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Forum "Zahlentheorie" - Quadratfreie Zahlen
Quadratfreie Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Quadratfreie Zahlen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Mi 27.08.2014
Autor: wauwau

Aufgabe
Bestimme die kleinste, ungerade, zusammengesetzte, quadratfreie Zahl $n$, sodass $n+2$ nicht quadratfrei ist.
Gibt es unendlich viele dieser Eigenschaft?



quadratfrei heißt ja, dass jeder Primfaktor nur einfach vorkommt.
d.h.
[mm] $n=\prod_{i=1}^{k}q_i$ [/mm] mit [mm] $q_i$ [/mm] unterschiedl. und  prim.
In unserem Fall ist also [mm] $k\ge [/mm] 2$

Außer Probieren fällt mir hier nichts ein (z.b: 3*41, 7*17, 5*23..) -


        
Bezug
Quadratfreie Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 Mi 27.08.2014
Autor: abakus


> Bestimme die kleinste, ungerade, zusammengesetzte,
> quadratfreie Zahl [mm]n[/mm], sodass [mm]n+2[/mm] nicht quadratfrei ist.
> Gibt es unendlich viele dieser Eigenschaft?

>

> quadratfrei heißt ja, dass jeder Primfaktor nur einfach
> vorkommt.
> d.h.
> [mm]n=\prod_{i=1}^{k}q_i[/mm] mit [mm]q_i[/mm] unterschiedl. und prim.
> In unserem Fall ist also [mm]k\ge 2[/mm]

>

> Außer Probieren fällt mir hier nichts ein - obwohl das
> irgendwie nach quadratischen Resten "riecht!

>
Hallo,
du suchst also nach Quadratzahlen [mm] $q^2$, [/mm] deren Vor-Vorgänger ungerade und quadratfrei ist.
Was ist schlimm am Probieren?
Untersuche, ob 9-2, 25-2, 49-2, 81-2, 121-2...
quadratfrei ist. Vielleicht findest du eine Lösung.
Wenn ja: was unterscheidet diese von den Nicht-Lösungen?
Wenn das noch nicht beantwortbar ist, suche durch Probieren nach einer zweiten Lösung und analysiere erneut (möglicherweise auch in Hinblick auf quadratische Reste).
Gruß Abakus

Bezug
                
Bezug
Quadratfreie Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:28 Mi 27.08.2014
Autor: abakus


> Hallo,
> du suchst also nach Quadratzahlen [mm]q^2[/mm], deren
> Vor-Vorgänger ungerade und quadratfrei ist.
> Was ist schlimm am Probieren?
> Untersuche, ob 9-2, 25-2, 49-2, 81-2, 121-2...
> quadratfrei ist. Vielleicht findest du eine Lösung.
> Wenn ja: was unterscheidet diese von den Nicht-Lösungen?
> Wenn das noch nicht beantwortbar ist, suche durch
> Probieren nach einer zweiten Lösung und analysiere erneut
> (möglicherweise auch in Hinblick auf quadratische Reste).
> Gruß Abakus

PS:
ich habe mit Kopfrechnen schon 3 Lösungen gefunden und eine daraus resultierende Vermutung.
Gruß Abakus

Bezug
                
Bezug
Quadratfreie Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:39 Mi 27.08.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> > Bestimme die kleinste, ungerade, zusammengesetzte,
> > quadratfreie Zahl [mm]n[/mm], sodass [mm]n+2[/mm] nicht quadratfrei ist.

> Hallo,
> du suchst also nach Quadratzahlen [mm]q^2[/mm] , deren
> Vor-Vorgänger ungerade und quadratfrei ist.      [haee]


Hallo Abakus,

diese Interpretation der Fragestellung ist in zweierlei
Hinsicht unvollständig:
1.) n+2  soll nicht quadratfrei sein. Daraus folgt aber
nicht sogleich, dass diese Zahl eine Quadratzahl sein
muss. Es könnte eine Zahl der Form $\ n+2\ =\ [mm] u\,*\,q^2$ [/mm]
mit ungeraden u und q (mit u>1 und q>1) sein.
Effektiv ist es allerdings so, dass deine (etwas voreilige)
Annahme im Fall des kleinsten derartigen Zahlenpaares
trotzdem zutrifft.
2.) Ferner soll der "Vorvorgänger" (also n) nicht bloß
ungerade und quadratfrei sein, sondern auch zusam-
mengesetzt. Eine (ungerade) Primzahl, die ebenfalls
quadratfrei wäre, kommt also für n nicht in Frage.

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                        
Bezug
Quadratfreie Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:31 Do 28.08.2014
Autor: reverend

Hallo Al,

Du denkst offenbar an [mm] n=119=7*17\Rightarrow n+2=121=11^2. [/mm]

Meine schon vorher angegebene Lösung ist kleiner.
[mm] n=115=5*23\Rightarrow n+2=117=3^2*13. [/mm]

Kein kleineres $n$ erfüllt die genannten Bedingungen.

Grüße
reverend

Bezug
                                
Bezug
Quadratfreie Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:25 Do 28.08.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Al,
>  
> Du denkst offenbar an [mm]n=119=7*17\Rightarrow n+2=121=11^2.[/mm]
>  
> Meine schon vorher angegebene Lösung ist kleiner.
>  [mm]n=115=5*23\Rightarrow n+2=117=3^2*13.[/mm]
>  
> Kein kleineres [mm]n[/mm] erfüllt die genannten Bedingungen.

effektiv war die Überlegung dennoch: Sie lieferte eine obere Schranke für
das minimale [mm] $n\,$ [/mm] mit den gewünschten weiteren Eigenschaften. ;-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Quadratfreie Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:40 Do 28.08.2014
Autor: rmix22


> > > Bestimme die kleinste, ungerade, zusammengesetzte,
>  > > quadratfreie Zahl [mm]n[/mm], sodass [mm]n+2[/mm] nicht quadratfrei

> ist.
>  
> > Hallo,
>  > du suchst also nach Quadratzahlen [mm]q^2[/mm] , deren

>  > Vor-Vorgänger ungerade und quadratfrei ist.      

> [haee]
>  
>
> Hallo Abakus,
>  
> diese Interpretation der Fragestellung ist in zweierlei
>  Hinsicht unvollständig:
> 1.) n+2  soll nicht quadratfrei sein. Daraus folgt aber
> nicht sogleich, dass diese Zahl eine Quadratzahl sein
>  muss. Es könnte eine Zahl der Form [mm]\ n+2\ =\ u\,*\,q^2[/mm]
>  
> mit ungeraden u und q (mit u>1 und q>1) sein.
>  Effektiv ist es allerdings so, dass deine (etwas
> voreilige)
>  Annahme im Fall des kleinsten derartigen Zahlenpaares
>  trotzdem zutrifft.

? Bist du da sicher? n soll ungerade, nicht prim und quadratfrei sein und n+2 darf nicht quadratfrei sein. Meine Minimallösung unter diesen Voraussetzungen ist 115=5*23 und [mm] 117=3^2*13. [/mm]
Die kleinste Lösung, bei der n+2 eine Quadratzahl ist, ist 119/121. Bei allen kleineren derartigen "Lösungen" ist n prim und daher nicht wie verlangt zusammengesetzt.

Mir fehlt allerdings der allgemeine Nachweis, dass es unendlich viele derartige Zahlenpaare gibt.

RMix

[mm] n=2*10^k [/mm] +5 mit k>1 ist zB ein guter Kandidat, aber für k=12 und k=18 dann doch nicht quadratfrei; für k>50 hab ichs dann nicht weiter überprüft.


EDIT: Hatte übersehen, dass reverend schon entsprechend vor mir "mitgeteilt" hat.
Auch dass er bereits in seiner ersten Antwort die Lösung genannt hat hatte ich damals überlesen.

>  2.) Ferner soll der "Vorvorgänger" (also n) nicht bloß
>  ungerade und quadratfrei sein, sondern auch zusam-
>  mengesetzt. Eine (ungerade) Primzahl, die ebenfalls
>  quadratfrei wäre, kommt also für n nicht in Frage.
>  
> LG ,   Al-Chw.  


Bezug
        
Bezug
Quadratfreie Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Mi 27.08.2014
Autor: reverend

Hallo wauwau,

> Bestimme die kleinste, ungerade, zusammengesetzte,
> quadratfreie Zahl [mm]n[/mm], sodass [mm]n+2[/mm] nicht quadratfrei ist.

115.

>  Gibt es unendlich viele dieser Eigenschaft?

Na, es kann nur eine kleinste geben, s.o.
Die übrigen Bedingungen werden aber von unendlich vielen Zahlen erfüllt.

> quadratfrei heißt ja, dass jeder Primfaktor nur einfach
> vorkommt.
>  d.h.
> [mm]n=\prod_{i=1}^{k}q_i[/mm] mit [mm]q_i[/mm] unterschiedl. und  prim.
>  In unserem Fall ist also [mm]k\ge 2[/mm]
>  
> Außer Probieren fällt mir hier nichts ein (z.b: 3*41,
> 7*17, 5*23..) -

Ich würde lieber die n+2 durchprobieren, das geht leichter systematisch.

Grüße
reverend  


Bezug
                
Bezug
Quadratfreie Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:20 Do 28.08.2014
Autor: wauwau


> Hallo wauwau,
>  
> > Bestimme die kleinste, ungerade, zusammengesetzte,
> > quadratfreie Zahl [mm]n[/mm], sodass [mm]n+2[/mm] nicht quadratfrei ist.
>  
> 115.
>  
> >  Gibt es unendlich viele dieser Eigenschaft?

>  
> Na, es kann nur eine kleinste geben, s.o.
>  Die übrigen Bedingungen werden aber von unendlich vielen
> Zahlen erfüllt.

wie beweist man das?
Gibt es zusammengesetzte Zahlen dieser Eigenschaft mit beliebig vielen Primfaktoren?


> > quadratfrei heißt ja, dass jeder Primfaktor nur einfach
> > vorkommt.
>  >  d.h.
> > [mm]n=\prod_{i=1}^{k}q_i[/mm] mit [mm]q_i[/mm] unterschiedl. und  prim.
>  >  In unserem Fall ist also [mm]k\ge 2[/mm]
>  >  
> > Außer Probieren fällt mir hier nichts ein (z.b: 3*41,
> > 7*17, 5*23..) -
>
> Ich würde lieber die n+2 durchprobieren, das geht leichter
> systematisch.
>  
> Grüße
>  reverend  
>  


Bezug
                        
Bezug
Quadratfreie Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Do 28.08.2014
Autor: abakus


> > Hallo wauwau,
> >
> > > Bestimme die kleinste, ungerade, zusammengesetzte,
> > > quadratfreie Zahl [mm]n[/mm], sodass [mm]n+2[/mm] nicht quadratfrei ist.
> >
> > 115.
> >
> > > Gibt es unendlich viele dieser Eigenschaft?
> >
> > Na, es kann nur eine kleinste geben, s.o.
> > Die übrigen Bedingungen werden aber von unendlich
> vielen
> > Zahlen erfüllt.

>

> wie beweist man das?

Gegenfrage: Auf welche Regelmäßigkeiten bist du beim Finden der ersten Möglichkeiten durch Probieren gestoßen?
Gruß Abakus

> Gibt es zusammengesetzte Zahlen dieser Eigenschaft mit
> beliebig vielen Primfaktoren?

>
>

> > > quadratfrei heißt ja, dass jeder Primfaktor nur einfach
> > > vorkommt.
> > > d.h.
> > > [mm]n=\prod_{i=1}^{k}q_i[/mm] mit [mm]q_i[/mm] unterschiedl. und prim.
> > > In unserem Fall ist also [mm]k\ge 2[/mm]
> > >
> > > Außer Probieren fällt mir hier nichts ein (z.b: 3*41,
> > > 7*17, 5*23..) -
> >
> > Ich würde lieber die n+2 durchprobieren, das geht leichter
> > systematisch.
> >
> > Grüße
> > reverend
> >

>

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Bezug
Quadratfreie Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:04 Fr 29.08.2014
Autor: reverend

Hallo wauwau,

da Du zu Deinen durchaus interessanten Anfragen nie selbst etwas beiträgst und sogar schon Fragen gestellt hast, die in mindestens einem anderen Forum nachvollziehbar beantwortet wurden, werde ich Dir zu Deiner folgenden Frage nur diesen Tipp geben, danach nichts mehr:

>  >  Die übrigen Bedingungen werden aber von unendlich
> vielen
> > Zahlen erfüllt.
>  
> wie beweist man das?

Du brauchst den []Dirichletschen Primzahlsatz und eine Betrachtung z.B. [mm] \bmod{7}, [/mm] dazu noch ein, zwei Ideen.

Viel Erfolg.
reverend

Bezug
                        
Bezug
Quadratfreie Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 Mo 01.09.2014
Autor: Nrjunkie

Sei [mm] $p\ge [/mm] 3$ eine Primzahl, so ist [mm] $ggt(p^2,2)=1$ [/mm]
Daher gibt es lt. Dirichlet unendliche viele Primzahlen der Form
[mm] $kp^2-2$ [/mm] und [mm] $lp^2+1$ [/mm]
Sei  nun [mm] $p_1$ [/mm] eine Primzahl der ersten Art [mm] ($\equiv -2(p^2)$) [/mm] und [mm] $p_2,...p_k [/mm] $ verschiedene Primzahlen der zweiten Art

So ist [mm] $n=\prod_{1}^{k}p_i \equiv -2(p^2)$ [/mm] und daher [mm] $n+2\equiv 0(p^2)$ [/mm]

daher gibt es für alle ungeraden Primzahlen $p$ quadratfreie Zahlen mit beliebig vielen Primfaktoren, deren nachnachfolger durch [mm] $p^2$ [/mm] teilbar ist.

Bezug
                                
Bezug
Quadratfreie Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:06 Mo 01.09.2014
Autor: reverend

Hallo Nrjunkie, [willkommenmr]

Sehr schöner Beweis, und noch allgemeiner und kürzer als der, den ich gefunden hatte. Glückwunsch!

Grüße
reverend

Bezug
                                        
Bezug
Quadratfreie Zahlen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:19 Mo 01.09.2014
Autor: Nrjunkie

Aufgabe
Verallgemeinerung/Spezialfall

Diese Methode kann man einfach verallgemeinern, sodass man zeigen kann, dass es für jede Primzahl $ p$  unendl. viele quadratfreie Zahlen mit beliebig vielen Primfaktoren gibt, deren Nachnachfolger den Primfaktor $ p$  beliebig hoher  Potenz hat.


Nun meine Frage: Gibt es ungerade, zusammengesetzte,quadratfreie Zahlen deren Nachnachfolger genau eine Primzahlpotenz [mm] ($\ge2$) [/mm] ist?
Unendlich viele?
Beiliebiger Länge?

(Empirisch auf die schnelle hab ich nichts gefunden, um Regelmäßigkeiten ableiten zu können,..)

Also für welche $a>1,n>1,p > 2$ prim hat
[mm] $p^a=\prod_{1}^{n}p_i [/mm] +2$
eine Lösung?

Eine Betrachtung mod 6 bringt wenn [mm] $p\not= [/mm] 3$
dass alle [mm] $p_i \equiv [/mm] -1(6)$ und $n$ ungerade sein müssen....

Bezug
                                                
Bezug
Quadratfreie Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:04 Di 02.09.2014
Autor: reverend

Hallo nochmal,

was trägt diese Frage denn aus?

> Verallgemeinerung/Spezialfall
>  Diese Methode kann man einfach verallgemeinern, sodass man
> zeigen kann, dass es für jede Primzahl [mm]p[/mm]  unendl. viele
> quadratfreie Zahlen mit beliebig vielen Primfaktoren gibt,
> deren Nachnachfolger den Primfaktor [mm]p[/mm]  beliebig hoher  
> Potenz hat.

Ja, aber wozu?
  

> Nun meine Frage: Gibt es ungerade,
> zusammengesetzte,quadratfreie Zahlen deren Nachnachfolger
> genau eine Primzahlpotenz ([mm]\ge2[/mm]) ist?

[mm] 3*41=5^3 [/mm]
[mm] 7*89=5^4 [/mm]
[mm] 17*919=5^6 [/mm]
Auch für z.B. [mm] 5^k-2 [/mm] mit [mm] 7\le k\le [/mm] 10 ist die Zerlegung quadratfrei. Oder z.B. für $k=159$:
[mm] 5^{159}-2=3*43*49.999*53.239*5.344.601*13.082.299.604*16.925.787.358.982.812.131.597.115.987* [/mm]
$*{3.367.452.755.585.457.388.046.367.024.561.410.855.624.795.515.155.024.547}$

>  Unendlich viele?

Ich denke schon.

>  Beiliebiger Länge?

Na, das dann logischerweise auch.

> (Empirisch auf die schnelle hab ich nichts gefunden, um
> Regelmäßigkeiten ableiten zu können,..)
>  
> Also für welche [mm]a>1,n>1,p > 2[/mm] prim hat
>  [mm]p^a=\prod_{1}^{n}p_i +2[/mm]
>  eine Lösung?

Oh, das ist bedeutend schwieriger zu beantworten, wenn überhaupt. Erstmal reichen doch die Fragen oben, oder?

> Eine Betrachtung mod 6 bringt wenn [mm]p\not= 3[/mm]
> dass alle [mm]p_i \equiv -1(6)[/mm] und [mm]n[/mm] ungerade sein müssen....

Das kann ich gerade noch nicht nachvollziehen.

Grüße
reverend

Bezug
                                                        
Bezug
Quadratfreie Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:24 Mi 03.09.2014
Autor: Nrjunkie

.....  
> > Also für welche [mm]a>1,n>1,p > 2[/mm] prim hat
>  >  [mm]p^a=\prod_{1}^{n}p_i +2[/mm]
>  >  eine Lösung?
>  
> Oh, das ist bedeutend schwieriger zu beantworten, wenn
> überhaupt. Erstmal reichen doch die Fragen oben, oder?
>  
> > Eine Betrachtung mod 6 bringt wenn [mm]p\not= 3[/mm]
> > dass alle [mm]p_i \equiv -1(6)[/mm] und [mm]n[/mm] ungerade sein müssen....
>
> Das kann ich gerade noch nicht nachvollziehen.

ok, danke  stimmt: eine ungerade Anzahl der [mm] $p_i$ [/mm] müssen [mm] $\equiv [/mm] -1(6)$




Bezug
                                                
Bezug
Quadratfreie Zahlen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Fr 05.09.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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