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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Sinusfunktion - 2 Lösungen
Sinusfunktion - 2 Lösungen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Sinusfunktion - 2 Lösungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 So 09.08.2015
Autor: Rebellismus

Aufgabe
Ich will die Nullstellen der folgenden Funktion bestimmen

0=1+sin(x+2)

x=arcsin(-1)-2=-92°

das wäre eine Lösung. Es soll bei einer sinusgleichung 2 Lösungen geben.

Wie bestimme ich die zweite Lösung? und wieso gibt es zwei Lösungen?


        
Bezug
Sinusfunktion - 2 Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 So 09.08.2015
Autor: M.Rex

Hallo

Mach dir mal am Einheitskreis kar, dass folgende Beziehungen gelten:

[mm] \sin(\alpha)=\sin(180-\alpha) [/mm]
[mm] \cos(\alpha)=\cos(360-\alpha) [/mm]
bzw im Bogenmaß
[mm] \sin(\alpha)=\sin(\pi-\alpha) [/mm]
[mm] \cos(\alpha)=\cos(2\pi-\alpha) [/mm]

[Dateianhang nicht öffentlich]

Hier also:

[mm] 0=1+\sin(x+2) [/mm]
[mm] \Leftrightarrow-1=\sin(x+2) [/mm]

Sollst du nun im Gradmaß rechnen, bedenke, dass nur [mm] x=270^{\circ} [/mm] zu einem Sinuswert von -1 fürht, hier gibt es also nur eine Lösung, aus [mm] -1=\sin(x+2) [/mm] folgt nur, dass [mm] 270^{\circ}=x+2 [/mm] und das führt zu [mm] x=268^{\circ} [/mm]

Im Bogenmaß (und die Variablenbezeichnung x deutet deher auf eine Rechnung im Bogenmaß hin, bekommst du die Lösung [mm] x=\frac{3}{2}\pi-2 [/mm]

Marius

 

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Sinusfunktion - 2 Lösungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:58 So 09.08.2015
Autor: rmix22


> Im Bogenmaß (und die Variablenbezeichnung x deutet deher
> auf eine Rechnung im Bogenmaß hin, bekommst du die Lösung
> [mm]x=\frac{3}{2}\pi-2[/mm]
>  

Da das Argument in der Angabe x+2 und nicht x+2° lautet, ist definitiv die 2 als Winkel im Bogenmaß zu interpretieren. Es ist daher sinnvoll, auch die Lösung im Bogenmaß anzugeben. Andernfalls müsste 2 ins Gradmaß umgerechnet werden.

RMix


Bezug
        
Bezug
Sinusfunktion - 2 Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 So 09.08.2015
Autor: fred97

Ergänzend zu Marius:

die Gleichung

    [mm] $0=1+\sin(x+2) [/mm] $

hat in [mm] \IR [/mm] unendlich viele Lösungen. Welche ?

FRED

Bezug
                
Bezug
Sinusfunktion - 2 Lösungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 So 09.08.2015
Autor: Rebellismus


> Ergänzend zu Marius:
>  
> die Gleichung
>
> [mm]0=1+\sin(x+2)[/mm]
>  
> hat in [mm]\IR[/mm] unendlich viele Lösungen. Welche ?
>  
> FRED


n*360*[arcsin(-1)-2]

stimmt das?


Bezug
                        
Bezug
Sinusfunktion - 2 Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 So 09.08.2015
Autor: M.Rex


> > Ergänzend zu Marius:
> >
> > die Gleichung
> >
> > [mm]0=1+\sin(x+2)[/mm]
> >
> > hat in [mm]\IR[/mm] unendlich viele Lösungen. Welche ?
> >
> > FRED

>
>

> n*360*[arcsin(-1)-2]

>

> stimmt das?

Rechne besser im  Bogenmaß.

Also, wie oben schon gesagt, da es im Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] nur den Wert [mm] x=\frac{3}{2}\pi [/mm] gibt, bei dem gilt [mm] sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)=-1, [/mm] gibt es nur die Lösung [mm] x=\frac{3}{2}\pi [/mm] im Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm]
Beachtest du nun noch die -2, bekommst du [mm] x=\frac{3}{2}\pi-2 [/mm]

Nun ist der Sinus [mm] aber$2\pi$-periodisch, [/mm] also wiederholen sich die Lösungen alle [mm] 2\pi [/mm]

Das führt zu den Lösungen

[mm] \left[\frac{3}{2}\pi-2\right]+k\cdot2\pi [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm]

Marius

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