Rang < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien a,b,c [mm] \in R_{n,1} [/mm] (n [mm] \in \IN).
[/mm]
1.) Bestimmen Sie [mm] Rang(ba^{T} [/mm] ).
2.) Sei nun M (a, b) := [mm] ba^{T} [/mm] − [mm] ab^{T} [/mm] . Zeigen Sie, dass Folgendes gilt:
a) M (a,b) = −M (b,a) und M (a,b)c + M(b,c)a + M(c,a) b = 0,
b) M [mm] (\lambda [/mm] a + [mm] \mu [/mm] b, c) = [mm] \lambda [/mm] M (a,c) + [mm] \mu [/mm] M (b,c) für [mm] \lambda [/mm] , [mm] \mu \in \IR,
[/mm]
c) Rang (M (a,b) ) = 0 genau dann, wenn es [mm] \lambda [/mm] , [mm] \mu \in \IR [/mm] mit [mm] \lambda \not= [/mm] 0 oder [mm] \mu \not= [/mm] 0 und [mm] \lambda [/mm] a + [mm] \mu [/mm] b = 0 gibt. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
und mal wieder brauche ich eure Hilfe.
Ich fange mal mit der 1.) an:
Wie kann ich den Rang bestimmen, wenn ich eigentlich gar nichts über die Matrix [mm] ba^{T} [/mm] weiß? Ich weiß bloß, dass [mm] ba^{T} \in R_{n,n}, [/mm] also eine quadratische Matrix ist???
Milchschelle
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien a,b,c [mm]\in R_{n,1}[/mm] (n [mm]\in \IN).[/mm]
> 1.) Bestimmen Sie
> [mm]Rang(ba^{T}[/mm] ).
> 2.) Sei nun M (a, b) := [mm]ba^{T}[/mm] − [mm]ab^{T}[/mm] . Zeigen Sie,
> dass Folgendes gilt:
> a) M (a,b) = −M (b,a) und M (a,b)c + M(b,c)a + M(c,a) b
> = 0,
> b) M [mm](\lambda[/mm] a + [mm]\mu[/mm] b, c) = [mm]\lambda[/mm] M (a,c) + [mm]\mu[/mm] M
> (b,c) für [mm]\lambda[/mm] , [mm]\mu \in \IR,[/mm]
> c) Rang (M (a,b) ) = 0
> genau dann, wenn es [mm]\lambda[/mm] , [mm]\mu \in \IR[/mm] mit [mm]\lambda \not=[/mm]
> 0 oder [mm]\mu \not=[/mm] 0 und [mm]\lambda[/mm] a + [mm]\mu[/mm] b = 0 gibt.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> und mal wieder brauche ich eure Hilfe.
>
> Ich fange mal mit der 1.) an:
>
> Wie kann ich den Rang bestimmen, wenn ich eigentlich gar
> nichts über die Matrix [mm]ba^{T}[/mm] weiß? Ich weiß bloß, dass
> [mm]ba^{T} \in R_{n,n},[/mm] also eine quadratische Matrix ist???
ja - das ist nichts anderes als ein sogenanntes dyadisches Produkt. Den
Rang kann man eigentlich ablesen:
Ist [mm] $a=(a_1,...,a_n)^T$ [/mm] und [mm] $b=(b_1,...,b_n)^T\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $$ba^T=\vektor{b_1\\.\\.\\.\\b_n}*(a_1,...,a_n)=\pmat{b_1a_1, & b_1a_2, & ..., & b_1a_{n-1}, & b_1 a_n\\b_2a_1, & b_2a_2, & ..., & b_2a_{n-1}, & b_2 a_n\\ ., & ., & ..., & ., & .,\\ ., & ., & ..., & ., & .,\\ ., & ., & ..., & ., & .,\\b_na_1, & b_na_2, & ..., & b_na_{n-1}, & b_n a_n}\,.$$
[/mm]
Also:
[mm] $\bullet$ [/mm] Der [mm] $\red{1.}$ [/mm] Spaltenvektor von [mm] $ba^T$ [/mm] ist also [mm] $a_\red{1}*b\,.$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Der [mm] $\red{2.}$ [/mm] Spaltenvektor von [mm] $ba^T$ [/mm] ist also [mm] $a_\red{2}*b\,.$
[/mm]
.
.
.
[mm] $\bullet$ [/mm] Der [mm] $\red{(n-1).}$ [/mm] Spaltenvektor von [mm] $ba^T$ [/mm] ist also [mm] $a_\red{n-1}*b\,.$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Der [mm] $\red{n.}$ [/mm] Spaltenvektor von [mm] $ba^T$ [/mm] ist also [mm] $a_\red{n}*b\,.$
[/mm]
Kurz:
[mm] $$ba^T=(a_1*b,\;a_2*b,\;\ldots,\;a_{n-1}*b,\;a_n*b)\,.$$
[/mm]
[mm] $\text{(}$ [/mm] Natürlich schreiben wir hier keine "unnötigen Klammern" mehr:
So wäre etwa für [mm] $a=(a_1,a_2)^T$ [/mm] und [mm] $b=(b_1,b_2)^T$ [/mm]
strenggenommen
[mm] $$(a_1*b,\;a_2*b)$$
[/mm]
zunächst zu lesen als
[mm] $$\left(a_1*\vektor{b_1\\b_2},\;a_1*\vektor{b_1\\b_2}\;\right)=\left(\red{\Bigg(}\begin{matrix}{a_1b_1\\a_1b_2}\end{matrix}\red{\Bigg)},\;\red{\Bigg(}\begin{matrix}{a_2b_1\\a_2b_2}\end{matrix}\red{\Bigg)}\right)\,,$$
[/mm]
aber die rotmarkierten Klammern, also die Klammern der entsprechenden
Spaltenvektoren aus [mm] $\IR_{n,1}=\IR_{2,1}\,,$ [/mm] ersparen wir uns. D.h. wir
identifizieren, wie Du es auch gewohnt sein solltest, etwa
[mm] $$\left(\red{\Bigg(}\begin{matrix}{a_1b_1\\a_1b_2}\end{matrix}\red{\Bigg)},\;\red{\Bigg(}\begin{matrix}{a_2b_1\\a_2b_2}\end{matrix}\red{\Bigg)}\right)$$
[/mm]
mit
[mm] $$\pmat{a_1b_1, & a_2 b_1\\a_1b_2, & a_2 b_2}\;\;\;\text{ .)}$$
[/mm]
Ist [mm] $b=0=(0,0,...,0,0)^T \in \IR_{n,1}\,,$ [/mm] so hat (und das hätte man sich
dann auch schneller überlegen können) die Matrix [mm] $ba^T$ [/mm] den Rang [mm] $0\,.$
[/mm]
Edit: Die blauen Teile wurden ergänzt!
Ist [mm] $a=0=(0,0,...,0,0)^T \in \IR_{n,1}\,,$ [/mm] so hat [mm] $ba^T$ [/mm] ebenfalls den Rang [mm] $0\,.$
[/mm]
Ist
Sind [mm] $\blue{a,\;}b\not=0 \in \IR_{n,1}\,,$ [/mm] so folgt [mm] $\text{Rang}(ba^T)=$???
[/mm]
(Ergänze die Fragezeichen.)
Gruß,
Marcel
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Danke für deine Antwort, aber ich habe trotzdem noch einige Fragen dazu:
[mm] ba^T=\vektor{b_1\\.\\.\\.\\b_n}\cdot{}(a_1,...,a_n)=\pmat{b_1a_1, & b_1a_2, & ..., & b_1a_{n-1}, & b_1 a_n\\b_2a_1, & b_2a_2, & ..., & b_2a_{n-1}, & b_2 a_n\\ ., & ., & ..., & ., & .,\\ ., & ., & ..., & ., & .,\\ ., & ., & ..., & ., & .,\\b_na_1, & b_na_2, & ..., & b_na_{n-1}, & b_n a_n}\,
[/mm]
Stimmt das denn? Der 1. Eintrag der Matrix müsste doch nach Matrixmultiplikation Folgender sein: [mm] b_1a_1 [/mm] + [mm] b_2a_2 [/mm] + ... + [mm] b_na_n
[/mm]
Und wenn [mm] b\not=0 \in \IR_{n,1}\,, [/mm] , dann kann ja noch immer a=0 sein, sodass der Rang auch hier wieder 0 sein könnte. Außerdem wenn [mm] b=0=(0,0,...,0,0)^T \in \IR_{n,1}\,, [/mm] , dann kann ja auch b nur an manchen Stellen eine 0 haben, sodass der Rang <n ist (wobei für a genau das gleiche gilt). Mir ist schon klar, dass der Rang [mm] \le [/mm] n ist, aber man weiß doch absolut nicht wie a und b aussehen, also wo sie Nullen haben und wo nicht, da sie ja Nullen enthalten können, aber nicht gleich Nullvektoren sein müssen.
Also für mich ist das absolut nicht schlüssig, was du geschrieben hast, wobei ich die einzelnen Schritte schon verstehe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:24 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine Antwort, aber ich habe trotzdem noch
> einige Fragen dazu:
>
> [mm]ba^T=\vektor{b_1\\.\\.\\.\\b_n}\cdot{}(a_1,...,a_n)=\pmat{b_1a_1, & b_1a_2, & ..., & b_1a_{n-1}, & b_1 a_n\\b_2a_1, & b_2a_2, & ..., & b_2a_{n-1}, & b_2 a_n\\ ., & ., & ..., & ., & .,\\ ., & ., & ..., & ., & .,\\ ., & ., & ..., & ., & .,\\b_na_1, & b_na_2, & ..., & b_na_{n-1}, & b_n a_n}\,[/mm]
>
> Stimmt das denn?
nein, ich lüge gerne mal, um Leute zu veräppeln... ![[clown]](/images/smileys/clown.gif "[clown]")
Ne, Spaß beiseite! Ernsthaft: Das ist schon richtig so, und das solltest Du
nachrechnen können!
> Der 1. Eintrag der Matrix müsste doch
> nach Matrixmultiplikation Folgender sein: [mm]b_1a_1[/mm] + [mm]b_2a_2[/mm] +
> ... + [mm]b_na_n[/mm]
Nein: Es ist [mm] $b^T*a=(b_1,...,b_n)*\vektor{a_1\\.\\.\\.\\a_n}=\sum_{k=1}^n b_ka_k\,.$ [/mm] Aber danach ist hier nicht gefragt, sondern
es ist nach [mm] $b*a^{T}$ [/mm] gefragt (beachte, dass das transponiert an dem
rechten Vektor steht!)
Übrigens wäre der Rang einer [mm] $\IR_{1,1}$-Matrix, [/mm] was man als reelle Zahl
auffasst, eh noch einfacher anzugeben...
> Und wenn [mm]b\not=0 \in \IR_{n,1}\,,[/mm] , dann kann ja noch immer
> a=0 sein, sodass der Rang auch hier wieder 0 sein könnte.
Damit hast Du Recht, das habe ich ergänzt bzw. korrigiert!
Ansonsten: Schreib' Dir das doch mal für 2 Vektoren des [mm] $\IR^2$ [/mm] hin:
Es ist dann zwar
[mm] $$b^Ta=(b_1,b_2)*\vektor{a_1\\a_2}=b_1a_1+b_2a_2\,,$$
[/mm]
aber das ist hier nicht gefragt - sondern gefragt ist hier [mm] $ba^T\,,$ [/mm] und es
gilt i.a. [mm] $b^Ta\not=ba^T\,.$
[/mm]
Es ist hier für zwei solche Vektoren des [mm] $\IR^2$ [/mm] dann
[mm] $$ba^T=\vektor{b_1\\b_2}(a_1,a_2)=\pmat{b_1a_1, & b_1a_2\\b_2a_1,&b_2a_2}\,.$$
[/mm]
Aber irgendwie hatten wir das doch schon?
Aber auch mal anders: Du weißt doch, dass gemäß der
Matrizenmultiplikation gilt:
Sind $A [mm] \in \IR_{n,m}$ [/mm] und $B [mm] \in \IR_{n,p}\,,$ [/mm] so ist $A*B [mm] \in \IR_{n,p}\,.$
[/mm]
Nun ist für $a,b [mm] \in \IR_{n,1}$ [/mm] sicher [mm] $a^T \in \IR_{1,n}\,,$ [/mm] also ist
[mm] $$ba^T \in \IR_{n,n}\,,$$
[/mm]
also eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix!
> Außerdem wenn [mm]b=0=(0,0,...,0,0)^T \in \IR_{n,1}\,,[/mm] , dann
> kann ja auch b nur an manchen Stellen eine 0 haben, sodass
> der Rang <n ist (wobei für a genau das gleiche gilt).
Wenn [mm] $b\,$ [/mm] der Nullvektor ist, ist [mm] $b\,$ [/mm] der Nullvektor [mm] $\vektor{0\\.\\.\\.\\0}=(0,0,...,0)^T\,,$
[/mm]
und der kann nicht nur an manchen Stellen eine Null haben, sondern alle
seine Einträge sind Null. Sonst wäre es nicht der Nullvektor!
> Mir
> ist schon klar, dass der Rang [mm]\le[/mm] n ist, aber man weiß
> doch absolut nicht wie a und b aussehen, also wo sie Nullen
> haben und wo nicht, da sie ja Nullen enthalten können,
> aber nicht gleich Nullvektoren sein müssen.
Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl ihrer linear unabhängiger
Spalten, was auch gleich der maximalen Anzahl ihrer linear unabhängiger
Zeilen wäre, auch, wenn wir letztgenanntes hier nicht brauchen.
Wenn [mm] $b\,$ [/mm] der Nullvektor ist, ist [mm] $ba^T$ [/mm] die $n [mm] \times [/mm] n$-Nullmatrix, und
diese hat den Rang Null.
Ist [mm] $b\,$ [/mm] nicht der Nullvektor, so zeigen die obigen Überlegungen einfach,
dass der Rang der Matrix 1 ist!
> Also für mich ist das absolut nicht schlüssig, was du
> geschrieben hast, wobei ich die einzelnen Schritte schon
> verstehe.
Ich glaube Dir, ehrlich gesagt, nicht, dass Du da viel verstanden hast. Das
fängt schon damit an, dass Du das dyadische Produkt [mm] $ba^T$ [/mm] mit dem
Skalarprodukt $b^Ta=a^Tb$ verwechselst - und das sind zwei ganz
unterschiedliche Sachen.
Von daher:
Berechne mir mal bitte das folgende Produkt im Sinne des Matrixproduktes
[mm] $$\vektor{1\\2\\3}*(7,8,9)=...$$
[/mm]
(Und ja: Dieses Produkt ist definiert: Es ist
[mm] $$\vektor{1\\2\\3} \in \IR_{3,\red{1}}$$
[/mm]
und
$$(7,8,9) [mm] \in \IR_{\red{1},3}$$
[/mm]
und damit wird das Matrixprodukt [mm] $\vektor{1\\2\\3}*(7,8,9)$ [/mm] ein Element
aus [mm] $\IR_{3,3}$ [/mm] sein!)
Und wie gesagt:
[mm] $$\vektor{1\\2\\3}*(7,8,9)\not=(1,2,3)*\vektor{7\\8\\9}\,,$$
[/mm]
was alleine schon aus Dimensionsgründen klar ist:
[mm] $$\vektor{1\\2\\3}*(7,8,9) \in \IR^{3,3}\,,$$
[/mm]
aber
[mm] $$(1,2,3)*\vektor{7\\8\\9}\in \IR_{1,1}\cong \IR\,.$$
[/mm]
P.S. Einen Fall hatte ich bislang aber dennoch vergessen, das ergänze
ich gleich mal in der anderen Antwort:
Der Rang von [mm] $ba^T$ [/mm] ist genau dann Null, wenn [mm] $b=0\,$ [/mm] oder wenn [mm] $a=0\,.$ [/mm] Für $a,b [mm] \not=0$ [/mm] ist [mm] $\text{rg}(ba^T)=1\,.$
[/mm]
P.P.S. Sollte Dich das Matrixprodukt [mm] $\vektor{1\\2\\3}*(7,8,9)$ [/mm] immer noch verwirren:
Berechne es mit dem ![[]](/images/popup.gif) Falkschen Schema (klick!)
Gruß,
Marcel
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Hallo, danke für deine ausführlichen Erklärungen und ich muss ehrlich sagen, dass ich keine Ahnung habe wie ich auf diesen Mist, den ich geschrieben habe, gekommen bin, vielleicht lags an der Uhrzeit und ich war einfach zu müde. Ich habe jedoch eigentlich absolut keine Probleme mit der Matrizenmultiplikation und deine Ausführungen verstehe ich eigentlich auch, nur eine Sache macht mir Schwierigkeiten und das ist deine Aussage, dass für a,b [mm] \not=0 [/mm] ist [mm] \text{rg}(ba^T)=1\,. [/mm] Vorher wurde ja schon gesagt, dass [mm] (ba^T) [/mm] = [mm] (a_{1}b,a_{2}b,...,a_{n-1}b,a_{n}b) [/mm] und damit ist doch klar, dass es keinen einzigen linear unabhängigen Spaltenvektor gibt, da die "as" ja hier Skalare und somit sind die einzelnen Spaltenvektoren Vielfache von b und somit ja eigentlich linear abhängig. Also müsste doch der Rang dann trotzdem 0 sein, oder täusche ich mich komplett?
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> deine Ausführungen
> verstehe ich eigentlich auch, nur eine Sache macht mir
> Schwierigkeiten und das ist deine Aussage, dass für
[mm] a,b\in \IR^n [/mm] mit
> a,b [mm]\not=0[/mm] ist [mm]\text{rg}(ba^T)=1\,.[/mm]
> Vorher wurde ja schon
> gesagt, dass [mm](ba^T)[/mm] = [mm](a_{1}b,a_{2}b,...,a_{n-1}b,a_{n}b)[/mm]
> und damit ist doch klar, dass es keinen einzigen linear
> unabhängigen Spaltenvektor gibt,
> da die "as" ja hier
> Skalare und somit sind die einzelnen Spaltenvektoren
> Vielfache von b
Genau.
Du hast n Spalten, und alle sind Vielfache von b.
> und somit ja eigentlich linear abhängig.
Die n Spalten sind linear abhängig.
> Also müsste doch der Rang dann trotzdem 0 sein, oder
> täusche ich mich komplett?
Du täuschst Dich komplett.
Der Rang einer Matrix ist die Dimension des von den Spalten aufgespannten Raumes.
Welche Dimension hat denn der Raum, der von n Vielfachen des Vektors b erzeugt wird?
Welche Dimension hat der Raum, der von [mm] 5*\vektor{1\\2\\3}, 13*\vektor{1\\2\\3} [/mm] und [mm] -7*\vektor{1\\2\\3} [/mm] erzeugt wird?
LG Angela
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Die Sache ist nur die, dass wir den Dimension noch gar nicht definiert haben, eigentlich genauso wenig wie linear abhängig und unabhängig und wir den Rang als die Anzahl der Pivotelemente definiert haben.
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> Die Sache ist nur die, dass wir den Dimension noch gar
> nicht definiert haben, eigentlich genauso wenig wie linear
> abhängig und unabhängig und wir den Rang als die Anzahl
> der Pivotelemente definiert haben.
Echt?
Was ist das für eine Vorlesung?
Und wie habt Ihr "Pivotelement" definiert?
Als führendes Element einer Nichtnullzeile in der Zeilenstufenform?
Davon gehe ich bei meinen Ausführungen aus.
Bestimmen wir halt die Anzahl der Pivotelemente.
Zeilen- und Spaltenumformungen darfst Du ja sicher machen.
Wir hatten [mm] a,b\in \IR^n, [/mm] wobei a,b [mm] \not=0.
[/mm]
Weiter hattest Du bereits festgestellt, daß mit
[mm] a=(a_1,...,a_n)^T [/mm] $ gilt:
[mm] a*b^T=(a_1b,a_2b,...,a_nb)
[/mm]
Mindestens eins der [mm] a_i [/mm] ist von Null verschieden, wir können obdA davon ausgehen, daß dies [mm] a_1 [/mm] ist. (Ansonsten Spalten tauschen und umtaufen.)
Wir machen jetzt Zeilen- und Spaltenumformungen.
Division der ersten Spalte durch [mm] a_1 [/mm] ergibt die Matrix
(b,a_2b,...,a_nb).
Jetzt kannst Du Spaltenumformungen machen, so daß die 2.Spalte bis n.Spalte Nullspalten werden.
Wenn Du das hast, überleg Dir, warum der Rang =1 ist.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:43 Di 18.12.2012 | | Autor: | fred97 |
>
> > Die Sache ist nur die, dass wir den Dimension noch gar
> > nicht definiert haben, eigentlich genauso wenig wie linear
> > abhängig und unabhängig und wir den Rang als die Anzahl
> > der Pivotelemente definiert haben.
>
> Echt?
> Was ist das für eine Vorlesung?
"Numerik ohne Lineare Algebra und sonstiges aus der Mathematik"
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Di 18.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Echt?
> > Was ist das für eine Vorlesung?
>
> "Numerik ohne Lineare Algebra und sonstiges aus der
> Mathematik"
neue Namensvorschläge:
- Nichtstandard-Numerik?
- Freie Numerik?
.
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Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:21 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo erneut:
> Seien a,b,c [mm]\in R_{n,1}[/mm] (n [mm]\in \IN).[/mm]
> 2.) Sei nun M (a, b) := [mm]ba^{T}[/mm] − [mm]ab^{T}[/mm] . Zeigen Sie,
> dass Folgendes gilt:
> a) M (a,b) = −M (b,a)
das ist quasi trivial:
[mm] $$M(a,b)=ba^T-ab^T=-(ab^T-ba^T)=-M(b,a)\,.$$
[/mm]
Zudem: Probier' Dich nun mal selbst an den Aufgaben! (Übrigens kannst
Du auch mal das Forum durchsuchen: Bzgl. der Matrix [mm] $M(a,b)\,$ [/mm] habe ich
an anderer Stelle schon eine Frage mitbeantwortet - auch, wenn da die
Matrix [mm] $ba^T-ab^T$ [/mm] keinen Namen trägt...)
Gruß,
Marcel
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Naja hierbei ist mein Problem erstmal nur, dass ich gar nicht weiß, was genau M(a,b) sein soll.. Was soll das M sein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:09 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Milchschelle,
> Naja hierbei ist mein Problem erstmal nur, dass ich gar
> nicht weiß, was genau M(a,b) sein soll..
bei solchen Fragen wundere ich mich schon: Es ist per Definitionem
[mm] $$M(a,b):=ba^T-ab^T\,.$$
[/mm]
Wenn Du so willst, kann man das so lesen: [mm] $M(a,b)\,$ [/mm] ist eine Matrix, die
definiert wird als [mm] $ba^T-ab^T\,.$
[/mm]
> Was soll das M sein?
Da frage ich mich momentan - und das ist nun wirklich nicht böse gemeint:
Auf welchem Stand bist Du denn, was die Uni-Mathematik betrifft?
Das [mm] $M\,$ [/mm] hat keine wirkliche Bedeutung - [mm] $M\,$ [/mm] alleine gibt's oben ja auch
gar nicht. Aber man hat sich sicher bei der Definition [mm] $\mathbf{\red{M}}(a,b):=ba^T-ab^T$
[/mm]
gedacht, dass der Buchstabe geeignet sei: [mm] $\mathbf{\red{M}}(a,b)$ [/mm] ist eine
Matrix, die durch das Paar [mm] $(a,b)\,,$ [/mm] (REIHENFOLGE beachten: $(a,b) [mm] \not=(b,a)$!)
[/mm]
der Vektoren [mm] $a,b\,$ [/mm] gebildet wird.
In diesem Sinne kannst Du natürlich auch sagen:
Es ist $M: [mm] \IR_{n,1} \times \IR_{n,1} \to \IR_{n,n}$ [/mm] eine Abbildung - in
diesem Sinne kann man dem Buchstaben [mm] $M\,$ [/mm] dann schon auch eine
alleinige Bedeutung geben. Aber generell müßte man das dann weiter so
aufziehen:
Es ist [mm] $M((a,b)):=ba^T-ab^T$ [/mm] für alle $a,b [mm] \in \IR_{n,1}\,,$ [/mm] und wir setzen
[mm] $$M(a,b):=M((a,b))\,,$$
[/mm]
zumindest, wenn man da ganz penibel didaktisch rangeht.
Nur, das Problem bei der ganzen Sache hier: Du verstehst minimale
Grundlagen leider schon nicht. Deine Frage oben: "Was ist das [mm] $M\,$ [/mm] bei
[mm] $M(a,b):=ba^T-ab^T\,.$"
[/mm]
ist "in etwa" so, als wenn Du fragst: "Was ist das [mm] $f\,$ [/mm] bei [mm] $f_T\,,$ [/mm] wobei
[mm] $f_T(x):=x^2-T$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] mit $T [mm] \in \IR$ [/mm] als festen Parameter?"
Wenn ich etwas definiere, dann definiere ich etwas. Ich meine, ich kann
oben auch sagen:
[mm] $$\text{MickyMaus}:=\text{MickyMaus}(a,b):=ba^T-ab^T\,.$$
[/mm]
Und wenn ich [mm] $\text{DonaldDuck}:=2\,$ [/mm] definiere, und dann frage:
Was ist [mm] $3*\text{DonaldDuck}\,,$ [/mm] dann wirst Du doch [mm] $3*2=6\,$ [/mm] sagen.
Und mit der letztstehenden Definition ist natürlich eine natürliche Zahl
genau dann gerade, wenn sie durch [mm] $\text{DonaldDuck}$ [/mm] geteilt werden
kann...
Also da wundert mich Deine Frage schon etwas...
Gruß,
Marcel
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