Sigma Algebra < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo. Ich studiere nicht Mathematik sondern Psychologie und bin ich mit Hinblick auf meine anstehende Vordiploms-Prüfung in Methodenlehre etwas ratlos. Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen.
In Zusammenhang mit Verteilungsfunktionen von diskreten und stetig verteilten Zufallsvariablen taucht in der Vorlesung die Sigma Algebra und die Borel sigma Algebra auf. Die Borel Sigma algebra ist definiert als die kleinste Sigma Algebra über den reellen Zahlen, die alle Intervalle enthält, sowie alle Komplemente der Intervalle sowie alle Vereinigungen und abzählbaren Kombinationen. Viel mehr - außer der Beweisführung, dass auch die einelementigen Mengen zur Borel Sigma Algebra gehören, haben wir dazu nicht besprochen.
Nun zu meiner Frage:
1. Wozu kann ich die Sigma algebra praktisch brauchen?
2. In welchem Zusammenhang steht sie zu verteilungsfunktionen von Zufallsvariabeln?
Schon mal vielen Dank!
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Hallo psychostudent,
schön dass jemand wie du - ist nicht böse gemeint  sich überhaupt für solche mathematischen Stolpersteine interessiert.
Also du weißt ja, dass man beim rechnerische Verhalten von relativen Häufigkeiten abgeschaut hat, als man die nach Kolmogorow benannten Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung aufgestellt hat. Unter anderem wird dort gefordert, dass für zwei Ereignisse [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm], die nicht gleichzeitig eintreten können, gilt:
[mm]P(A\cup B)=P(A)+P(B)[/mm]
Bei einem [mm]\Omega[/mm], das nicht mehr endlich ist, kann es passieren, dass diese Forderung Probleme bereitet. Deshalb hat man sich darüber einige Gedanken gemacht.
Eine Sigma-Algebra ist ein System von Teilmengen einer Grundmenge X, das die gleichen Eigenschaften haben soll, wie man sie von einem anständigen Ergebnisraum [mm]\Omega[/mm] bzw. eigentlich dem Ereignisraum, der Potenzmenge von [mm]\Omega[/mm] erwartet.
Die Potenzmenge ist aber oft zu 'groß', also muss man auf ein paar Ereignisse verzichten, um die - Sigma-Additivität genannte - Forderung des obigen Axioms zu erhalten.
Kurz gesagt, es gibt durchaus problematische Ereignisräume, in denen man nicht so naiv herumrechnen darf. Deshalb zieht man sich auf einen kleineren Ereignisraum zurück, in dem ich dafür alles machen darf, wie ich es von endlichen Ereignisräumen gewohnt bin.
Wenn es noch jemand zutreffender formulieren kann, dann möge er kein Blatt vor den Mund nehmen und mich verbessern.
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Hallo Hugo!
Vielen, vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Ich glaube ich habe jetzt sehr viel mehr Durchblick bekommen. Ich möchte aber nochmals sichergehen, dass ich dich richtig verstanden habe: Also ich benutze die Sigma Algebra um Grundmenge G "handlicher" zu machen, da bei unendlichem G die Kolmogoroff-Axiome unter Umständen nicht mehr gelten . Wie z.B. dass die wahrscheinlichkeit einer Vereinigung disjunkter Ereignisse die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten ist.
Dann ist also die größte Sigmaalgebra (= größtes System an Teilmengen) die Potenzmenge und die kleinste lediglich die, die aus der leeren Menge und G besteht. Praktisch bringen mir beide aber eher nichts.
Ist der Rückschluß auf die Borel-Sigma-Algebra jetzt lediglich der, dass dies eine Sigma-Algebra über den reellen Zahlen ist? Und wie ist die Verbindung zu den Verteilungen von Zufallsvariabeln?
Es wäre lieb, wenn du / ihr mir da noch weiterhelfen könntet.
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Also nochmal zusammengefasst:
Man geht aus von einer Grundmenge X. eine Menge von Teilmengen, die gewisse Eigenschaften erfüllt, heißt Sigma-Algebra.
Daneben gibt es den Begriff des Maßes. Und zwar ist ein Maß eine auf einer Sigma-Algebra definierte Funktion mit folgenden Eigenschaften:
(1) das Maß jeder Menge ist größer oder gleich Null,
(2) das Maß der leeren Menge ist Null,
(3) die Vereinigung von zwei Mengen hat - wenn die beiden Mengen einen leeren Schnitt besitzen - als Maß die Summe der einzelnen Maße
Eigenschaft (3) ist das fragliche Axiom, diese Eigenschaft nennt man Sigma-Additivität. Wenn man eine Maßfunktion haben möchte (und um die geht es eigentlich) dann braucht man als Mengen, denen man ein Maß zuordnet,
solche Mengen, die schön genug miteinander umgehen.
Der Begrif Sigma-Algebra ist lediglich die Minimalforderung, wie schön die gemessenen Mengen in deinem Grundraum X miteinander 'umgehen' müssen (bezüglich Komplementbildung und Vereinigung) um eine Maßfunktion definieren zu können. Diese Maßfunktion nimmt dann bei dir nur Werte zwischen Null und Eins an und gibt an, mit welcher Wahrschienlichkeit das von der jeweiligen Menge repräsentierte Ereignis eintritt.
Also ist das Maß das entscheidendene, die Sigma-Algebra eine notwendige Vorbedingung, um ein Maß definieren zu können, und dieses Maß ist dann deine 'Wahrscheinlichkeitsfunktion'.
Noch kurz eine Bemerkung zur Borelschen Sigma-Algebra. Diese ist laut Definition die kleinste Sigma-Algebra, die alle offenen Teilmengen von X enthält. X muss dabei ein metrischer Raum sein, d.h. es existiert eine Abstandsfunktion - eine sogenannte Metrik - auf X. Eine Metrik hat gewisse Eigenschaften, nämlich:
(1) d(x,y)>=0 und nur dann =0, wenn x=y -- Positivität
(2) d(x,y)=d(y,x) -- Reflexivität
(3) d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z) -- Dreiecksungleichung
In einem metrischen Raum gibt es sowas wie ein Volumen und diese Volumenzuordung ist dann deine 'Wahrscheinlichkeitsfunktion'. Dafür brauchst du wie schon gesagt eine Sigma-Algebra. Die Borelsche Sigma-Algebra ist einfach eine solche Sigma-Algebra, dass man die relevanten Mengen nimmt und nicht einfach irgendwelche.
Ist X die Menge der reellen Zahlen, dann enthält die Borelsche Sigma-Algebra auf X alle offenen Intervalle und dann wegen der Sigma-Algebra-Eigenschaft auch alle abgeschlossenen Intervalle. In der Regel betreibt man W-Rechnung auf solchen Teilmengen der reelen Zahlen und um ein Maß für diese Mengen definieren zu können braucht man eine Sigma-Algebra. Die Borelsche Sigma-Algebra ist einfach die kleiste mit der das möglich ist und die alle relevanten Mengen abdeckt, also nimmt man die, damit alle Leute auf der Welt eine ganz bestimmte Algebra benutzen und nicht jeder seine.
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Hallo Hugo,
vielen Dank nochmals für deine Hilfe und deine Mühe! Ich glaube jetzt habe ich einiges an Einsicht gewonnen!
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