Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Di 15.05.2007 | | Autor: | Fritze15 |
Geben Sie alle [mm] x\in\IR [/mm] an, für die die folgende Reihe konvergiert:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{x^{n}n!}{(n+1)^{n}}
[/mm]
Ich will die Aufgabe mit dem Quotientenkriterium lösen.
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{\bruch{x^{n+1}(n+1)!}{(n+2)^{n+1}}}{\bruch{x^{n}(n)!}{(n+1)^{n}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{x^{n+1}(x^{n}n!)(n+1)^{n}}{(n+2)^{n+1}(x^{n}n!)}
[/mm]
Ich hoffe die Umformung ist bis da richtig.
Jetzt weiss ich nicht wie ich weiter vereinfachen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Di 15.05.2007 | | Autor: | pk4 |
Hi! Du hast einen kleinen Umformungsfehler:
[mm] \bruch{x^{n+1}(n+1)!(n+1)^n}{(n+2)^{n+1}x^n n!}[/mm]
= [mm] \bruch{X^{n+1}}{x^n} * \bruch{(n+1)^n (n+1)!}{n! (n+2)^{n+1}} [/mm]
= [mm] \bruch{x^n x }{x^n} * \bruch{(n+1)^n n! (n+1)}{n! (n+2)^{n+1}}[/mm]
Nun kann man kürzen........> Geben Sie alle x [mm]\in \IR[/mm] an, für die die folgende Reihe
> konvergiert:
> [mm]\summe_{i=1}^{infty}\bruch{x^{n}n!}{(n+1)^{n}}[/mm]
>
> Ich will die Aufgabe mit dem Quotientenkriterium lösen.
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{\bruch{x^{n+1}(n+1)!}{(n+2)^{n+1}}}{\bruch{x^{n}(n)!}{(n+1)^{n}}}[/mm]
> [mm]=\bruch{x^{n+1}(x^{n}n!)(n+1)^{n}}{(n+2)^{n+1}(x^{n}n!)}[/mm]
>
> Ich hoffe die Umformung ist bis da richtig.
> Jetzt weiss ich nicht wie ich weiter vereinfachen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Di 15.05.2007 | | Autor: | max3000 |
Die Umformung hast du nicht ganz richtig gemacht, denn der Nenner vom Nenner kommt in den Zähler und der Zähler vom Nenner bleibt dort.
Also ich habe raus:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{x^{n+1}(n+1)!(n+1)^{n}}{(n+2)^{n+1}x^{n}n!}
[/mm]
Jetzt kürzt du heraus: [mm] x^{n} [/mm] und n!
[mm] =\bruch{x(n+1)(n+1)^{n}}{(n+2)^{n+1}}
[/mm]
Zusammenfassen und in eine Potenz schreiben:
[mm] =x(\bruch{n+1}{n+2})^{n+1}
[/mm]
, wobei [mm] (\bruch{n+1}{n+2})^{n+1} \to [/mm] 1
und damit gilt dies für alle x mit |x|<1
Ich hoffe das war richtig.
Grüße
Max
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Hallo Max,
die Umformungen stimmen, nur strebt [mm] \left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+1} [/mm] gegen [mm] $\frac{1}{e}$ [/mm] für [mm] $n\rightarrow\infty$, [/mm] denn:
[mm] \left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+1}=\left(\frac{n+2-1}{n+2}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{-1}{n+2}\right)^{n+1}=\frac{\left(1+\frac{-1}{n+2}\right)^{n+2}}{1+\frac{-1}{n+2}}\rightarrow \frac{e^{-1}}{1}=\frac{1}{e}
[/mm]
Also Konvergenz für [mm] $\left|\frac{1}{e}\cdot{}x\right|<1\gdw [/mm] |x|<e$
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Di 15.05.2007 | | Autor: | max3000 |
Oh ja.
Da hast du natürlich recht,
Fehler meinerseits.
Grüße
Max
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