Rotationskörper < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Do 04.12.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das minimale Volumen des Rotationskörpers, der entsteht aus f(x) = sin x , welche um eine Gerade g(x) = c kreist; mit 0 [mm] \e [/mm] c [mm] \le [/mm] 1 und x [mm] \in [/mm] [0; [mm] \pi]
[/mm]
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Moin,
Volumen eines Rotationskörpers...
[mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{\pi}{f(x)^2 dx}
[/mm]
Hier würde ich zunächst die Schnittpunkte bestimmen...
sin x = c
Wie müsste ich die Ergebnisse [mm] x_1 [/mm] / [mm] x_2 [/mm] notieren?
...und dann v(x) aufstellen...
v(x) = [mm] \pi*\integral_{0}^{x_1}{f(x)^2 dx} [/mm] + [mm] \pi*\integral_{x_1}^{x_2}{f(x)^2 dx} +\pi*\integral_{x_2}^{\pi}{f(x)^2 dx}
[/mm]
Bei der Bildung der Stammfunktion habe ich ein Problem.
f(x) = sin x
[mm] f(x)^2 [/mm] = [mm] sin^2 [/mm] x
Aber was ist hiervon die Stammfunktion???
Gruß
Wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Do 04.12.2008 | | Autor: | djmatey |
> Bestimmen Sie das minimale Volumen des Rotationskörpers,
> der entsteht aus f(x) = sin x , welche um eine Gerade g(x)
> = c kreist; mit 0 [mm]\le[/mm] c [mm]\le[/mm] 1 und x [mm]\in[/mm] [0; [mm]\pi][/mm]
>
>
>
>
> Moin,
>
> Volumen eines Rotationskörpers...
>
> [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{0}^{\pi}{f(x)^2 dx}[/mm]
>
>
> Hier würde ich zunächst die Schnittpunkte bestimmen...
>
> sin x = c
>
> Wie müsste ich die Ergebnisse [mm]x_1[/mm] / [mm]x_2[/mm] notieren?
x= [mm] sin^{-1}(c) [/mm] ist nicht eindeutig in [mm] [0;\pi]
[/mm]
Deshalb entweder unterscheiden zwischen den Intervallen [mm] [0;\bruch{\pi}{2}] [/mm] und [mm] [\bruch{\pi}{2};\pi] [/mm] und jeweils darin [mm] x=sin^{-1}(c) [/mm] betrachten, oder eine Menge angeben:
[mm] M:={x\in [0;\pi] : x=sin^{-1}(c)}
[/mm]
enthält genau zwei Elemente, die du [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] nennen kannst, z.B. der Größe nach geordnet.
>
> ...und dann v(x) aufstellen...
>
> v(x) = [mm]\pi*\integral_{0}^{x_1}{f(x)^2 dx}[/mm] +
> [mm]\pi*\integral_{x_1}^{x_2}{f(x)^2 dx} +\pi*\integral_{x_2}^{\pi}{f(x)^2 dx}[/mm]
>
>
> Bei der Bildung der Stammfunktion habe ich ein Problem.
>
> f(x) = sin x
Achtung: Du solltest hier nicht f(x) rotieren lassen, sondern f(x)-c bzw. c-f(x), denn f soll doch um die Gerade kreisen!
>
> [mm]f(x)^2[/mm] = [mm]sin^2[/mm] x
>
> Aber was ist hiervon die Stammfunktion???
[mm] sin^{2}(x) [/mm] = [mm] 1-cos^{2}(x)
[/mm]
und
[mm] cos^{2}(x)=\bruch{1}{2}*(1+cos(2x))
[/mm]
Damit sollte es eigentlich klappen!
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>
> Gruß
> Wolfgang
LG djmatey
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Do 04.12.2008 | | Autor: | hase-hh |
moin,
also hätte ich
[mm] x_1 [/mm] = [mm] sin^{-1}(c) [/mm] mit [mm] x_1 \in [/mm] [0; [mm] \bruch{\pi}{2}]
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] sin^{-1}(c) [/mm] mit [mm] x_2 \in [\bruch{\pi}{2} ;\pi]
[/mm]
=> v(x) = [mm] \integral_{0}^{x_1}{f(x)^2 dx} [/mm] + [mm] \integral_{x_1}^{x_2}{f(x)^2 dx} [/mm] + [mm] \integral_{x_2}^{\pi}{f(x)^2 dx}
[/mm]
f(x) = sin x - c
[mm] f(x)^2 [/mm] = [mm] (sin^2 [/mm] x - 2c*sin x + [mm] c^2)
[/mm]
[mm] sin^2 [/mm] x = 1 - [mm] cos^2 [/mm] x
= 1 - [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*cos(2x) [/mm] )
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*cos(2x) [/mm] )
F(x) = [mm] \bruch{1}{2}*x [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*sin(2x) [/mm] +2c*cos x + [mm] c^2*x [/mm]
soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Do 04.12.2008 | | Autor: | djmatey |
> moin,
>
> also hätte ich
>
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]sin^{-1}(c)[/mm] mit [mm]x_1 \in[/mm] [0; [mm]\bruch{\pi}{2}][/mm]
>
> [mm]x_2[/mm] = [mm]sin^{-1}(c)[/mm] mit [mm]x_2 \in [\bruch{\pi}{2} ;\pi][/mm]
>
> => v(x) = [mm]\integral_{0}^{x_1}{f(x)^2 dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{x_1}^{x_2}{f(x)^2 dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{x_2}^{\pi}{f(x)^2 dx}[/mm]
>
Hier fehlt je ein [mm] \pi [/mm] vor den Integralen.
>
> f(x) = sin x - c
>
> [mm]f(x)^2[/mm] = [mm](sin^2[/mm] x - 2c*sin x + [mm]c^2)[/mm]
>
> [mm]sin^2[/mm] x = 1 - [mm]cos^2[/mm] x
>
> = 1 - [mm](\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}*cos(2x)[/mm] )
Das zweite Minus sollte hier ein Plus sein.
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}*cos(2x)[/mm] )
Hier entsprechend ein Minus...
>
>
> F(x) = [mm]\bruch{1}{2}*x[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}*sin(2x)[/mm] +2c*cos x +
> [mm]c^2*x[/mm]
>
> soweit richtig?
>
Der Faktor vor dem Sinus muss [mm] \bruch{1}{4} [/mm] sein statt [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Bitte leite nochmal ab - nicht die Kettenregel beim sin vergessen 
Und vorsicht mit den Bezeichnungen: Bei F(x) denkt jeder an eine Stammfunktion von f, aber es ist ja eine von [mm] f^2...
[/mm]
LG djmatey
>
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>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Do 04.12.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
Ich frage mich,ob ich nicht viel zu kompliziert denke.
Der Rotationskörper soll entstehen durch Rotation um die gerade y=c ; gewissermaßen also um die c-Achse.
Also bilde ich f(x) - c
eine weitere Unterteilung meines Intervalls ist nicht nötig.
v(x) = [mm] \pi*\integral_{0}^{\pi}{(f(x) -c)^2 dx}
[/mm]
(f(x) - [mm] c)^2 [/mm] = (sin(x) - [mm] c)^2 [/mm]
= [mm] sin^2(x) [/mm] - 2*c*sin(x) [mm] +c^2
[/mm]
v(x) = [mm] \pi*\integral_{0}^{\pi}{(sin^2(x) - 2*c*sin(x) +c^2) dx}
[/mm]
nach Additionssatz ist
[mm] sin^2(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(1 [/mm] - cos(2x))
Stammfunktion zu h(x) = - cos(2x)
H(x) = - [mm] \bruch{1}{2}*sin(2x) [/mm]
=>
v(x) = [mm] \pi*\integral_{0}^{\pi}{(\bruch{1}{2} - \bruch{1}{2}*cos(2x) - 2*c*sin x +c^2*x) dx}
[/mm]
V(x) = [mm] \pi*[\bruch{1}{2}x [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}*sin(2x) [/mm] + 2*c*cos(x) [mm] +c^2*x]
[/mm]
V(x) = [mm] \pi*[(\bruch{1}{2}*\pi [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}*sin(2*\pi) [/mm] + [mm] 2*c*cos(\pi) +c^2*\pi) [/mm] - [mm] (\bruch{1}{2}*0 [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}*sin(2*0) [/mm] + 2*c*cos(0) [mm] +c^2*0) [/mm] ]
V = [mm] \pi* (\bruch{1}{2}*\pi [/mm] -2c [mm] +c^2*\pi [/mm] - 2c )
V = [mm] c^2*\pi^2 -4c*\pi [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\pi^2
[/mm]
V ' = [mm] 2*\pi^2*c [/mm] - [mm] 4*\pi
[/mm]
0 = [mm] 2*\pi^2*c [/mm] - [mm] 4*\pi
[/mm]
c = [mm] \bruch{2}{\pi}
[/mm]
=> Minimum
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Fr 05.12.2008 | | Autor: | djmatey |
> Moin!
Moin!
>
> Ich frage mich,ob ich nicht viel zu kompliziert denke.
>
>
> Der Rotationskörper soll entstehen durch Rotation um die
> gerade y=c ; gewissermaßen also um die c-Achse.
>
> Also bilde ich f(x) - c
>
>
> eine weitere Unterteilung meines Intervalls ist nicht
> nötig.
>
> v(x) = [mm]\pi*\integral_{0}^{\pi}{(f(x) -c)^2 dx}[/mm]
OK, aber das ist keine Funktion, die von x abhängt, sondern eine von c abhängige Konstante, denn das Integral kannst du ja ausrechnen! Deshalb lass das v(x) einfach weg.
Es ist vielmehr eine Funktion, die von c abhängt. v(c) wäre hier also sinnvoll.
>
> (f(x) - [mm]c)^2[/mm] = (sin(x) - [mm]c)^2[/mm]
>
> = [mm]sin^2(x)[/mm] - 2*c*sin(x) [mm]+c^2[/mm]
>
> v(x) = [mm]\pi*\integral_{0}^{\pi}{(sin^2(x) - 2*c*sin(x) +c^2) dx}[/mm]
Hier auch: v(c)
>
> nach Additionssatz ist
>
> [mm]sin^2(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}*(1[/mm] - cos(2x))
>
>
> Stammfunktion zu h(x) = - cos(2x)
>
> H(x) = - [mm]\bruch{1}{2}*sin(2x)[/mm]
>
> =>
>
> v(x) = [mm]\pi*\integral_{0}^{\pi}{(\bruch{1}{2} - \bruch{1}{2}*cos(2x) - 2*c*sin x +c^2*x) dx}[/mm]
Hier auch: v(c). Außerdem muss das x hinter dem [mm] c^2 [/mm] wech. 
>
>
> V(x) = [mm]\pi*[\bruch{1}{2}x[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}*sin(2x)[/mm] +
> 2*c*cos(x) [mm]+c^2*x][/mm]
>
Hier wird's mit deinem v dann ganz verwirrend: Du bildest die Stammfunktion des Integranden, also von [mm] (f(x)-c)^2, [/mm] nicht von v. Diese Zeile als neue Funktion zu benennen, ist nicht richtig, denn es ist immer noch v(c), nur halt ausgerechnet.
>
> V(x) = [mm]\pi*[(\bruch{1}{2}*\pi[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}*sin(2*\pi)[/mm] +
> [mm]2*c*cos(\pi) +c^2*\pi)[/mm] - [mm](\bruch{1}{2}*0[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{4}*sin(2*0)[/mm] + 2*c*cos(0) [mm]+c^2*0)[/mm] ]
Schreib hier auch v(c).
>
> V = [mm]\pi* (\bruch{1}{2}*\pi[/mm] -2c [mm]+c^2*\pi[/mm] - 2c )
Hier hast du wohl gemerkt, dass irgendwas nicht stimmt mit dem v(x), und hast elegant auf v(c) gewechselt. Das kannst du einfach von Anfang an verwenden.
>
> V = [mm]c^2*\pi^2 -4c*\pi[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}*\pi^2[/mm]
>
>
> V ' = [mm]2*\pi^2*c[/mm] - [mm]4*\pi[/mm]
Richtig: v'(c)
>
> 0 = [mm]2*\pi^2*c[/mm] - [mm]4*\pi[/mm]
>
> c = [mm]\bruch{2}{\pi}[/mm]
>
> => Minimum
>
OK, streng genommen Prüfung: [mm] v''(\bruch{2}{\pi})=2\pi^2 [/mm] > 0, also Minimum.
Die Rechnungen stimmen soweit - guck dir nur nochmal das v genauer an!
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mo 08.12.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
das bedeutet, ich bilde also v(c) und integriere dann nach dx, richtig?
Bilde dann die Stammfunktion und setze für x=a (x=0) bzw. für x=b [mm] (x=\pi) [/mm] ein.
Dann ist mein Ergebnis auch korrekt?
Gruß
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Di 09.12.2008 | | Autor: | djmatey |
> Moin,
>
> das bedeutet, ich bilde also v(c) und integriere dann nach
> dx, richtig?
Genau. Ein Integral [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] selbst ist eine Konstante, keine von x abhängige Funktion. Wenn allerdings eine zweite Variable im Integral auftaucht, kann das Ganze als Funktion dieser Variablen betrachtet werden, da das Integral ja dann von ihr abhängt.
>
> Bilde dann die Stammfunktion und setze für x=a (x=0) bzw.
> für x=b [mm](x=\pi)[/mm] ein.
>
> Dann ist mein Ergebnis auch korrekt?
>
Ja, ich habe dasselbe raus.
>
> Gruß
> Wolfgang
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LG djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:01 Di 09.12.2008 | | Autor: | reverend |
Ganz am Rande:
Falls Du schon am PC sitzt und weder eine Formelsammlung zur Hand hast noch eine im Internet findest, dann ist dieser ![[]](/images/popup.gif) Integrator ziemlich genial.
[mm] \integral{\sin^2{x} dx}=\bruch{1}{2}\left(1-\bruch{1}{2}\sin{2x}\right)
[/mm]
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