matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationstheorieRiemannintegration von exp
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Integrationstheorie" - Riemannintegration von exp
Riemannintegration von exp < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integrationstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Riemannintegration von exp: Tip, Fehlerkorrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:32 Di 02.05.2017
Autor: Arkathor

Aufgabe
Berechnen Sie [mm] \integral_{0}^{1}{e^x dx} [/mm] mit Hilfe von Riemannschen Summen . Benutzen Sie gleichlange Teilintervalle.

Zuerst mein Lösungsweg:
Sei [mm] \gamma={x_0,...,x_n} [/mm]
[mm] x_0=0 [/mm]
[mm] x_n=1 [/mm]
[mm] x_i=\bruch{i}{n} [/mm]

Riemannsummen:
[mm] \summe_{i=1}^{n}e^{\bruch{i}{n}}\bruch{1}{n} [/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}e^{i}e^{\bruch{1}{n}}\bruch{1}{n} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{n}e^{\bruch{1}{n}}\summe_{i=1}^{n}e^{i} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{n}e^{\bruch{1}{n}} \bruch{1-e^{n+1}}{1-e}-1 [/mm] //Ich habe hier die Formel [mm] \summe_{i=0}^{n}q^i=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] benutzt und [mm] e^0 [/mm] abgezogen, weil meine Summe bei 1 startet.
[mm] \bruch{\wurzel[n]{e}-e^{n+1+\bruch{1}{n}}}{n-en}-\bruch{1}{n}e^{\bruch{1}{n}} [/mm]
Nun muss Ich den Grenzwert bilden:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}e^{\bruch{1}{n}}=0 [/mm]
der hintere Teil geht gegen 0, also bleibt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{e}-e^{n+1+\bruch{1}{n}}}{n-en} [/mm]
Und hier sehe Ich nicht wirklich womit Ich anfangen soll, so gut wie jeder Terme enthält n. Ich könnte es so aufsplittern: [mm] \bruch{\wurzel[n]{e}}{n-en}- \bruch{e^{n+1+\bruch{1}{n}}}{n-en} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{e}}{n-en}=\bruch{\wurzel[n]{e}}{n(1-e)} [/mm] musste 0 Sein wenn Ich mich nicht irre (wurzel geht gegen 1, Nenner geht gegen unendlich), aber der zweite Term sieht mir etwas merkwürdig aus. Habe Ich irgendwo einen Fehler gemacht? Ich würde mich über Tips freuen.

        
Bezug
Riemannintegration von exp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Di 02.05.2017
Autor: Chris84

Huhu,

> Berechnen Sie [mm]\integral_{0}^{1}{e^x dx}[/mm] mit Hilfe von
> Riemannschen Summen . Benutzen Sie gleichlange
> Teilintervalle.
>  Zuerst mein Lösungsweg:
>  Sei [mm]\gamma={x_0,...,x_n}[/mm]
>  [mm]x_0=0[/mm]
>  [mm]x_n=1[/mm]
>  [mm]x_i=\bruch{i}{n}[/mm]
>  
> Riemannsummen:
>  [mm]\summe_{i=1}^{n}e^{\bruch{i}{n}}\bruch{1}{n}[/mm]
>  [mm]=\summe_{i=1}^{n}e^{i}e^{\bruch{1}{n}}\bruch{1}{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Hier hast du anscheinend benutzt, dass $e^{\frac{i}{n}}=e^{i}\cdot e^{\frac{1}{n}}$. Das ist aber nicht richtig, denn $e^{i}\cdot e^{\frac{1}{n}}=e^{i+\frac{1}{n}$. Vielmehr gilt

$e^{\frac{i}{n}}=\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^i$

>  [mm]=\bruch{1}{n}e^{\bruch{1}{n}}\summe_{i=1}^{n}e^{i}[/mm]
>  [mm]=\bruch{1}{n}e^{\bruch{1}{n}} \bruch{1-e^{n+1}}{1-e}-1[/mm]
> //Ich habe hier die Formel
> [mm]\summe_{i=0}^{n}q^i=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] benutzt und [mm]e^0[/mm]
> abgezogen, weil meine Summe bei 1 startet.
> [mm]\bruch{\wurzel[n]{e}-e^{n+1+\bruch{1}{n}}}{n-en}-\bruch{1}{n}e^{\bruch{1}{n}}[/mm]
>  Nun muss Ich den Grenzwert bilden:
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}e^{\bruch{1}{n}}=0[/mm]
>  der hintere Teil geht gegen 0, also bleibt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{e}-e^{n+1+\bruch{1}{n}}}{n-en}[/mm]
>  Und hier sehe Ich nicht wirklich womit Ich anfangen soll,
> so gut wie jeder Terme enthält n. Ich könnte es so
> aufsplittern: [mm]\bruch{\wurzel[n]{e}}{n-en}- \bruch{e^{n+1+\bruch{1}{n}}}{n-en}[/mm]
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{e}}{n-en}=\bruch{\wurzel[n]{e}}{n(1-e)}[/mm]
> musste 0 Sein wenn Ich mich nicht irre (wurzel geht gegen
> 1, Nenner geht gegen unendlich), aber der zweite Term sieht
> mir etwas merkwürdig aus. Habe Ich irgendwo einen Fehler
> gemacht? Ich würde mich über Tips freuen.  

Gruss,
Chris

Bezug
        
Bezug
Riemannintegration von exp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Di 02.05.2017
Autor: HJKweseleit

Wenn du die Korrektur von Chris84 berücksichtigst, wirst du auf einen Nenner der Form [mm] n*(e^{\bruch{1}{n}}-1) [/mm] stoßen.

Nenne ihn [mm] t_n [/mm] und forme die Gleichung [mm] t_n [/mm] = [mm] n*(e^{\bruch{1}{n}}-1) [/mm] so lange um, bis da steht: e = ...

Damit kannst du herausfinden, dass [mm] t_n [/mm] gegen 1 konvergieren muss.

Damit kannst du dann auf das Ergebnis e - 1 schließen.

Bezug
                
Bezug
Riemannintegration von exp: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:54 Di 02.05.2017
Autor: X3nion


> Wenn du die Korrektur von Chris84 berücksichtigst, wirst
> du auf einen Nenner der Form [mm]n*(e^{\bruch{1}{n}}-1)[/mm]
> stoßen.
>  
> Nenne ihn [mm]t_n[/mm] und forme die Gleichung [mm]t_n[/mm] =
> [mm]n*(e^{\bruch{1}{n}}-1)[/mm] so lange um, bis da steht: e = ...
>  
> Damit kannst du herausfinden, dass [mm]t_n[/mm] gegen 1 konvergieren
> muss.
>  
> Damit kannst du dann auf das Ergebnis e - 1 schließen.

So ein Term geht auch mit l'Hopital!

Sei t(x) := x * [mm] (e^{\frac{1}{x}}-1) [/mm]  = [mm] \frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}} [/mm]  und x [mm] \in \IR [/mm]

Setze nun t(x) := [mm] \frac{a(x)}{b(x)} [/mm] mit a(x) := [mm] e^{\frac{1}{x}}-1 [/mm] und b(x) := [mm] {\frac{1}{x}}. [/mm]

Zu berechnen ist [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] t(x)

Es gilt [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] a(x) = 0 und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] b(x) = 0

Wende nun L'Hopital für "0/0" an.

=> [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \frac{-\frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{1}{x^{2}}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{\frac{1}{x}} [/mm] = 1

Dann ist aber auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n*(e^{\bruch{1}{n}}-1) [/mm] = 1


Gruß X3nion


Bezug
                        
Bezug
Riemannintegration von exp: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:02 Di 02.05.2017
Autor: HJKweseleit


> So ein Term geht auch mit l'Hopital!

Klar, aber ich hatte den Eindruck, dass der Kandidat noch nicht sehr vertraut ist mit den diversen Möglichkeiten. Kann natürlich sein, dass er L'Hopital kennt und die "Potenzdarstellung" von [mm] e^x [/mm] nicht...


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integrationstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]