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Forum "Folgen und Reihen" - Quotientenkriterium
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Quotientenkriterium: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Mi 09.02.2005
Autor: Professor

Hi Leute,

ich brühte gerade über dem Quotientenkriterium und habe da einen kleinen Hänger.

Nun für

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{| x_{n+1}|}{ |x_{n}|} [/mm] < 1

ist eine Reihe absolut konvergent. Wenn man nun die Bruchstriche weg läßt, wäre es dann ein Konvergenzkriterium für konvergente Reihen.

Gibt es eine Möglichkeit das Quotientenkriterium für konvergente und nicht absolut konvergente Reihen an zu wenden?

Danke für deine Hilfe!!!!!!!!!!

Gruß

Professor

PS: Schreibe am Fr. 13:30 Uhr Klausur :-(



        
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Quotientenkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Mi 09.02.2005
Autor: andreas

hi

also ich kann mir nicht vorstellen, dass man ein quotientenkriterium für konvergente, aber nicht absolut konvergente reihen formulieren kann. der beweis läuft nämlich im prinzip darauf hinaus, dass du die gegebene reihe durch eine geometrische reihe mjorisierst und diese ist nun eben absolut konvergent  und kann somit auch nur absolut konvergente reihen majorisieren.

hoffe ich hatte da jetzt keinen denkfehler drin.


grüße
andreas

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Quotientenkriterium: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:37 Mi 09.02.2005
Autor: Professor

Danke zuerst mal für deine schnelle Antwort :-)

Jedoch würde das ja heißen, dass das Quotientenkriterium für konvergente Reihen gar nicht hilfreich ist.

Ich dachte mir, wenn man vom Quotientenkriterium die Betragsstriche weglässt könnte es vielleicht für konvergente Reihen gelten.

Gruß

Prof.


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Quotientenkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Do 10.02.2005
Autor: Julius

Hallo Professor!

Das Quotientenkriterium ist ein Kriterium für die absolute Konvergenz einer Reihe. Zumeist ist man aber auch an der absoluten Konvergenz von Reihen (insbesondere von Potenzreihen) interessiert. Damit konvergiert die Reihe natürlich auch im normalen Sinne, aber man bekommt mit dem Quotientenkriterium nicht ein hinreichendes Kriterium für Reihen, die konvergieren, aber nicht absolut konvergieren.

Für nicht absolut konvergente Reihen gibt es für spezielle Reihen Konvergenzkriterien (z.B. das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen mit nichtnegativen Gliedern), allerdings ist es dort im Allgemeinen und zumeist eine spezielle Einzelfalluntersuchung über das Cauchy-Kriterium etc.

Viele Grüße
Julius

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Quotientenkriterium: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 Do 10.02.2005
Autor: Professor

Hallo,

vielen Dank für die rasche Antwort.

Gibt es eine Art Quotientenkriterium auch für Folgen???

Gruß

Prof.



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Quotientenkriterium: Nicht direkt ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Do 10.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Prof ;-) !!


> Gibt es eine Art Quotientenkriterium auch für Folgen???

Bei einer Folge [mm] $a_n$ [/mm] weist Du mit [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ < \ 1$ die (streng) fallende Monotonie nach.

Wenn Du nun noch zeigst, daß die Folge [mm] $a_n$ [/mm] nach unten beschränkt ist, hast Du auch den Nachweis für die Konvergenz der Folge [mm] $a_n$. [/mm]


Aber direkt als Quotientenkriterium für Folgen kenne ich das nicht ...


Loddar


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Quotientenkriterium: kleiner Fehler in Definition
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:37 Do 10.02.2005
Autor: baddi

Hallo es kann schwehrwiegend sein, dieser kleine Fehler -
ist mir nämlich auch schon passiert.

Das Quotientenkriterium lautet nicht
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{| x_{n+1}|}{ |x_{n}|}[/mm] <  1
sondern
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{| x_{n+1}|}{ |x_{n}|}[/mm] <  q [mm] \in [/mm] [0,1)

Damals dachte ich das wär das gleiche, ist es aber nicht !
Z.B. die Harmonische Reihe, dort wirst du kein kongretes q finden



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Quotientenkriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:54 Do 10.02.2005
Autor: SEcki

Hallo,

> Das Quotientenkriterium lautet nicht
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{| x_{n+1}|}{ |x_{n}|}[/mm] <
>  1
>  sondern
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{| x_{n+1}|}{ |x_{n}|}[/mm] <
>  q [mm]\in[/mm] [0,1)
>  
> Damals dachte ich das wär das gleiche, ist es aber nicht
> !

Oh doch, diese beide Formulöierungen sind äquivalent. Es geht in obiger Definition ja drum, daß der Grenzwert q kleiner 1 ist - tja und dann kann man immer ein weiteres [mm]q'[/mm] finden mit [mm]q

>  Z.B. die Harmonische Reihe, dort wirst du kein kongretes q
> finden

Da konvergiert das auch geg. 1!

SEcki

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Quotientenkriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 Do 10.02.2005
Autor: andreas

hi

ich nehhme an baddi meinte die aussage, dass aus [m] \left| \frac{x_{n+1}}{x_n} \right| \leq c [/m] für ein [m] c < 1 [/m] und alle $n$ größer als ein geeignetes [mm] $n_0\in \mathbb{N}$ [/mm] konvergenz der reihe folgt. hier ist die forderung $c<1$ nämlich wichtig (hier steht aber auch kein [mm] $\lim$ [/mm] vor dem bruch).

grüße
andreas

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Quotientenkriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:19 Fr 11.02.2005
Autor: SEcki

Hallo,

> ich nehhme an baddi meinte die aussage, dass aus [m]\left| \frac{x_{n+1}}{x_n} \right| \leq c[/m]
> für ein [m]c < 1[/m] und alle [mm]n[/mm] größer als ein geeignetes [mm]n_0\in \mathbb{N}[/mm]
> konvergenz der reihe folgt. hier ist die forderung [mm]c<1[/mm]
> nämlich wichtig (hier steht aber auch kein [mm]\lim[/mm] vor dem
> bruch).

Diese Formulierung kenne ich auch (dabei scheint mir diese etwas allgemeiner - ich sehe jedenfalls nicht, wie man aus obiger Def. sofort auf die Konvergenz schließen kann.), und sicher ist dann diese Forderung wichtig - genauso wichtig, wie die, daß beim Limes ein Wert kleiner 1, und nicht 1 heraus kommt - bei 1 ist die Frage offen. Aber die Forderung an den Limes reciht eben aus - nicht das der OP denkt, er hätte das falsche Kriterium; das ist ja nicht fall.

SEcki

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