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Liebe Mathematiker
Es geht um die Aufgabe :
b,a [mm] \in \IR^{n,1}
[/mm]
[mm] Rang(ba^{T}-ab^{T}) [/mm] =0 <=> [mm] \exists ,\lambda ,\mu \in \IR [/mm] mit [mm] \lambda \not=0 [/mm] oder [mm] \mu \not=0 [/mm] mit : [mm] \lambda\*a [/mm] + [mm] \mu\*b [/mm] =0.
Meine Überlegung und Ansatz :
Ich weiß das [mm] ba^{T}-ab^{T} [/mm] hat den Rang 0, wenn daraus die Nullmatrix ergibt.
Wäre für jede Hilfe sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Math.matrix,
> Liebe Mathematiker
Oh, ich bin gar nicht gemeint... Ich versuchs trotzdem mal. 
> Es geht um die Aufgabe :
>
> b,a [mm]\in \IR^{n,1}[/mm]
>
> [mm]Rang(ba^{T}-ab^{T})[/mm] =0 <=> [mm]\exists ,\lambda ,\mu \in \IR[/mm]
> mit [mm]\lambda \not=0[/mm] oder [mm]\mu \not=0[/mm] mit : [mm]\lambda\*a[/mm]+[mm]\mu\*b[/mm] =0.
>
> Meine Überlegung und Ansatz :
>
> Ich weiß das [mm]ba^{T}-ab^{T}[/mm] hat den Rang 0, wenn daraus die
> Nullmatrix ergibt.
Kein gutes Deutsch, aber in der Sache richtig.
Daraus kannst Du also folgern: [mm] ba^T=ab^T
[/mm]
Außerdem gilt für alle a,b: [mm] ab^T=(ba^T)^T [/mm] (also auch [mm] $ba^T=(ab^T)^T$)
[/mm]
Was sagt Dir das über die Gestalt von [mm] ab^T [/mm] ?
Nun folgere erst die Rückrichtung, das ist einfach.
Für die Hinrichtung führe einen Widerspruchsbeweis.
Grüße
reverend
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Hallo reverend
Danke für deine Antwort.
Wenn ich mir die Gleichung [mm] \lambda \* [/mm] a + [mm] \mu \* [/mm] b =0 für [mm] \lambda \not= [/mm] 0 oder [mm] \mu \not=0 [/mm] anschaue,
heißt es ja: es gilt: [mm] \mu \* [/mm] b =0 oder [mm] \lambda \* [/mm] a =0.
Da komme ich nicht weiter, ich weiß nicht was mir das bringt.
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Hallo nochmal,
nein, das ist falsch gedacht.
> Wenn ich mir die Gleichung [mm]\lambda \*[/mm] a + [mm]\mu \*[/mm] b =0
> für [mm]\lambda \not=[/mm] 0 oder [mm]\mu \not=0[/mm] anschaue,
> heißt es ja: es gilt: [mm]\mu \*[/mm] b =0 oder [mm]\lambda \*[/mm] a =0.
Das ist keineswegs die logische Schlussfolgerung! Hier geht es doch um die lineare Abhängigkeit von a und b.
> Da komme ich nicht weiter, ich weiß nicht was mir das
> bringt.
Den von Dir genannten Fall kann es natürlich geben, aber dann ist einer der beiden Vektoren der Nullvektor. Das würde Deine Aufgabe ja schnell lösen, aber eben nur für diesen Fall.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:47 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Math.matrix |
Danke dir für dein Bemühen.
Um ehrlich zusein weiß ich nicht wo ich mein Denken ansetzen und weiterführen soll.
Wäre dir sehr dankbar für eine weitere Hilfe.
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> Daraus kannst Du also folgern: [mm]ba^T=ab^T[/mm]
>
> Außerdem gilt für alle a,b: [mm]ab^T=(ba^T)^T[/mm] (also auch
> [mm]ba^T=(ab^T)^T[/mm])
>
> Was sagt Dir das über die Gestalt von [mm]ab^T[/mm] ?
das heißt ja, dass [mm]ab^T=(ab^T)^T[/mm]
also muss [mm]ab^T[/mm] bzw [mm]ba^T[/mm] eine Diagonale Matrix sein oder?
bzw. [mm]ab^T[/mm] ist eine symmetrische Matrix
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Hallo nochmal,
> > Daraus kannst Du also folgern: [mm]ba^T=ab^T[/mm]
> >
> > Außerdem gilt für alle a,b: [mm]ab^T=(ba^T)^T[/mm] (also auch
> > [mm]ba^T=(ab^T)^T[/mm])
> >
> > Was sagt Dir das über die Gestalt von [mm]ab^T[/mm] ?
>
> das heißt ja, dass [mm]ab^T=(ab^T)^T[/mm]
Eben.
> also muss [mm]ab^T[/mm] bzw [mm]ba^T[/mm] eine Diagonale Matrix sein oder?
Nein, nicht notwendigerweise.
> bzw. [mm]ab^T[/mm] ist eine symmetrische Matrix
Aber das ist richtig!!
Nun fragt sich: wann ergibt die Multiplikation zweier Vektoren eine symmetrische Matrix?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:23 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Math.matrix |
Hallo reverend
> Aber das ist richtig!!
> Nun fragt sich: wann ergibt die Multiplikation zweier
> Vektoren eine symmetrische Matrix?
bei dieser Frage bin ich etwas überfordert. könntest du mir vllt ein Hinweis geben.
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> > bzw. [mm]ab^T[/mm] ist eine symmetrische Matrix
>
> Aber das ist richtig!!
> Nun fragt sich: wann ergibt die Multiplikation zweier
> Vektoren eine symmetrische Matrix?
>
Hab grad rausbekommen , dass die beiden Vektoren gleich sein müssen , oder?
also wir sind bislang :
[mm] Rang(ba^{T}-ab^{T})=0 [/mm]
=> [mm] ba^{T}-ab^{T} [/mm] ist die Nullmatrix
=> [mm] ba^{T}=ab^{T}
[/mm]
..es gilt : [mm] (ba^{T})^{T}=ab^{T}
[/mm]
=> [mm] ba^{T}=(ba^{T})^{T}
[/mm]
=>a=b
wie kommen wir dann zu [mm] \exists \lambda, \mu [/mm] mit [mm] \lambda [/mm] oder [mm] \mu [/mm] ungleich Null mit [mm] \lambda \* [/mm] a + [mm] \mu \* [/mm] b= 0 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > bzw. [mm]ab^T[/mm] ist eine symmetrische Matrix
> >
> > Aber das ist richtig!!
> > Nun fragt sich: wann ergibt die Multiplikation zweier
> > Vektoren eine symmetrische Matrix?
> >
>
> Hab grad rausbekommen , dass die beiden Vektoren gleich
> sein müssen , oder?
>
> also wir sind bislang :
>
> [mm]Rang(ba^{T}-ab^{T})=0[/mm]
> => [mm]ba^{T}-ab^{T}[/mm] ist die Nullmatrix
> => [mm]ba^{T}=ab^{T}[/mm]
> ..es gilt : [mm](ba^{T})^{T}=ab^{T}[/mm]
> => [mm]ba^{T}=(ba^{T})^{T}[/mm]
> =>a=b
die letzte Folgerung ist Unsinn: Warum sollte daraus nun [mm] $a=b\,$ [/mm] folgen?
Die Gleichheit gilt sicher, falls [mm] $a=0\,$ [/mm] oder $b=0$ mit der $0 [mm] \in \IR^{n,1}\,.$ [/mm]
(Und wenn etwa $a=0$ ist, dann gilt etwa die Gleichung [mm] $1*a+0*b=0\,.$)
[/mm]
Die Gleichheit gilt sicher auch, falls $a,b [mm] \not=0$ [/mm] sind und [mm] $a=\lambda [/mm] *b$
mit einem [mm] $\lambda \not=0\,,$ [/mm] denn dann ist
[mm] $$ba^T=b*(\lambda*b)^T=\lambda *(b*b^T)$$
[/mm]
und auch
[mm] $$(ba^T)^T=\lambda *(b*b^T)^T=\lambda*((b^T)^T*b^T)=\lambda*(b*b^T)$$ [/mm]
Es fehlt noch die Überlegung, was im Falle $a,b [mm] \not=0$ [/mm] und $a [mm] \not=\lambda [/mm] *b$ für alle [mm] $\lambda$ [/mm] los ist: Wenn Du zeigst, dass dann
NICHT [mm] $ba^T=(ba^T)^T$ [/mm] gelten kann, kannst Du also aus
[mm] $$ba^T=(ba^T)^T$$
[/mm]
folgern: "Es existieren [mm] $\lambda, \mu$ [/mm] mit..."
P.S.: Wenn Du genau guckst, ist oben auch schon der Beweis der anderen
Richtung mit drin enthalten. Dazu musst Du zwar aus ein paar Deiner
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] auch [mm] $\gdw$ [/mm] machen - insbesondere ist also auch zu
überlegen, dass die Folgerung in Richtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] dort genau so
erlaubt wäre - aber dann kannst Du den Beweis auch komplett mit allem,
was hier steht, zusammenbasteln.
Ich schreib's Dir mal auf, wie man das machen könnte:
Zu zeigen ist, dass [mm] $a*b^T-b*a^T$ [/mm] genau dann den Rang Null hat, wenn
gilt: "Es existieren [mm] $\lambda,\mu$ [/mm] mit ..."
Es gilt
[mm] $$\text{Rang}(a*b^T-b*a^T)=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] ...$$
[mm] $$\gdw b*a^T=(b*a^T)^T\,.$$
[/mm]
Die Behauptung läßt sich daher äquivalent umformulieren zu: Man zeige,
dass das dyadische Produkt [mm] $b*a^T$ [/mm] (man könnte auch das dyadische
Produkt [mm] $a*b^T$ [/mm] an dieser Stelle betrachten) zweier Vektoren $a,b [mm] \in \IR^{n,1}$
[/mm]
genau dann symmetrisch ist, wenn gilt: "Es existieren [mm] $\lambda,\mu$ [/mm] mit ..."
Und nun schauen wir uns halt diese Aussage mal an:
Zu [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] (Kontraposition!):
1. Fall: Falls solche [mm] $\lambda,\mu$ [/mm] nicht wie gewünscht existieren, so kann
weder [mm] $a=0\,$ [/mm] noch [mm] $b=0\,$ [/mm] sein. Dann gilt...
Zu [mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
2. Fall:
Unterfall 2a): Ist [mm] $a=0\,$ [/mm] oder [mm] $b=0\,,$ [/mm] so ist das dyadische Produkt
[mm] $a*b^T$ [/mm] einfach die $n [mm] \times [/mm] n$-Nullmatrix...
Unterfall 2b): Seien also $a,b [mm] \not=0$ [/mm] und es existieren [mm] $\lambda,\mu$ [/mm]
wie gewünscht. Dann müssen [mm] $\lambda,\mu \not=0$ [/mm] sein, und es
berechnet sich das dyadische Produkt [mm] $ab^T$ [/mm] zu...
P.S. Die "Fälle" stehen beim letzten Beweis nur deshalb da, damit man sich
auch klarmacht, dass man beim ganzen Beweis nichts vergessen hat.
Natürlich gibt's beim Beweis von [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] keinen weiteren Fall,
von daher bezieht sich das "1.Fall" nicht nur auf diesen Beweisteil...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke dir für die ausführliche Antwort.
Sitze schon stundenlang an dieser Aufgabe, komme aber nicht voran :S
Leider bin ich noch nicht wirklich auf dem Niveau angekommen, sodass ich auch wirklich inhaltlich verstanden habe, was du mir rüber bringen willst.
>Zu "=>" (Kontraposition!):
>1. Fall: Falls solche nicht wie gewünscht existieren, so kann
>weder a=0 noch b=0 sein. Dann gilt...
warum kann man das daraus schließen? wie kommt mann darauf?
Zu"<="
>Unterfall 2b): Seien also [mm] a,b\not=0 [/mm] und es existieren [mm] \lambda,\mu
[/mm]
>wie gewünscht. Dann müssen [mm] \lambda,\mu\not=0 [/mm] sein, und es
>berechnet sich das dyadische Produkt [mm] ab^{T} [/mm] zu...
hier komm ich auch nicht weiter... bin halt noch nicht auf dem Niveau dieses Denkens :S
Wäre dir sehr dankbar für weitere Unterstützungen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 So 16.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> danke dir für die ausführliche Antwort.
>
> Sitze schon stundenlang an dieser Aufgabe, komme aber nicht
> voran :S
>
> Leider bin ich noch nicht wirklich auf dem Niveau
> angekommen, sodass ich auch wirklich inhaltlich verstanden
> habe, was du mir rüber bringen willst.
>
> >Zu "=>" (Kontraposition!):
> >1. Fall: Falls solche nicht wie gewünscht existieren, so
> kann
> >weder a=0 noch b=0 sein. Dann gilt...
>
> warum kann man das daraus schließen? wie kommt mann
> darauf?
naja, wenn [mm] $a=0\,$ [/mm] ist, dann gilt sicher [mm] $1*a+0*b=0\,.$ [/mm] Ist [mm] $b=0\,,$ [/mm] so gilt
[mm] $0*a+1*b=0\,.$ [/mm] Falls also [mm] $a=0\,$ [/mm] oder [mm] $b=0\,$ [/mm] (da steht ein
und-einschließendes oder - beachte dies bitte zudem!), so existieren
[mm] $\lambda,\mu$ [/mm] wie gewünscht!
> Zu"<="
> >Unterfall 2b): Seien also [mm]a,b\not=0[/mm] und es existieren
> [mm]\lambda,\mu[/mm]
> >wie gewünscht. Dann müssen [mm]\lambda,\mu\not=0[/mm] sein, und
> es
> >berechnet sich das dyadische Produkt [mm]ab^{T}[/mm] zu...
>
> hier komm ich auch nicht weiter... bin halt noch nicht auf
> dem Niveau dieses Denkens :S
Hier hättest Du doch nur nochmal einfach in einer anderen Antwort
nachlesen müssen. Aber okay: Gelte also [mm] $\lambda*a+\mu*b=0$
[/mm]
mit [mm] $\lambda \not=0$ [/mm] oder [mm] $\mu \not=0\,.$ [/mm] Wegen $a,b [mm] \not=0$ [/mm] gilt:
Wäre [mm] $\lambda=0\,,$ [/mm] so folgte aus [mm] $\lambda*a+\mu*b=0$ [/mm] dann
[mm] $\mu*b=0$ [/mm] und damit [mm] $\mu=0$ [/mm] (wegen $b [mm] \not=0$) [/mm] - also kann nicht
[mm] $\lambda=0\,$ [/mm] sein.
Analog sieht man: Es kann nicht [mm] $\mu=0$ [/mm] sein, also gilt hier [mm] $\lambda\not=0$ [/mm]
und es gilt [mm] $\mu \not=0\,.$
[/mm]
Dann kann ich aber folgern:
[mm] $$\lambda*a+\mu*b=0 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; a=\frac{-\mu}{\lambda}*b \;\;\;\Rightarrow \;\;\; a=r*b\,$$
[/mm]
mit einem $r [mm] \not=0$ [/mm] - nämlich [mm] $r:=-\mu/\lambda\,.$ [/mm] (Das [mm] $r\,$ [/mm] hatte ich
vorher, ungünstigerweise, auch mit [mm] $\lambda$ [/mm] bezeichnet...)
Dann ist aber
[mm] $$ba^T=b*(r*b)^T=r*(b*b^T)$$
[/mm]
und damit
[mm] $$(ba^T)^T=(r*(b*b^T))^T=r*((b^T)^T*b^T)=r*(b*b^T)\,,$$
[/mm]
also gilt hier wegen [mm] $ba^T=r*(b*b^T)=(ba^T)^T$ [/mm] sodann
[mm] $$ba^T=(ba^T)^T\,.$$
[/mm]
Was eigentlich wirklich noch nicht gezeigt wurde, ist die Richtung
[mm] "$\Rightarrow$"...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Liebe Mathematiker
>
> Es geht um die Aufgabe :
>
> b,a [mm]\in \IR^{n,1}[/mm]
>
> [mm]Rang(ba^{T}-ab^{T})[/mm] =0 <=> [mm]\exists ,\lambda ,\mu \in \IR[/mm]
> mit [mm]\lambda \not=0[/mm] oder [mm]\mu \not=0[/mm] mit : [mm]\lambda\*a[/mm] + [mm]\mu\*b[/mm] =0.
führe Reverends Überlegungen auf jeden Fall zu Ende. Vielleicht mal eine
Hilfe zu den Hinweisen:
Wenn man
[mm] $$a=(a_1,...,a_n)^T,\; b=(b_1,...,b_n)^T$$
[/mm]
hat, dann ist doch
[mm] $$M:=ba^T-ab^T=\pmat{b_1a_1-a_1b_1 & b_1 a_2-a_1b_2 & ... & b_1 a_n-a_1b_n \\ . & . & ... & . \\ \\ . & . & ... & . \\ \\ . & . & ... & . \\b_na_1-a_nb_1 & b_n a_2 -a_nb_2& ... & b_n a_n-a_nb_n}$$
[/mm]
Guckst Du nochmal genau hin, so siehst Du, dass diese $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix
[mm] $M=(m_{i,j})_{\substack{i=1,...,n\\j=1,...,n}}$ [/mm] lauter Nullen auf der Diagonalen hat und zudem erfüllt
[mm] $$m_{i,j}=-m_{j,i}\,.$$
[/mm]
Das ist aber auch kein Wunder: Für eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix [mm] $X\,$ [/mm] folgt ja
auch mit [mm] $(\tilde{x}_{i,j})_{i,j}=\tilde{X}=X-X^T=(x_{i,j}-x_{j,i})_{i,j}$ [/mm] sodann
[mm] $$\tilde{x}_{j,i}=x_{j,i}-x_{i,j}=-(x_{i,j}-x_{j,i})=-\tilde{x}_{i,j}\,,$$
[/mm]
insbesondere liefert dann
[mm] $$\tilde{x}_{i,i}=-\tilde{x}_{i,i}$$
[/mm]
auch [mm] $\tilde{x}_{i,i}=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
> [mm]M:=ba^T-ab^T=\pmat{b_1a_1-a_1b_1 & b_1 a_2-a_1b_2 & ... & b_1 a_n-a_1b_n \\ . & . & ... & . \\ \\ . & . & ... & . \\ \\ . & . & ... & . \\b_na_1-a_nb_1 & b_n a_2 -a_nb_2& ... & b_n a_n-a_nb_n}[/mm]
deine erklärung diesbezüglich, dass diese Matrix diese Form haben soll, habe ich verstanden.
Ich will diese Matrix jetzt noch zur Treppennormalform bringen ( in einer weiteren Aufgabenstellung gefragt), allgemein, um zu beweisen, dass sie entweder Rang 0 oder 2 hat. Wie kann ich Sie am besten zu TNF machen, allgemein, anhand eines Beispiels gelingt es mir sofort.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:16 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > [mm]M:=ba^T-ab^T=\pmat{b_1a_1-a_1b_1 & b_1 a_2-a_1b_2 & ... & b_1 a_n-a_1b_n \\ . & . & ... & . \\ \\ . & . & ... & . \\ \\ . & . & ... & . \\b_na_1-a_nb_1 & b_n a_2 -a_nb_2& ... & b_n a_n-a_nb_n}[/mm]
>
> deine erklärung diesbezüglich, dass diese Matrix diese
> Form haben soll, habe ich verstanden.
>
> Ich will diese Matrix jetzt noch zur Treppennormalform
> bringen ( in einer weiteren Aufgabenstellung gefragt),
> allgemein, um zu beweisen, dass sie entweder Rang 0 oder 2
> hat. Wie kann ich Sie am besten zu TNF machen, allgemein,
> anhand eines Beispiels gelingt es mir sofort.
ich denke jedenfalls lieber drüber nach, wenn Du mir mal ein Beispiel auch
vorrechnest - vielleicht für [mm] $n=4\,$? [/mm] Ich bin nämlich gerade denk- und
schreibfaul!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 18.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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