matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesSingulärwertzerlegung
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Singulärwertzerlegung
Singulärwertzerlegung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Singulärwertzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Sa 11.06.2016
Autor: DerPinguinagent

Aufgabe
Bestimmen Sie die Singulärwertzerlegung von

[mm] A=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & 1} \in \IR^{3x2} [/mm]


Ist das bisher so richtig?

[mm] A^{T}*A= \pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 }* \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & 1}=\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }=:B [/mm]

Bestimmung der Eigenwerte:

[mm] p(t)=\pmat{ 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda }= \lambda^{2}-6\lambda+8=(\lambda-4)(\lambda-2). [/mm]  

=>EW sind also: [mm] \lambda_{1}=4 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=2 [/mm]

Bestimmung der Eigenvektoren:

[mm] (A-\lambda_{i}*E)*x_{i}=0 \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,2}

Einsetzen ergibt [mm] \overrightarrow{v}_{1}=\vektor{ \lambda \\ \lambda} \wedge \overrightarrow{v}_{2}=\vektor{ -\lambda \\ \lambda} [/mm]

Also die Singulärwerte sind:

[mm] G_{1}=\wurzel{4} \wedge G_{2}=\wurzel{2} [/mm]

Nun Bestimme ich das ONS:

[mm] \overrightarrow{w}_{1}=1/G_{1}*A* \overrightarrow{v}_{1} \wedge \overrightarrow{w}_{2}=1/G_{2}*A* \overrightarrow{v}_{2}. [/mm]

Einsetzen ergiebt:

[mm] \overrightarrow{w}_{1}=\vektor{\lambda \\ 0 \\ \lambda} \wedge \overrightarrow{w}_{1}=\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0} [/mm]

Ergänzen zu ONB mittels Gramm-Schmidt:

Sei [mm] u_{1}=\vektor{\lambda \\ 0 \\ \lambda} [/mm] und [mm] u_{2}=\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}. [/mm] Wähle ein linear unabhängigen Vektor [mm] v_{3} e_{2}, [/mm] sodass gilt:

[mm] u_{3}= \vektor{0 \\ 1 \\ 0}-<\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}>*\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}-<\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{\lambda \\ 0 \\ \lambda}>*\vektor{\lambda \\ 0 \\ \lambda}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}-\wurzel{2}\lambda*\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}-\vektor{0 \\ 2*\lambda^{2} \\ 0}=\vektor{0 \\ -2\lambda^{2}+1 \\ 0} [/mm]

[mm] \overrightarrow{u_3}=\bruch{1}{\wurzel{(-2\lambda+1)^{2}}}\vektor{0 \\ 2\lambda^{2}+1 \\ 0}=\vektor{0 \\ \bruch{(-2\lambda+1)}{\wurzel{(-2\lambda+1)^{2}}} \\ 0} [/mm]

Weiter weiß ich leider nicht! Vielleicht kann mir das jemand von euch erklären?!

LG DerPinguinagent

        
Bezug
Singulärwertzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:00 So 12.06.2016
Autor: hippias


> Bestimmen Sie die Singulärwertzerlegung von
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & 1} \in \IR^{3x2}[/mm]
>  
> Ist das bisher so richtig?
>  
> [mm]A^{T}*A= \pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 }* \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & 1}=\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }=:B[/mm]
>  
> Bestimmung der Eigenwerte:
>
> [mm]p(t)=\pmat{ 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda }= \lambda^{2}-6\lambda+8=(\lambda-4)(\lambda-2).[/mm]
>  
>
> =>EW sind also: [mm]\lambda_{1}=4[/mm] und [mm]\lambda_{2}=2[/mm]
>  
> Bestimmung der Eigenvektoren:
>  
> [mm](A-\lambda_{i}*E)*x_{i}=0 \forall[/mm] i [mm]\in[/mm] {1,2}
>  
> Einsetzen ergibt [mm]\overrightarrow{v}_{1}=\vektor{ \lambda \\ \lambda} \wedge \overrightarrow{v}_{2}=\vektor{ -\lambda \\ \lambda}[/mm]
>  

Gibt es einen guten Grund, weshalb Du die EV so schreibst? Weshalb nicht [mm] $\overrightarrow{v}_{1}=\vektor{ 1 \\ 1}$ [/mm] und $  [mm] \overrightarrow{v}_{2}=\vektor{ -1 \\ 1}$? [/mm]

> Also die Singulärwerte sind:
>  
> [mm]G_{1}=\wurzel{4} \wedge G_{2}=\wurzel{2}[/mm]
>  
> Nun Bestimme ich das ONS:
>  
> [mm]\overrightarrow{w}_{1}=1/G_{1}*A* \overrightarrow{v}_{1} \wedge \overrightarrow{w}_{2}=1/G_{2}*A* \overrightarrow{v}_{2}.[/mm]
>
> Einsetzen ergiebt:
>
> [mm]\overrightarrow{w}_{1}=\vektor{\lambda \\ 0 \\ \lambda} \wedge \overrightarrow{w}_{1}=\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}[/mm]
>  
> Ergänzen zu ONB mittels Gramm-Schmidt:
>  
> Sei [mm]u_{1}=\vektor{\lambda \\ 0 \\ \lambda}[/mm] und
> [mm]u_{2}=\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}.[/mm] Wähle ein
> linear unabhängigen Vektor [mm]v_{3} e_{2},[/mm] sodass gilt:
>  
> [mm]u_{3}= \vektor{0 \\ 1 \\ 0}-<\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}>*\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}-<\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{\lambda \\ 0 \\ \lambda}>*\vektor{\lambda \\ 0 \\ \lambda}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}-\wurzel{2}\lambda*\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}-\vektor{0 \\ 2*\lambda^{2} \\ 0}=\vektor{0 \\ -2\lambda^{2}+1 \\ 0}[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{u_3}=\bruch{1}{\wurzel{(-2\lambda+1)^{2}}}\vektor{0 \\ 2\lambda^{2}+1 \\ 0}=\vektor{0 \\ \bruch{(-2\lambda+1)}{\wurzel{(-2\lambda+1)^{2}}} \\ 0}[/mm]
>  

Seien [mm] $u_{1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}$ [/mm] und
[mm] $u_{2}=\vektor{0 \\ \wurzel{2}\\ 0}$. [/mm] Offensichtlich ist [mm] $u_{3}= \vektor{1\\0\\-1}$ [/mm] orthogonal zu [mm] $u_{1}$ [/mm] und [mm] $u_{2}$. [/mm] Nun kannst Du noch normieren, wenn Du willst.

> Weiter weiß ich leider nicht! Vielleicht kann mir das
> jemand von euch erklären?!
>  
> LG DerPinguinagent


Bezug
        
Bezug
Singulärwertzerlegung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:30 So 12.06.2016
Autor: DerPinguinagent

Für die Matrix U habe ich [mm] U=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \wurzel{2} & -1 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] und für [mm] S=\pmat{ \wurzel{4} & 0 \\ 0 & \wurzel{2} \\ 0 & 0 } [/mm] raus. Wie bekomme ich die Matrix V raus, damit [mm] A=USV^{T} [/mm] gilt.

Vielen Dank im Voraus!

LG DerPinguinagent

PS: Bei den Eigenvektoren habe ich für [mm] \lambda=1 [/mm] eingesetzt

Bezug
                
Bezug
Singulärwertzerlegung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Di 14.06.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]