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Forum "Zahlentheorie" - Primzahlanz.: Ungl. nach Tsch.
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Primzahlanz.: Ungl. nach Tsch.: Tscheb.: Ungl. mit Primz.-Anz.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:28 Mo 01.09.2014
Autor: Marcel

Aufgabe
Hallo,

ich habe eine Frage zu einer von Tschebyscheff gemachten Ungleichung bzgl.
der Primzahlanzahl:
[]In diesem Skript in Satz 1.13 steht im Beweisteil 2. am Anfang, dass nach
1. gilt

    $n [mm] \log [/mm] 2 [mm] \le \sum_{\IP \ni p \le 2n} [/mm] ...$

Mir geht's um die dort aufgestellte Ungleichungskette. Am Ende von 1.
war das Resultat

    $n [mm] \log [/mm] 2 [mm] \le \log{2n \choose n} \le [/mm] 2n [mm] \log [/mm] 2.$


Siehe oben:

Wie kommt man damit auf die dort stehende Ungleichungskette direkt zu
Beginn vom 2. Beweisteil? Ich stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch
und wäre froh, wenn mich jemand runterschubst...

Gruß,
  Marcel

        
Bezug
Primzahlanz.: Ungl. nach Tsch.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Di 02.09.2014
Autor: hippias

Ich schaetze der Author ging so vor:
In 1. wurde gezeigt, dass [mm] $n\log 2\leq s_{n}$. [/mm] Nach Definition ist [mm] $s_{n}= \sum_{\mathbb{P}\ni p\leq 2n}\sum_{\nu=1}^{[\frac{\log 2n}{\log p}]}\ldots\log [/mm] p$. Da die Summanden der inneren Summe [mm] $\in \{0,1\}$ [/mm] sind, kann sie insgedamt durch die Anzahl der Summanden abgeschaetzt werden: [mm] $s_{n}\leq \sum_{\mathbb{P}\ni p\leq 2n}[\frac{\log 2n}{\log p}]\log [/mm] p$. Dies ist der erste Teil der Ungleichung.
Die zweite Abschaeztung ist vermutlich klar, aber vielleicht auch nicht. Daher: die Abschaetzung [mm] $[\frac{\log 2n}{\log p}]\log p\leq \log [/mm] 2n$ folgt aus der Definition der Gauss-Klammer. Damit ist [mm] \sum_{\mathbb{P}\ni p\leq 2n}[\frac{\log 2n}{\log p}]\log p\leq \log 2n\sum_{\mathbb{P}\ni p\leq 2n}1$. [/mm] Also ist die Summe gleich der Anzahl der Primzahlen [mm] $\leq [/mm] 2n$, woraus insgesamt die zweite Ungleichung folgt.


Bezug
                
Bezug
Primzahlanz.: Ungl. nach Tsch.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:24 Di 02.09.2014
Autor: Marcel

Hi hippias,

> Ich schaetze der Author ging so vor:
>  In 1. wurde gezeigt, dass [mm]n\log 2\leq s_{n}[/mm]. Nach
> Definition ist [mm]s_{n}= \sum_{\mathbb{P}\ni p\leq 2n}\sum_{\nu=1}^{[\frac{\log 2n}{\log p}]}\ldots\log p[/mm].
> Da die Summanden der inneren Summe [mm]\in \{0,1\}[/mm] sind, kann
> sie insgedamt durch die Anzahl der Summanden abgeschaetzt
> werden:
> [mm]s_{n}\leq \sum_{\mathbb{P}\ni p\leq 2n}[\frac{\log 2n}{\log p}]\log p[/mm].

ich Blindfisch: Es ist

    [mm] $\sum_{n=1}^N a_n \le [/mm] N$

für [mm] $a_n \in \{0,1\}\,.$ [/mm] Das ist mir auch klar, ich habe nur übersehen, dass hier
speziell [mm] $N=[(\log 2n)/\log [/mm] p]$ steht. Danke für's Runterschubsen vom Schlauch!


> Dies ist der erste Teil der Ungleichung.
>  Die zweite Abschaeztung ist vermutlich klar,

Das schaue ich mir heute oder morgen an, sobald ich mir die Zeit nehmen
kann! Aber danke, ist schonmal gut, dass ich nachgucken kann, wenn ich
hängen sollte. ^^

> aber vielleicht auch nicht. Daher: die Abschaetzung [mm]$[\frac{\log 2n}{\log p}]\log p\leq \log[/mm]
> 2n$ folgt aus der Definition der Gauss-Klammer. Damit ist
> [mm]\sum_{\mathbb{P}\ni p\leq 2n}[\frac{\log 2n}{\log p}]\log p\leq \log 2n\sum_{\mathbb{P}\ni p\leq 2n}1$.[/mm]
> Also ist die Summe gleich der Anzahl der Primzahlen [mm]$\leq[/mm]
> 2n$, woraus insgesamt die zweite Ungleichung folgt.

Gruß,
  Marcel

Bezug
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