Restglied des Taylorpolynoms < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Kreator |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Taylorpolynom 3. Grades mit dem Zentrum t* = [mm] \pi/3 [/mm] der Sinusfunktion. Geben Sie eine obere Schranke für den Fehler an, den Sie bei einer Näherung durch den Wert dieses Polynoms für sin(59°) begehen (rechnen Sie im Bogenmass). |
Taylorpolynom kann ich leicht berechnen:
f'(x) = cos(t)
f''(x) = -sin(t)
f'''(x) = -cos(t)
sin(t*) = [mm] \wurzel{3}/3 [/mm] und cos(t*) = 1/2
[mm] P_{3}(t) [/mm] = [mm] \wurzel{3}/2 [/mm] + [mm] 1/2*(t-\pi/3) [/mm] - [mm] \wurzel{3}/2*(t-\pi/3)^{2} [/mm] - [mm] 1/12*(t-\pi/3)^{3}
[/mm]
Wie kann man aber den Fehler berechnen; macht man dies mit der Restgliedform nach Lestrange?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Fr 16.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen Sie das Taylorpolynom 3. Grades mit dem Zentrum
> t* = [mm]\pi/3[/mm] der Sinusfunktion. Geben Sie eine obere Schranke
> für den Fehler an, den Sie bei einer Näherung durch den
> Wert dieses Polynoms für sin(59°) begehen (rechnen Sie im
> Bogenmass).
> Taylorpolynom kann ich leicht berechnen:
>
> f'(x) = cos(t)
> f''(x) = -sin(t)
> f'''(x) = -cos(t)
> sin(t*) = [mm]\wurzel{3}/3[/mm] und cos(t*) = 1/2
>
> [mm]P_{3}(t)[/mm] = [mm]\wurzel{3}/2[/mm] + [mm]1/2*(t-\pi/3)[/mm] -
> [mm]\wurzel{3}/2*(t-\pi/3)^{2}[/mm] - [mm]1/12*(t-\pi/3)^{3}[/mm]
>
> Wie kann man aber den Fehler berechnen; macht man dies mit
> der Restgliedform nach Lestrange?
Ja, nur dass der Herr Lagrange hieß 
Das geht sehr gut, weil Sinus und Cosinus dem Betrag nach [mm]\le 1[/mm] sind, sodass du das Restglied abschätzen kannst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:55 So 18.11.2007 | | Autor: | Kreator |
Ok, die Formel für das Restglied sieht ja wie folgt aus:
[mm] R_{n}(t)=\bruch{f^{n+1}(\varepsilon)}{(n+1)!}*(t-t_{0})^{n+1}
[/mm]
Aus der Aufgabenstellung weiss ich dass n = 3 und t = [mm] \pi/3 [/mm] bzw. 60° ist. Somit komm ich auf die Formel:
[mm] R_{3}(t)=\bruch{sin(\varepsilon)}{4!}*(t-\pi/3)^{4}
[/mm]
Was kann ich nun mit dieser Formel aussagen? und was spielt das [mm] \varepsilon [/mm] genau für eine Rolle?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:45 So 18.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Das t ist dir ja auch bekannt. das sind doch 59°.
Das setzt du mal ein, bildest noch die 4. Ableitung und schaust, wofür diese maximal wird. Das [mm] \epsilon [/mm] ist eigentlich immer unbekannt, desswegen kannst du das auch nicht direkt angeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 So 18.11.2007 | | Autor: | rainerS |
> Das t ist dir ja auch bekannt. das sind doch 59°.
>
> Das setzt du mal ein, bildest noch die 4. Ableitung und
> schaust, wofür diese maximal wird. Das [mm]\epsilon[/mm] ist
> eigentlich immer unbekannt, desswegen kannst du das auch
> nicht direkt angeben.
[mm]\epsilon[/mm] ist nicht bekannt, aber es ist bekannt, dass [mm]\epsilon[/mm] zwischen t und [mm]t_0[/mm] liegt.
Damit kann man das Maximum des Restglieds einfach ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 So 18.11.2007 | | Autor: | Kreator |
Ok, vielen Dank, verstehs jetzt schon etwas besser. Nun habe ich die Lösung zu der Aufgabe gefunden und die sieht wie folgt aus:
Es gilt: [mm] t-t_{0} [/mm] = 1° = [mm] 2\pi/360, [/mm] n=3) Wieso gibt [mm] t-t_{0} [/mm] ein Grad? Es müsste doch -1° geben.
[mm] R_{3}=\bruch{(t-\pi/3)^{4}}{4!}*sin \varepsilon \le \bruch{(\pi/180)^{4}}{24} [/mm]
da sin [mm] \varepsilon \le [/mm] 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 So 18.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok, vielen Dank, verstehs jetzt schon etwas besser. Nun
> habe ich die Lösung zu der Aufgabe gefunden und die sieht
> wie folgt aus:
>
> Es gilt: [mm]t-t_{0}[/mm] = 1° = [mm]2\pi/360,[/mm] n=3) Wieso gibt [mm]t-t_{0}[/mm]
> ein Grad? Es müsste doch -1° geben.
Ja, das ist richtig. Allerdings macht es hier keinen Unterschied, weil die Zahl zur vierten Potenz genommen wird.
> [mm]R_{3}=\bruch{(t-\pi/3)^{4}}{4!}*sin \varepsilon \le \bruch{(\pi/180)^{4}}{24}[/mm]
>
>
> da sin [mm]\varepsilon \le[/mm] 1
Richtig. Du könntest das sogar noch verbessern, weil du weisst, dass [mm]0
Viele Grüße
Rainer
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