Produkte von ungeraden Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Mo 12.10.2009 | | Autor: | wauwau |
Wieen [mm] n_i [/mm] und m ungerade natürliche Zahlen und [mm] \alpha [/mm] eine natürliche Zahl
Wenn
$ [mm] \prod_{i=1}^{k}n_{i}= m^\alpha+2 [/mm] $
$ [mm] \prod_{i=1}^{k}(n_{i}-1) [/mm] = [mm] (m-1)*m^{\alpha-1}+2 [/mm] $
gilt dann soll gezeigt werden, dass dann [mm] k=1=\alpha
[/mm]
Hänge schon Tage bei diesem Problem. Ist irgendwie offensichtlich aber anscheinend schwierig beweisbar...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mo 12.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Wieen [mm]n_i[/mm] und m ungerade natürliche Zahlen und [mm]\alpha[/mm] eine
> natürliche Zahl
> Wenn
>
> [mm]\prod_{i=1}^{k}n_{i}= m^\alpha+2[/mm]
>
> [mm]\prod_{i=1}^{k}(n_{i}-1) = (m-1)*m^{\alpha-1}+2[/mm]
>
> gilt dann soll gezeigt werden, dass dann [mm]k=1=\alpha[/mm]
>
> Hänge schon Tage bei diesem Problem. Ist irgendwie
> offensichtlich aber anscheinend schwierig beweisbar...
Hallo,
vieleicht mit Induktion und indirekt?
Zeige, dass es für k=1 gilt (und dann auch nur, wenn [mm] \alpha=1).
[/mm]
Nimm an, dass es für k gilt und weise nach, dass die Übertragung auf k+1 zu einem Widerspruch führt
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:16 Di 13.10.2009 | | Autor: | wauwau |
nur leider kann man bei k+1 nicht daraus schließen dass sich das Produkt der ersten k ebenfalls in der gegebenen Form darstellen lässt, was zu einem Widerspruch führen könnte?!?!?!?
Vollst.Ind. war mein erster Ansatz - brachte mir aber nichts
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Di 13.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Ich hab da eine Idee. Nunja, beim hier reinschreiben hat sich gezeigt, dass ich mich verrechnet habe, allerdings hilft es vielleicht trotzdem weiter.
Erstmal kann man ja einige Kleinigkeiten zeigen:
1) es gilt $k = 1$ genau dann, wenn [mm] $\alpha [/mm] = 1$ ist;
2) es gilt [mm] $a_i \ge [/mm] 3$ fuer alle $i$;
3) aus $m = 1$ folgt $k = 1$;
4) die [mm] $n_i$ [/mm] sind teilerfremd zu $m$; ist $k > 1$, so sind die [mm] $n_i [/mm] - 1$ ebenfalls teilerfremd zu $m$.
Nun kann man fuer $j [mm] \in \{ 0, \dots, k \}$ [/mm] definieren [mm] $A_j [/mm] := [mm] \prod_{i=1}^j n_i \cdot \prod_{i=j+1}^k (n_i [/mm] - 1)$; nach Voraussetzung erhaelt man [mm] $A_k [/mm] = [mm] m^\alpha [/mm] + 2$ und [mm] $A_0 [/mm] = (m - 1) [mm] m^{\alpha - 1} [/mm] + 2$.
Es gilt also [mm] $m^{\alpha - 1} [/mm] = [mm] A_k [/mm] - [mm] A_0 [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^k (A_j [/mm] - [mm] A_{j-1}) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^k \prod_{i=1}^{j-1} n_i \cdot \prod_{i=j+1}^k (n_i [/mm] - 1) [mm] \cdot (n_j [/mm] - [mm] (n_j [/mm] - 1)) = [mm] \sum_{j=1}^k \prod_{i=1}^{j-1} n_i \cdot \prod_{i=j+1}^k (n_i [/mm] - 1)$.
Dies kann man jetzt nach unten abschaetzen durch [mm] $\sum_{j=1}^k \prod_{i=1 \atop i \neq j}^k (n_i [/mm] - 1) = [mm] A_0 \sum_{j=1}^k \frac{1}{n_j - 1}$. [/mm] Ebenso kann man alle Summanden bis auf einen weglassen, sagen wir den $j$-ten, und man erhaelt insgesamt [mm] $m^{\alpha - 1} \ge [/mm] ((m - 1) [mm] m^{\alpha - 1} [/mm] + 2) [mm] \frac{1}{n_j - 1}$.
[/mm]
Dies ist aequivalent zu [mm] $n_j [/mm] - 1 [mm] \ge [/mm] m - 1 + 2 [mm] m^{-\alpha}$, [/mm] also [mm] $n_j \ge [/mm] m + 2 [mm] m^{-\alpha}$. [/mm] Wenn wir $k > 1$ annehmen, muss $m [mm] \ge [/mm] 3$ sein, also [mm] $n_j [/mm] > m$. (Hier hatte ich mich verrechnet, und irgendwie auf der rechten Seite eine Potenz von $m$ weniger gehabt: dann bekommt man schoen einen Widerspruch und waer fertig. Aber passt leider nicht...)
Wenn $j$ nun so gewaehlt war, dass [mm] $n_j$ [/mm] minimal ist, dann folgt [mm] $n_i \ge [/mm] m + 1$ fuer alle $i$. Daraus folgt schonmal, dass [mm] $\alpha [/mm] > k > 1$ sein muss, also [mm] $\alpha \ge [/mm] 3$.
Keine Ahnung ob das weiterhilft...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Di 13.10.2009 | | Autor: | wauwau |
Deine Methode hat eine Ästhetik - Teleskopsummen herrlich -mein Mathematikerherz lacht...
Leider komme ich damit auch nicht weiter......
Any other ideas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Di 13.10.2009 | | Autor: | wauwau |
Vielleicht ist ein Spezialfall leichter: [mm] n_j [/mm] und m Primzahlen???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Di 13.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Vielleicht ist ein Spezialfall leichter: [mm]n_j[/mm] und m
> Primzahlen???
Mal ne andere Frage: woher kommt das Problem ueberhaupt?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Di 13.10.2009 | | Autor: | wauwau |
Ich untersuche gerade ein wenig die Variation von Produkten, d.h. um wieviel können sich Produkte verändern wenn man die einzelnen Faktoren gleichmäßig verkleinert. Und da dies allgemein schwierig ist, versuche ich mich an Spezialfällen. (Produkt ungerader Zahlen, Produkt von Primzahlen,....)
Und das deshalb, da ich man dann vielleich gewisse Abschätzungen von multiplikativen Zahlenthereotischen Funktionen herleiten könnte...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Di 13.10.2009 | | Autor: | wauwau |
das ganze in Zusammenhang u.a. auch mit der Ableitung von Zahlen
Vgl: http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL6/Ufnarovski/ufnarovski.html
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:01 Mi 14.10.2009 | | Autor: | cycore |
hi, interessante sachen machst du da^^
erstmal danke für den link zu dem schönen artikel :)
also ich hoffe das was ich hier beizutragen glaube ist nicht völliger mist und hilft dir irgendwie weiter...
wie gesagt wurde ist die induktion über k nicht durchzuführen...
aber felix hat gesagt $ k=1 [mm] \gdw \alpha=1 [/mm] $
ich hab da mal so was ausprobiert...im folgenden ist $ [mm] n:=\prod_{i=1}^{k}n_{i}= m^\alpha+2 [/mm] $ und $ [mm] n':=\prod_{i=1}^{k}(n_{i}-1) [/mm] = [mm] (m-1)\cdot{}m^{\alpha-1}+2 [/mm] = n - [mm] m^{\alpha-1} [/mm] $
Damit erhält man
[mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] m^{\alpha-1} [/mm] = n-n' $
[mm] \Rightarrow [/mm] $ n = [mm] m^{\alpha-1}m+2 [/mm] = m(n-n') +2 $
[mm] \Rightarrow [/mm] $ n-2 = m(n-n') $
[mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] (n-2)^{\alpha-1} [/mm] = [mm] (n-n')^{\alpha} [/mm] $
und das das nur für [mm] \alpha=1 [/mm] gilt sollte zu zeigen sein, oder??
lg cycore
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:55 Mi 14.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> aber felix hat gesagt [mm]k=1 \gdw \alpha=1[/mm]
Genau: ist [mm] $\alpha [/mm] = 1$, so steht da $n = m + 2$, $n' = m + 1$, also $n - n' = 1$. Waere nun $k > 1$, so waer $n - n' > [mm] n_1 \prod_{i=2}^k n_i [/mm] - [mm] n_1 \prod_{i=2}^k (n_i [/mm] - 1)$, also (da alles ganze Zahlen $1 = n - n' [mm] \ge n_1 \prod_{i=2}^k n_i [/mm] - [mm] n_1 \prod_{i=2}^k (n_i [/mm] - 1) + 1$, und [mm] $n_1 \prod_{i=2}^k n_i [/mm] - [mm] n_1 \prod_{i=2}^k (n_i [/mm] - 1) + 1 > [mm] n_1 n_2 \prod_{i=3}^k n_i [/mm] - [mm] n_1 n_2 \prod_{i=3}^k (n_i [/mm] - 1)$, also $1 [mm] \ge n_1 n_2 \prod_{i=3}^k n_i [/mm] - [mm] n_1 n_2 \prod_{i=3}^k (n_i [/mm] - 1) + 2$. Nun ist jedoch [mm] $n_1 n_2 [\prod_{i=3}^k n_i [/mm] - [mm] n_1 n_2 \prod_{i=3}^k (n_i [/mm] - 1)] [mm] \ge [/mm] 0$, womit man einen Widerspruch hat. Also muss $k = 1$ sein.
> ich hab da mal so was ausprobiert...im folgenden ist
> [mm]n:=\prod_{i=1}^{k}n_{i}= m^\alpha+2[/mm] und
> [mm]n':=\prod_{i=1}^{k}(n_{i}-1) = (m-1)\cdot{}m^{\alpha-1}+2 = n - m^{\alpha-1}[/mm]
>
> Damit erhält man
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]m^{\alpha-1} = n-n'[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]n = m^{\alpha-1}m+2 = m(n-n') +2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]n-2 = m(n-n')[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm](n-2)^{\alpha-1} = (n-n')^{\alpha}[/mm]
Sieht gut aus. Allerdings kann man die letzte Zeile auch einfacher bekommen; dies folgt direkt aus $n - 2 = [mm] m^\alpha$ [/mm] und $n - n' = [mm] m^{\alpha - 1}$.
[/mm]
> und das das nur für [mm]\alpha=1[/mm] gilt sollte zu zeigen sein,
> oder??
Ich weiss nicht... es scheint nicht einfacher zu sein als vorher.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Mi 14.10.2009 | | Autor: | cycore |
ahhh...mist..
ich dachte wenn man keine induktion über k machen kann dann über [mm] \alpha [/mm] aber das das genausowenig rechtens ist hab ich direkt übersehen - dann wäre es auch zu einfach gewesen...schade^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 17:48 Mi 14.10.2009 | | Autor: | wauwau |
Habe nun den Spezialfall k=2 mal untersucht:
[mm] n_1+n_2=m^{\alpha-1}+1
[/mm]
[mm] n_1n_2=m^\alpha+2
[/mm]
d.h.
[mm] $n_1+n_2 \equiv [/mm] 1(mod m)$
[mm] $n_1n_2\equiv [/mm] 2(mod m)$
[mm] $n_1=km+r
[/mm]
[mm] n_2=lm-r+1 [/mm] für geeignete ganze l,k
daher
[mm] n_1n_2 \equiv [/mm] r(1-r) [mm] \mod [/mm] m
$r(1-r) = 2 $ gibt keine Lösung
$m+r(1-r) = 2 $ hat nur dann eine Lösung, wenn
$4m-7 $(Radikand) ein vollständiges Quadrat ist
da m ungerade also = 2s+1
$4m-7 = 8s-3 [mm] \equiv [/mm] 5 [mm] (\mod [/mm] 8)$
da Quadrate aber stets nur 0,1,4 mod 8 sein können folgt ein Widerspruch.
daher kann k nicht 2 sein.......
naja, wie man das nun für weitere k verwenden kann, ist mir momentan noch schleierhaft
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Do 15.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> daher
> [mm]n_1n_2 \equiv[/mm] r(1-r) [mm]\mod[/mm] m
>
> [mm]r(1-r) = 2[/mm] gibt keine Lösung
>
> [mm]m+r(1-r) = 2[/mm] hat nur dann eine Lösung, wenn
> [...]
> folgt ein Widerspruch.
Ok, und was ist mit $2 m + r (1 - r)$, $3 m + r (1 - r)$, ..., $m m + r (1 - r)$?
> daher kann k nicht 2 sein.......
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:35 Do 15.10.2009 | | Autor: | wauwau |
Hallo Felix,
jetzt stehe ich auf dem Schlauch. Dass ich was übersehen habe sehe ich mit deiner ersten Zeile.
Was hilft jetzt deine weitere Argumentation???
Danke
Irgendwelche ideen für den allgemeinen Fall
Den ursprünglichen Fall könnte man ja so verallgemeinern bzw. habe ich da folgende Vermutung:
[mm] n_i,m [/mm] verschiedene Primzahlen,
[mm] \produkt_{i=1}^{k}n_i \equiv [/mm] a [mm] \mod [/mm] m
und [mm] \produkt_{i=1}^{k}(n_i -1)\equiv [/mm] a [mm] \mod [/mm] m-1
können nur gleichzeitig erfüllt sein wenn k=1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 Do 15.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo wauwau,
> jetzt stehe ich auf dem Schlauch. Dass ich was übersehen
> habe sehe ich mit deiner ersten Zeile.
> Was hilft jetzt deine weitere Argumentation???
Wenn du die beiden Formeln meinst die da einfach so mitten drinnen standen: das waren Nebenrechnungen die ich eigentlich geloescht ahben wollte (und die jetzt auch weg sind ;) ).
> Irgendwelche ideen für den allgemeinen Fall
Bisher hab ich keine weiteren....
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Fr 16.10.2009 | | Autor: | wauwau |
Leider ist Vermutung nicht richtig:
[mm] n_1 [/mm] = 5, [mm] n_2 [/mm] = 7, p=11
[mm] n_1+n_2 \equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 11
[mm] n_1n_2 \equiv 2\mod [/mm] 11
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 14.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Do 15.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
