das alles, soweit ich es sehe, wäre aber für
> jeden Fehlerhinweis
> dankbar!
>
> P.P.S. Analog zu den obigen Überlegungen folgt:
> I.) Sei [mm]N \in \IN\,[/mm] fest. Ist [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^{N*n}[/mm]
> eine
> Potenzreihe in der Variablen [mm]x\,[/mm] mit Mittelpunkt [mm]x_0\,,[/mm] so
> gilt für den
> Konvergenzradius [mm]R_x[/mm] dieser Potenzreihe:
> Sind [mm]R_y^{\inf}:=\frac{1}{\liminf_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|[/mm]
> und [mm]R_y^{\sup}:=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|\,,[/mm]
> so folgt
> [mm]\sqrt[\red{N}]{R_y^\sup} \le R_x \le \sqrt[\red{N}]{R_y^\inf}\,,[/mm]
>
> mit Gleichheit überall, wenn [mm]\lim |a_{n+1}/a_n|[/mm]
> existiert.
> Ferner gilt auch
> [mm]R_x=1/\limsup \sqrt[\red{N\;}*n]{|a_n|}=\sqrt[\red{N}]{\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}}}\,.[/mm]
>
> Hierbei gilt immer: Die Potenzreihe
> [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^{N*n}[/mm]
> konvergiert für alle
> [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x-x_0| < R_x[/mm] und sie divergiert für alle [mm]x\,[/mm]
> mit [mm]|x-x_0| > R_x\,.[/mm] Für [mm]|x-x_0|=R_x[/mm] ist i.a. keine
> Aussage möglich,
> d.h. im Falle [mm]|x-x_0|=R_x[/mm] muss man meist auf anderem Wege
> versuchen,
> herauszufinden, für welche dieser [mm]x\,[/mm] die Potenzreihe
> konvergiert bzw.
> divergiert.
>
> II.) Sei [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^{\mbox{t_n}}\,,[/mm]
> wobei [mm](\mbox{t_n})_n[/mm] eine
> streng monoton wachsende Folge von Zahlen aus [mm]\IN_0[/mm] sei,
> anders
> gesagt: Es ist [mm](\mbox{t_n})_{n=1}^\infty[/mm] eine Teilfolge von
> [mm](n-1)_{n=0}^\infty\,.[/mm]
> Dann ist der Konvergenzradius [mm]R_x[/mm] der Potenzreihe
> [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^{t_n}[/mm]
> in [mm]x\,[/mm] gegeben durch
> [mm]R_x=\frac{1}{\limsup \sqrt[\red{\mbox{t}_n}]{|a_n|}}\,.[/mm]
>
> ([mm]\sqrt[\red{\mbox{t}_n}]{|a_n|}}[/mm] ist die
> [mm]\red{\mbox{t}_n}[/mm]-te Wurzel aus [mm]|a_n|\,.[/mm])
>
> Zudem kannst Du Dir überlegen: Sind o.E. [mm]t_n[/mm] alle so, dass
> [mm]a_n \not=0[/mm]
> gilt (beachte, dass in der Reihe ja als Summand
> [mm]a_n*(x-x_0)^{\red{\mbox{t}_n}}[/mm] steht!),
> so konvergiert nach dem QK dann die Reihe
> [mm]\sum_{n=0}^\infty _n*(x-x_0)^{\red{\mbox{t}_n}}[/mm]
> für alle
> [mm]x\,[/mm] mit
> [mm]{\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}*(x-x_0)^{\red{{t}_{n+1}}}}{a_{n}*(x-x_0)^{\red{{t}_{n}}}}\right|} < 1[/mm]
>
> und divergiert für alle [mm]x\,[/mm] mit
> [mm]{\frac{1}{\lim\red{\inf}_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}*(x-x_0)^{\red{{t}_{n+1}}}}{a_{n}*(x-x_0)^{\red{{t}_{n}}}}\right|} > 1\,.[/mm]
>
> Insbesondere kannst Du mit [mm]t_n:=N*n\,[/mm] ([mm]N \in \IN\,,[/mm] wobei
> bei mir [mm]0 \notin \IN[/mm] gelte!)
> damit die Ergebnisse aus I.) herleiten!
>
> Gruß,
> Marcel
Den Rest habe ich mir jetzt nicht angeschaut, weil wir das noch nicht hatten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:58 Do 27.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> erstmal danke für deine sehr umfangreiche ( :D ) Antwort,
> und sorry, dass ich mich jetzt erst melde. Ich habe deine
> Antwort schon vor ein paar Tagen gelesen, aber dachte nur:
> OMG!!
kein Thema - wie gesagt: Der Sinn der Antwort war mehr eine allgemeine
Antwortvorlage bzgl. solcher Fragen!
> Ich habe mich jetzt mal ein bisschen eingelesen, aber da
> sind noch ein paar Sachen unklar.
>
> > 1. Möglichkeit (WK):
> > Nach dem WK konvergiert
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}[/mm]
> > jedenfalls dann, wenn
> > [mm]\limsup \sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|} < 1[/mm]
> > und
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}[/mm]
> > divergiert jedenfalls dann, wenn
> > [mm]\limsup \sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|} \red{\;>\;} 1\,.[/mm]
> >
> > Wegen
> > [mm]\limsup \underbrace{\sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|}}_{=\sqrt[n]{|n+1|}*\underbrace{\sqrt[n]{|x^2|^n}}_{=|x^2|}}=|x^2|*\limsup \sqrt[n]{|(n+1)|}=|x|^{2}*\limsup \sqrt[n]{|n+1|}[/mm]
> > konvergiert die Reihe also, wenn
> > [mm]|x|^2 < \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}[/mm]
>
> >
> > und sie divergiert, wenn
> > [mm]|x|^2 > \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}\,.[/mm]
>
>
>
> Warum [mm]|x|^2[/mm] < [mm]\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}[/mm]
> bzw. [mm]|x|^2[/mm] > [mm]\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}[/mm]
> ?
> Müsste es nicht |x| < [mm]\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}[/mm]
> bzw. |x| > [mm]\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}[/mm]
> sein?
Nein!
> Kannst du das bitte erklären?
Ja, es ist genau das, was da steht:
(Edit (blaue Kommentare): Hier lag' ein Verschreiber vor, siehe
Korrekturen!)
[mm] $$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|(n+1)*x^{2n}|}$$
[/mm]
ist, wie geschrieben, nichts anderes als
[mm] $$\red{|x^2|*\limsup_{n \to \infty}\sqrt[2n]{n+1}}\,.$$
[/mm]
(Edit: Das rotmarkierte enthält einen kleinen Fehler, den man fast nicht
wahrnimmt: [mm] $\sqrt[2n]{n+1}$ [/mm] ist durch [mm] $\sqrt[n]{n+1}$ [/mm] zu ersetzen!
Anstatt des rotmarkierten Terms verwende man vielmehr
[mm] $$|x^2|*\limsup_{n \to \infty}\sqrt[\blue{n}]{n+1}\,,$$
[/mm]
wobei man - wie gesagt - beachten sollte, dass die [mm] $2n\,$-te [/mm] Wurzel
durch die [mm] $n\,$-te [/mm] ersetzt wurde! In der Ausgangsantwort habe ich das
nun auch korrigiert!)
Und der Rest folgt wegen [mm] $|x^2|=|x|^2\,.$
[/mm]
>
>
> > Daher konvergiert die Reihe für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x|^\red{2} < 1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}[/mm]
Edit: Wie gesagt: Auch hier habe ich das in der Ausgangsantwort
korrigiert!
> > und sie divergiert
> > für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x|^\red{2} > 1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}\,.[/mm]
>
> >
> > Folglich konvergiert die Reihe für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| < \left(1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}\right)^{1/\red{2}}[/mm]
> > und sie divergiert
> > für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x|^2 > \left(1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}\right)^{1/\red{2}}\,.[/mm]
>
> >
> > (Natürlich sollte man sich nun überlegen, dass [mm]\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}=\limsup_{n \to \infty} \sqrt{\sqrt[n]{|n+1|}}=\sqrt{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n+1}}=\sqrt{1}=1\,,[/mm]
> > und das nun auch verwenden.)
>
>
>
>
> > 2. Möglichkeit (QK,
> >
> Wurzelkriterium (Satz 6.19)
>
> > ):
> >
> > Nach dem QK konvergiert die Reihe sicher dann, wenn
> > [mm]\limsup \left|\frac{(n+1)x^{2*(n+1)}}{n*x^n}\right| < 1[/mm]
>
> >
> > und sie divergiert, wenn
> > [mm]\lim\mathbf{inf} \left|\frac{(n+1)x^{2*(n+1)}}{n*x^n}\right| > 1\,.[/mm]
>
>
> Müsste hier nicht stehen: lim sup
> [mm]|\bruch{(n+2)*x^{2(n+1)}}{(n+1)x^{2n}}|[/mm] < 1 und für lim
> inf analog?
Okay: Deine Reihe hat die Form [mm] $\sum a_n$ [/mm] mit
[mm] $$a_n=a_n(x):=(n+1)x^{2n}\,.$$
[/mm]
Dann ist [mm] $a_{n+1}/a_n=\frac{(n+2)x^{2*(n+1)}}{(n+1)x^{2n}}\,.$ [/mm] Du hast Recht - aber hier wäre
mein "Fehler" tatsächlich kein Fehler, was einfach daran liegt, dass [mm] $$\lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n+1}=\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n}\;\;\;\;\;\;(\;=\;1)\,.$$
[/mm]
Ich werde es aber mal korrigieren - Danke für den Hinweis!
>
>
> >
> > (Beachte, dass im letzteren Fall der Limes Inferior
> > steht!)
> >
> > Jetzt überlege das mal analog zum ersten Fall weiter, für
> > welche [mm]x\,[/mm]
> > demnach die Reihe konvergiert und für welche sie demnach
> > divergiert.
> > Das man hier genau zum selben Ergebnis kommt, wie beim
> 1.
> > Fall, ist nicht
> > ganz selbstverständlich, denn das QK ist i.a.
> schwächer
> > als das QK.
> > Allerdings gilt [mm]\limsup |(n+1)/n|=1=\liminf |(n+1)/n|\,,[/mm] so
> > dass
> > Satz 5.21 2.
>
> >
> > angewendet werden kann.
>
>
>
> > 4. Möglichkeit (Konvergenzradiusberechnung gemäß des QK
> > mit "Variablensubstitution"):
> > Mit der Variablensubstitution erkennt man, dass die
> > Potenzreihe
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n y^n[/mm]
> > in der Variablen [mm]y\,[/mm]
> sicher
> > einen Konvergenzradius [mm]R_y[/mm] hat, der
> > [mm]R_y \ge R^{\sup}_y:=1/\limsup |a_{n+1}/a_n|[/mm]
> >
> erfüllt, und
> > der zudem
> > [mm]R_y \le R_y^{\inf}:=1/\liminf |a_{n+1}/a_n|\,[/mm]
>
>
>
> Warum gilt [mm]R_y \le R_y^{\inf}:=1/\liminf |a_{n+1}/a_n|[/mm] ?
Eine einfache Begründung dazu findest Du im Prinzip bei Wiki: Wenn eine
Potenzreihe für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x| < [mm] R_1$ [/mm] konvergiert und für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit
$|x| > [mm] R_2$ [/mm] divergiert, so wirst Du wissen, dass der Konvergenzradius
[mm] $R\,$ [/mm] dieser Potenzreihe erfüllt
[mm] $$R_1 \le [/mm] R [mm] \le R_2\,.$$
[/mm]
Dich interessiert dabei vor allem die Aussage mit dem [mm] $R_2\,.$ [/mm] Nun kann
man das ganze auch (im Wesentlichen "analytisch/algebraisch") formal
beweisen (wollen) - dazu habe ich aber, vor allem zu so später Stunde,
keine Lust. Es müsste sich aber insbesondere aus Zusammenhängen,
die man zwischen dem WK und dem QK bei Reihen kennt, herleiten lassen.
(Ich hatte ja irgendwo auch auf einen Satz im Skript hingewiesen, wo
begründet wurde, warum das WK im allgemeinen stärker ist als das QK)...
>
>
> > erfüllt:
> > [mm]R_y^{\sup} \le R_y \le R_y^{\inf}\,.[/mm]
> > (Beachte
> >
> bei Wiki (klick!)
> > die ganzen
> > Bemerkungen bei der Berechnung des Konvergenzradius mit
> > dem QK!!)
> >
> > Entsprechend wird die Potenzreihe [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}[/mm]
> > in
> > [mm]x\,[/mm] einen Konvergenzradius [mm]R_x[/mm] haben, für den gelten
> > wird:
> > [mm]\sqrt{R_y^{\sup}} \le R_x \le \sqrt{R_y^\inf}\,.[/mm]
> >
> > Setzt man nun [mm]a_n=n+1[/mm] ein und erkennt dadurch [mm]\lim (a_{n+1}/a_n)=1\,,[/mm]
> > so folgt hier - unter Verwendung von
> > Satz 5.21 2.
> > - sodann [mm]R_x=\sqrt{1}=1\,.[/mm]
> >
> >
> ___________________________________________________________
> >
> >
> ___________________________________________________________
> >
> >
> ___________________________________________________________
> >
> > Wie schon vor der 3. Möglichkeit angesprochen kann man
> > auch auf einem
> > anderen Wege [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}[/mm] in eine
> > Potenzreihe der
> > Form [mm]\sum_{n=0}^\infty b_n z^n[/mm] umzuschreiben. Der
> folgende
> > vorgeschlagene Weg wird dann aber eigentlich nur wirklich
> > sinnvoll zu
> > verwenden sein, wenn man das WK anwendet - warum, das wirst
> > Du Dir
> > vielleicht selber klarmachen können.
> >
> > Für jedes [mm]x\,[/mm] hat [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}[/mm] das gleiche
> > Konvergenzverhalten wie
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty b_n x^{n}\,,[/mm]
> > wenn man definiert:
> > [mm]b_n=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ k+1, & \mbox{für } n=2k \mbox{ mit einem }k \in \IN_0 \end{cases}\,.[/mm]
>
> >
> > (Beweis?)
>
>
>
> Ich habe mir mal die Reihen [mm]\summe_{n=0}^{\infty}b_nx^n[/mm] und
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^{2n}[/mm] mit Pünkchtenschreibweise
> aufgeschrieben und würde auch sagen, dass sie dasselbe
> Konvergenzverhalten haben, aber wie sieht denn der Beweis
> dazu aus?
Na, eine Reihe ist doch nichts anderes als die Folge ihrer Teilsummen. Und
wenn Du Dir das mal klargemacht hast, dann wäre die Antwort auf die
Frage die gleiche, die man geben würde, wenn man wissen wollte, warum
[mm] $$(a_n)_n=(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\ldots)$$
[/mm]
das gleiche Konvergenzverhalten hat wie eine Folge der Art
[mm] $$(a_1,...,a_1,a_2,...,a_2,a_3,...,a_3,a_4,...,a_4,....)$$
[/mm]
(D.h. bei der zweiten Folge taucht [mm] $n_1$-Mal [/mm] das [mm] $a_1$ [/mm] hintereinander
auf, danach dann direkt [mm] $n_2$-Mal [/mm] das [mm] $a_2\,,$ [/mm] dann [mm] $n_3$-Mal [/mm] das
[mm] $a_3$ [/mm] etc. pp.)
Und die beiden Folgen haben im Falle der Konvergenz auch den gleichen
Grenzwert.
Warum ist das das gleiche? Machen wir das mal beispielhaft für
[mm] $$\sum a_n=a_0+a_1+a_2+a_3+...$$
[/mm]
und setzen wir [mm] $b_n=a_{n/2}$ [/mm] für gerades [mm] $n\,,$ [/mm] und [mm] $b_n=0$ [/mm] für
ungerades [mm] $n\,.$
[/mm]
[mm] $S^a(n)$ [/mm] sei das [mm] $n\,$-te [/mm] Folgenglied der Reihe [mm] $\sum a_n\,,$ [/mm] und [mm] $S^b(n)$ [/mm]
sei das [mm] $n\,$-te [/mm] Folgenglied der Reihe [mm] $\sum b_n\,.$
[/mm]
Dann gilt
[mm] $$S^a(0)=a_0$$
[/mm]
[mm] $$S^a(1)=a_0+a_1$$
[/mm]
[mm] $$S^a(2)=a_0+a_1+a_2$$
[/mm]
[mm] $$S^a(3)=a_0+a_1+a_2+a_3$$
[/mm]
[mm] $$S^a(4)=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4$$
[/mm]
.
.
.
und
[mm] $$S^b(0)=b_0=a_0=S^a(0)$$
[/mm]
[mm] $$S^b(1)=a_0+0=a_0=S^a(0)$$
[/mm]
[mm] $$S^b(2)=b_0+0+b_2=a_0+a_1=S^a(1)$$
[/mm]
[mm] $$S^b(3)=b_0+0+b_2+0=a_0+a_1=S^a(1)$$
[/mm]
[mm] $$S^b(4)=b_0+0+b_2+0+b_4=a_0+a_1+a_2=S^a(2)$$
[/mm]
[mm] $$S^b(5)=b_0+0+b_2+0+b_4+0=a_0+a_1+a_2=S^a(2)$$
[/mm]
.
.
.
> > Hier wird also nicht die Variable [mm]x\,[/mm] ersetzt, sondern es
> > werden
> > eher "Summanden angepasst".
> >
> > Dies führt zur
> > 5. Möglichkeit (Berechnung des Konmvergenzradius mit
> > 'Summandenanpassung'):
> > Mit den obigen [mm]b_n[/mm] hat die Potenzreihe
> [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}[/mm]
> >
> > den Konvergenzradius
> > [mm]1/\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|b_n|}=1/\limsup_{k \to \infty} \sqrt[\text{\red{2}}k]{|a_k|}\,.[/mm]
>
>
> Warum gilt [mm]1/\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|b_n|}=1/\limsup_{k \to \infty} \sqrt[\text{\red{2}}k]{|a_k|}[/mm]
> ?
Die Frage solltest Du Dir selbst beantworten können: Denn was ist der
Limes Superior per Definitionem (oder mithilfe einer Charakterisierung)?
Bedenke das, und dass wir hatten:
$ [mm] b_n=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ a_k=k+1, & \mbox{für } n=2k \mbox{ mit einem }k \in \IN_0 \end{cases}\,. [/mm] $
Dann ist hier
[mm] $$\limsup_{n \to\infty}\sqrt[n]{|b_n|}=\limsup_{n \to \infty \text{ und }n \text{ gerade}}\sqrt[n]{|b_n|}=\limsup_{k \to \infty}\sqrt[2k]{|b_{2k}|}=\limsup_{k \to \infty}\sqrt[2k]{|a_{k}|}\,.$$
[/mm]
>
> > Und hier höre ich jetzt mal auf, weil Du jetzt so langsam
> > das alles eh erst
> > mal verdauen musst. Ich würde aber an Deiner Stelle
> > wirklich alles
> > überdenken, denn es wäre wirklich gut, wenn man jede
> > dieser
> > Überlegungen nachvollziehen kann. Und wenn Du das kannst,
> > kannst Du
> > auch alles selbst zu Ende durchdenken, was Deine
> Aufgabe
> > betrifft.
> >
> > P.S.: Vermutlich, weil das einfach schwer zu vermeiden ist,
> > wird es hier noch
> > den ein oder anderen Tippfehler oder Verschreiber geben
> > (können). Ich
> > korrigiere das alles, soweit ich es sehe, wäre aber für
> > jeden Fehlerhinweis
> > dankbar!
> >
> > P.P.S. Analog zu den obigen Überlegungen folgt:
> > I.) Sei [mm]N \in \IN\,[/mm] fest. Ist [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^{N*n}[/mm]
> > eine
> > Potenzreihe in der Variablen [mm]x\,[/mm] mit Mittelpunkt [mm]x_0\,,[/mm]
> so
> > gilt für den
> > Konvergenzradius [mm]R_x[/mm] dieser Potenzreihe:
> > Sind [mm]R_y^{\inf}:=\frac{1}{\liminf_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|[/mm]
> > und [mm]R_y^{\sup}:=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|\,,[/mm]
> > so folgt
> > [mm]\sqrt[\red{N}]{R_y^\sup} \le R_x \le \sqrt[\red{N}]{R_y^\inf}\,,[/mm]
>
> >
> > mit Gleichheit überall, wenn [mm]\lim |a_{n+1}/a_n|[/mm]
> > existiert.
> > Ferner gilt auch
> > [mm]R_x=1/\limsup \sqrt[\red{N\;}*n]{|a_n|}=\sqrt[\red{N}]{\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}}}\,.[/mm]
>
> >
> > Hierbei gilt immer: Die Potenzreihe
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^{N*n}[/mm]
> > konvergiert für
> alle
> > [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x-x_0| < R_x[/mm] und sie divergiert für alle [mm]x\,[/mm]
> > mit [mm]|x-x_0| > R_x\,.[/mm] Für [mm]|x-x_0|=R_x[/mm] ist i.a. keine
> > Aussage möglich,
> > d.h. im Falle [mm]|x-x_0|=R_x[/mm] muss man meist auf anderem Wege
> > versuchen,
> > herauszufinden, für welche dieser [mm]x\,[/mm] die Potenzreihe
> > konvergiert bzw.
> > divergiert.
> >
> > II.) Sei [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^{\mbox{t_n}}\,,[/mm]
> > wobei [mm](\mbox{t_n})_n[/mm] eine
> > streng monoton wachsende Folge von Zahlen aus [mm]\IN_0[/mm]
> sei,
> > anders
> > gesagt: Es ist [mm](\mbox{t_n})_{n=1}^\infty[/mm] eine Teilfolge von
> > [mm](n-1)_{n=0}^\infty\,.[/mm]
> > Dann ist der Konvergenzradius [mm]R_x[/mm] der Potenzreihe
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^{t_n}[/mm]
> > in [mm]x\,[/mm] gegeben durch
> > [mm]R_x=\frac{1}{\limsup \sqrt[\red{\mbox{t}_n}]{|a_n|}}\,.[/mm]
>
> >
> > ([mm]\sqrt[\red{\mbox{t}_n}]{|a_n|}}[/mm] ist die
> > [mm]\red{\mbox{t}_n}[/mm]-te Wurzel aus [mm]|a_n|\,.[/mm])
> >
> > Zudem kannst Du Dir überlegen: Sind o.E. [mm]t_n[/mm] alle so, dass
> > [mm]a_n \not=0[/mm]
> > gilt (beachte, dass in der Reihe ja als
> Summand
> > [mm]a_n*(x-x_0)^{\red{\mbox{t}_n}}[/mm] steht!),
> > so konvergiert nach dem QK dann die Reihe
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty _n*(x-x_0)^{\red{\mbox{t}_n}}[/mm]
> > für
> alle
> > [mm]x\,[/mm] mit
> > [mm]{\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}*(x-x_0)^{\red{{t}_{n+1}}}}{a_{n}*(x-x_0)^{\red{{t}_{n}}}}\right|} < 1[/mm]
>
> >
> > und divergiert für alle [mm]x\,[/mm] mit
> > [mm]{\frac{1}{\lim\red{\inf}_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}*(x-x_0)^{\red{{t}_{n+1}}}}{a_{n}*(x-x_0)^{\red{{t}_{n}}}}\right|} > 1\,.[/mm]
>
> >
> > Insbesondere kannst Du mit [mm]t_n:=N*n\,[/mm] ([mm]N \in \IN\,,[/mm] wobei
> > bei mir [mm]0 \notin \IN[/mm] gelte!)
> > damit die Ergebnisse aus I.) herleiten!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Den Rest habe ich mir jetzt nicht angeschaut, weil wir das
> noch nicht hatten.
Kein Thema!
Gruß,
Marcel
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> > > 1. Möglichkeit (WK):
> > > Nach dem WK konvergiert
> > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}[/mm]
> > > jedenfalls dann, wenn
> > > [mm]\limsup \sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|} < 1[/mm]
> > > und
> > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}[/mm]
> > > divergiert jedenfalls dann, wenn
> > > [mm]\limsup \sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|} \red{\;>\;} 1\,.[/mm]
> >
> >
> > > Wegen
> > > [mm]\limsup \underbrace{\sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|}}_{=\sqrt[n]{|n+1|}*\underbrace{\sqrt[n]{|x^2|^n}}_{=|x^2|}}=|x^2|*\limsup \sqrt[n]{|(n+1)|}=|x|^{2}*\limsup \sqrt[n]{|n+1|}[/mm]
> > > konvergiert die Reihe also, wenn
> > > [mm]|x|^2 < \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > und sie divergiert, wenn
> > > [mm]|x|^2 > \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}\,.[/mm]
>
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> > Warum [mm]|x|^2[/mm] < [mm]\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}[/mm]
> > bzw. [mm]|x|^2[/mm] > [mm]\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}[/mm]
> > ?
> > Müsste es nicht |x| < [mm]\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}[/mm]
> > bzw. |x| > [mm]\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}[/mm]
> > sein?
>
> Nein!
>
> > Kannst du das bitte erklären?
>
> Ja, es ist genau das, was da steht:
> [mm]\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|(n+1)*x^{2n}|}[/mm]
> ist, wie
> geschrieben, nichts anderes als
> [mm]|x^2|*\limsup_{n \to \infty}\sqrt[2n]{n+1}\,.[/mm]
>
> Und der Rest folgt wegen [mm]|x^2|=|x|^2\,.[/mm]
Also ist [mm] \limsup \underbrace{\sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|}}_{=\sqrt[n]{|n+1|}*\underbrace{\sqrt[n]{|x^2|^n}}_{=|x^2|}}=|x^2|*\limsup \sqrt[n]{|(n+1)|}=|x|^{2}*\limsup \sqrt[n]{|n+1|} [/mm] = [mm] |x^2|*\limsup_{n \to \infty}\sqrt[2n]{n+1} [/mm] ?
Die letzte Gleichung verstehe ich nicht.
Also ich sehe das so:
Die Reihe konvergiert,falls lim sup [mm] \wurzel[n]{|(n+1)x^{2n}|} [/mm] = [mm] |x|^2 [/mm] * lim sup [mm] \wurzel[n]{|n+1|} [/mm] < 1
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] |x|^2 [/mm] < [mm] \bruch{1}{lim sup \wurzel[n]{|n+1|}}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
|x| < [mm] \bruch{1}{\wurzel{lim sup \wurzel[n]{|n+1|}}}
[/mm]
Sorry, aber das will immer noch nicht in meinen Kopf...
> > > Daher konvergiert die Reihe für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x|^\red{2} < 1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}[/mm]
> > > und sie divergiert
> > > für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x|^\red{2} > 1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Folglich konvergiert die Reihe für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| < \left(1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}\right)^{1/\red{2}}[/mm]
> > > und sie divergiert
> > > für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x|^2 > \left(1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}\right)^{1/\red{2}}\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > (Natürlich sollte man sich nun überlegen, dass [mm]\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}=\limsup_{n \to \infty} \sqrt{\sqrt[n]{|n+1|}}=\sqrt{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n+1}}=\sqrt{1}=1\,,[/mm]
> > > und das nun auch verwenden.)
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Hallo Blackburn,
> > > > 1. Möglichkeit (WK):
> > > > Nach dem WK konvergiert
> > > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}[/mm]
> > > > jedenfalls dann, wenn
> > > > [mm]\limsup \sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|} < 1[/mm]
> > > > und
>
> > > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}[/mm]
> > > > divergiert jedenfalls dann, wenn
> > > > [mm]\limsup \sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|} \red{\;>\;} 1\,.[/mm]
>
> > >
> > >
> > > > Wegen
> > > > [mm]\limsup \underbrace{\sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|}}_{=\sqrt[n]{|n+1|}*\underbrace{\sqrt[n]{|x^2|^n}}_{=|x^2|}}=|x^2|*\limsup \sqrt[n]{|(n+1)|}=|x|^{2}*\limsup \sqrt[n]{|n+1|}[/mm]
> > > > konvergiert die Reihe also, wenn
> > > > [mm]|x|^2 < \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > und sie divergiert, wenn
> > > > [mm]|x|^2 > \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > >
> > > Warum [mm]|x|^2[/mm] < [mm]\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}[/mm]
> > > bzw. [mm]|x|^2[/mm] > [mm]\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}[/mm]
> > > ?
> > > Müsste es nicht |x| < [mm]\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}[/mm]
> > > bzw. |x| > [mm]\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}}[/mm]
> > > sein?
> >
> > Nein!
> >
> > > Kannst du das bitte erklären?
> >
> > Ja, es ist genau das, was da steht:
> > [mm]\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|(n+1)*x^{2n}|}[/mm]
> >
> ist, wie
> > geschrieben, nichts anderes als
> > [mm]|x^2|*\limsup_{n \to \infty}\sqrt[2n]{n+1}\,.[/mm]
> >
> > Und der Rest folgt wegen [mm]|x^2|=|x|^2\,.[/mm]
>
> Also ist [mm]\limsup \underbrace{\sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|}}_{=\sqrt[n]{|n+1|}*\underbrace{\sqrt[n]{|x^2|^n}}_{=|x^2|}}=|x^2|*\limsup \sqrt[n]{|(n+1)|}=|x|^{2}*\limsup \sqrt[n]{|n+1|}[/mm]
> = [mm]|x^2|*\limsup_{n \to \infty}\sqrt[2n]{n+1}[/mm] ?
>
> Die letzte Gleichung verstehe ich nicht.
Was ist denn [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+1}[/mm] ?
Was sagen die Grenzwertsätze?
>
> Also ich sehe das so:
>
> Die Reihe konvergiert,falls lim sup
> [mm]\wurzel[n]{|(n+1)x^{2n}|}[/mm] = [mm]|x|^2[/mm] * lim sup
> [mm]\wurzel[n]{|n+1|}[/mm] < 1
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]|x|^2[/mm] < [mm]\bruch{1}{lim sup \wurzel[n]{|n+1|}}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> |x| < [mm]\bruch{1}{\wurzel{lim sup \wurzel[n]{|n+1|}}}[/mm]
>
>
> Sorry, aber das will immer noch nicht in meinen Kopf...
Was genau davon nicht?
Das ist doch nur das WK angewandt und Potenzgesetze (oder Wurzelgesetze) aus der Mittelstufe ...
Sag' konkret, was dir davon nicht in den Kopf will!
>
> > > > Daher konvergiert die Reihe für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x|^\red{2} < 1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}[/mm]
> > > > und sie divergiert
> > > > für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x|^\red{2} > 1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Folglich konvergiert die Reihe für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| < \left(1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}\right)^{1/\red{2}}[/mm]
> > > > und sie divergiert
> > > > für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x|^2 > \left(1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}\right)^{1/\red{2}}\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > (Natürlich sollte man sich nun überlegen, dass [mm]\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|n+1|}=\limsup_{n \to \infty} \sqrt{\sqrt[n]{|n+1|}}=\sqrt{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n+1}}=\sqrt{1}=1\,,[/mm]
> > > > und das nun auch verwenden.)
Wieso zitierst du das schon zum vierten Mal mit? Damit es noch unübersichtlicher wird als es schon ist?!
Oder sehe ich gerade deine Frage zu dem unteren Teil nicht?
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Gruß
schachuzipus
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> Was ist denn [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+1}[/mm] ?
>
> Was sagen die Grenzwertsätze?
Also ich hau jetzt einfach mal alles raus, was ich weiß, und wie ich das verstehe.
Wir haben die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}
[/mm]
Nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Reihe dann, wenn [mm] \limsup \sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|} [/mm] < 1 und divergiert, falls [mm] \limsup \sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|} [/mm] > 1
Betrachten wir jetzt nur den Fall [mm] \limsup \sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|} [/mm] < 1, da der andere Fall analog funktioniert.
Es gilt:
lim sup [mm] (\wurzel[n]{|(n+1)x^{2n}|}) [/mm] = lim sup [mm] (\wurzel[n]{|n+1|*|x^{2n}|}) [/mm] = lim sup [mm] (\wurzel[n]{n+1}*\wurzel[n]{|(x^2)^n|}) [/mm] = lim sup [mm] (\wurzel[n]{n+1}*|x|^2) [/mm] = lim [mm] (\wurzel[n]{n+1}*|x|^2) [/mm] = [mm] |x|^2 [/mm] * lim [mm] (\wurzel[n]{n+1}) [/mm] = [mm] |x|^2 [/mm] * lim sup [mm] (\wurzel[n]{n+1}) [/mm] < 1
[mm] \gdw |x|^2 [/mm] < [mm] \bruch{1}{lim sup (\wurzel[n]{n+1})}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] |x| < [mm] \bruch{1}{\wurzel{lim sup (\wurzel[n]{n+1})}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] |x| < [mm] \bruch{1}{\wurzel{lim(\wurzel[n]{n+1})}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] |x| < [mm] \bruch{1}{\wurzel{1}} [/mm] = 1
(Beachte: lim [mm] (\wurzel[n]{n+1}) [/mm] = 1 , also sind lim inf [mm] (\wurzel[n]{n+1}) [/mm] = lim sup [mm] (\wurzel[n]{n+1}) [/mm] = 1)
Wenn wir jetzt noch den Fall für > 1 betrachten, finden wir heraus, dass 1 der Konvergenzradius ist.
Mein Problem ist, warum wir folgende Gleichung hinschreiben: lim sup [mm] (\wurzel[n]{|(n+1)x^{2n}|}) [/mm] = [mm] |x^2|\cdot{}\limsup_{n \to \infty}\sqrt[2n]{n+1} [/mm] (Beachte: Ich habe nur benutzt: [mm] |x|^2 [/mm] * lim sup [mm] (\wurzel[n]{n+1}) [/mm] = lim sup [mm] (\wurzel[n]{|(n+1)x^{2n}|}), [/mm] also ich habe KEINE 2n.-te Wurzel gezogen.)
Die Gleichung an sich ist klar, da
lim sup [mm] (\wurzel[n]{|(n+1)x^{2n}|}) [/mm] = [mm] |x|^2 [/mm] * lim [mm] (\wurzel[n]{n+1}) [/mm] = [mm] |x^2|\cdot{}\limsup_{n \to \infty}\sqrt[2n]{n+1} [/mm] = [mm] |x^2|*lim \sqrt[2n]{n+1} [/mm] (Beachte: lim [mm] \sqrt[2n]{n+1} [/mm] = lim [mm] \wurzel[n]{n+1} [/mm] = 1, also lim inf [mm] \sqrt[2n]{n+1} [/mm] = lim sup [mm] \sqrt[2n]{n+1} [/mm] = lim inf [mm] \wurzel[n]{n+1} [/mm] = lim sup = lim [mm] \wurzel[n]{n+1} [/mm] = 1)
Aber wozu brauchen wir die Gleichung lim sup [mm] (\wurzel[n]{|(n+1)x^{2n}|}) [/mm] = [mm] |x^2|\cdot{}\limsup_{n \to \infty}\sqrt[2n]{n+1} [/mm] um den Konvergenzradius zu bestimmen? Ich habe ihn genauso bestimmt, aber ohne diese Gleichung zu benutzen.
> Wieso zitierst du das schon zum vierten Mal mit? Damit es
> noch unübersichtlicher wird als es schon ist?!
> Oder sehe ich gerade deine Frage zu dem unteren Teil
> nicht?
>
> Gruß
> schachuzipus
Nein, du hast keine Frage übersehen. Ich habe das nur mitkopiert, weil dies zum ersten Lösungsweg von Marcel gehört, und man nicht ständig hin und her scrollen muss, wenn man nochmal was nachgucken möchte. Kein Grund mit dem Kopf zu schütteln.
Grüsse
Alexander
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Do 27.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Was ist denn [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+1}[/mm] ?
> >
> > Was sagen die Grenzwertsätze?
>
> Also ich hau jetzt einfach mal alles raus, was ich weiß,
> und wie ich das verstehe.
>
> Wir haben die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}[/mm]
>
> Nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Reihe dann, wenn
> [mm]\limsup \sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|}[/mm] < 1 und divergiert, falls
> [mm]\limsup \sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|}[/mm] > 1
>
> Betrachten wir jetzt nur den Fall [mm]\limsup \sqrt[n]{|(n+1)x^{2n}|}[/mm]
> < 1, da der andere Fall analog funktioniert.
>
> Es gilt:
>
> lim sup [mm](\wurzel[n]{|(n+1)x^{2n}|})[/mm] = lim sup
> [mm](\wurzel[n]{|n+1|*|x^{2n}|})[/mm] = lim sup
> [mm](\wurzel[n]{n+1}*\wurzel[n]{|(x^2)^n|})[/mm] = lim sup
> [mm](\wurzel[n]{n+1}*|x|^2)[/mm] = lim [mm](\wurzel[n]{n+1}*|x|^2)[/mm] =
> [mm]|x|^2[/mm] * lim [mm](\wurzel[n]{n+1})[/mm] = [mm]|x|^2[/mm] * lim sup
> [mm](\wurzel[n]{n+1})[/mm] < 1
>
> [mm]\gdw |x|^2[/mm] < [mm]\bruch{1}{lim sup (\wurzel[n]{n+1})}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] |x| < [mm]\bruch{1}{\wurzel{lim sup (\wurzel[n]{n+1})}}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] |x| < [mm]\bruch{1}{\wurzel{lim(\wurzel[n]{n+1})}}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] |x| < [mm]\bruch{1}{\wurzel{1}}[/mm] = 1
>
> (Beachte: lim [mm](\wurzel[n]{n+1})[/mm] = 1 , also sind lim inf
> [mm](\wurzel[n]{n+1})[/mm] = lim sup [mm](\wurzel[n]{n+1})[/mm] = 1)
>
> Wenn wir jetzt noch den Fall für > 1 betrachten, finden
> wir heraus, dass 1 der Konvergenzradius ist.
>
> Mein Problem ist, warum wir folgende Gleichung
> hinschreiben: lim sup [mm](\wurzel[n]{|(n+1)x^{2n}|})[/mm] =
> [mm]|x^2|\cdot{}\limsup_{n \to \infty}\sqrt[2n]{n+1}[/mm] (Beachte:
> Ich habe nur benutzt: [mm]|x|^2[/mm] * lim sup [mm](\wurzel[n]{n+1})[/mm] =
> lim sup [mm](\wurzel[n]{|(n+1)x^{2n}|}),[/mm] also ich habe KEINE
> 2n.-te Wurzel gezogen.)
ja, damit hattest Du Recht: Das war ein Fehler von mir, den ich - wie
gesagt - wahrscheinlich durch C&P eingebaut hatte, und der mir (und
Schachu wahrscheinlich auch) nicht aufgefallen war. Ich weiß ja, was ich
mir dabei gedacht hatte und habe das nur grob mit dem verglichen, was
ich geschrieben hatte.
Nun scheint's aber alles klar zu sein, von daher komme ich dem Wunsch
nach, den Status der Frage anzupassen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Do 27.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Blackburn,
ich glaube, ich habe an einer Stelle [mm] $\sqrt[2n]{...}$ [/mm] stehen anstatt - wie
es richtig wäre, nur [mm] $\sqrt[n]{...}$ [/mm] - ich guck' da nochmal drüber und
korrigiere das. Vielleicht erledigt sich damit auch Deine Frage - das war
mir nämlich zuvor gar nicht aufgefallen!
P.S. Ich find's gut, wenn die Antwort Korrektur gelesen wird, und ich find's
auch gut, dass, wenn ich wohl einen Fehler gemacht habe und ihn dann
trotz Hinweis weiterhin übersehe, Du weiterhin nachfragst.
Wenn es aber wirklich dieser "Verschreiber" oben war, dann eine kleine
Bitte: Weise mich konkret auf die Stelle hin, also auf die Stelle, wo bei Dir
der Unterschied zu meiner Rechnung ist. Denn eben habe ich Deine
Rechnung gesehen und nur gedacht: "Okay, der macht doch genau das,
was ich auch gemacht habe, es ist doch [mm] $(1/a)^{1/2}=1/\sqrt{a}\,,$ [/mm] bis
ich gesehen habe, dass bei mir irgendwo [mm] $\sqrt[2n]{...}$ [/mm] anstatt [mm] $\sqrt[n]{...}$
[/mm]
steht. Du machst das also richtig, und bei mir wir an einer Stelle aus
[mm] $\sqrt[n]{...}$ [/mm] halt [mm] $\sqrt[2n]{...}\,,$ [/mm] was mir vermutlich deswegen nicht
aufgefallen war, weil ich Formeln teilweise kopiert habe!
Gruß,
Marcel
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> Hallo Blackburn,
>
> ich glaube, ich habe an einer Stelle [mm]\sqrt[2n]{...}[/mm] stehen
> anstatt - wie
> es richtig wäre, nur [mm]\sqrt[n]{...}[/mm] - ich guck' da nochmal
> drüber und
> korrigiere das. Vielleicht erledigt sich damit auch Deine
> Frage - das war
> mir nämlich zuvor gar nicht aufgefallen!
>
> P.S. Ich find's gut, wenn die Antwort Korrektur gelesen
> wird, und ich find's
> auch gut, dass, wenn ich wohl einen Fehler gemacht habe
> und ihn dann
> trotz Hinweis weiterhin übersehe, Du weiterhin
> nachfragst.
> Wenn es aber wirklich dieser "Verschreiber" oben war, dann
> eine kleine
> Bitte: Weise mich konkret auf die Stelle hin, also auf die
> Stelle, wo bei Dir
> der Unterschied zu meiner Rechnung ist. Denn eben habe ich
> Deine
> Rechnung gesehen und nur gedacht: "Okay, der macht doch
> genau das,
> was ich auch gemacht habe, es ist doch
> [mm](1/a)^{1/2}=1/\sqrt{a}\,,[/mm] bis
> ich gesehen habe, dass bei mir irgendwo [mm]\sqrt[2n]{...}[/mm]
> anstatt [mm]\sqrt[n]{...}[/mm]
> steht. Du machst das also richtig, und bei mir wir an
> einer Stelle aus
> [mm]\sqrt[n]{...}[/mm] halt [mm]\sqrt[2n]{...}\,,[/mm] was mir vermutlich
> deswegen nicht
> aufgefallen war, weil ich Formeln teilweise kopiert habe!
>
> Gruß,
> Marcel
Ja, kein Ding, aber exakt das meinte ich die ganze Zeit. Damit hätte sich dann meine letzte Frage auch erledigt. Leider kann ich den Status nicht ändern.
Trotzdem vielen Dank für eure Hilfe und Geduld! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Sa 22.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius p der folgenden
> Potenzreihe: [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}[/mm]
>
> b) Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck für beliebiges
> k [mm]\in \IN:[/mm]
>
> [mm](1-x^2)\summe_{n=0}^{k}(n+1)x^{2n}[/mm]
>
> c) Bestimmen Sie den Wert der Potenzreihe aus Teil a) für
> jedes x [mm]\in \IC[/mm] mit |x| < p.
auch, wenn Du mit Richies Hilfe die Aufgabe ja noch auf anderen Wegen
bearbeitest, hier mal ein Trick, wie man die Aufgabe c) noch lösen kann:
Substituiere [mm] $y:=x^2\,.$ [/mm] Dann gilt innerhalb des offenen
Konvergenzkreises, also mit [mm] $y:=x^2$ [/mm] für alle $|x|, < 1$ (beachte $|x|<1 [mm] \iff [/mm] |y| < 1$):
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^{2n}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)y^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{d}{dy}y^{n+1}\red{\;=\;}\frac{d}{dy}\Big(\sum_{n=0}^\infty y^{n+1}\Big)=\frac{d}{dy}\Big(y*\sum_{n=0}^\infty y^n\Big)$$
[/mm]
[mm] $$=\frac{d}{dy}\Big(y*\frac{1}{1-y}\Big)=\frac{d}{dy}\Big(\frac{y}{1-y}\Big)=\frac{1*(1-y)-y*(-1)}{(1-y)^2}=\frac{1-y+y}{{(1-x^2)}^2}=\frac{1}{{(1-x^2)}^2}$$
[/mm]
(wie gesagt: für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x| < [mm] 1\,.$)
[/mm]
Dabei sollte das rote Gleichheitszeichen begründet werden!
Gruß,
Marcel
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Sehe ich das richtig, dass du hier mit Ableitungen arbeitest? Das hatten wir noch nicht. Ich habe deinen anderen Lösungsweg verwendet.
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Hallo Blackburn(+Telefon-, Steuer-, Immatrikulations-, Sozialversicherungs- oder sonstige Nummer - die ich allesamt nie veröffentlichen würde...),
> Sehe ich das richtig, dass du hier mit Ableitungen
> arbeitest?
Yessir/jawoll. Das ist der vorgeschlagene Weg, und ein zielführender dazu.
> Das hatten wir noch nicht.
Schade. Fast würde ich sagen: schaaaade.
> Ich habe deinen
> anderen Lösungsweg verwendet.
Gute Idee.
Grüße
reverend
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