Skalarprodukt < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Fr 15.06.2007 | | Autor: | Hume |
| Aufgabe | 1. Welchen Winkel schließt der Vektor [mm] \overrightarrow{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] mit der x1 - Koordinatenachse ein?
2. Gegeben sind [mm] \overrightarrow{a}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b}=\vektor{3 \\ 0 \\ c}. [/mm] Wie muss die Koordinate c gewählt werden, damit doe Vektoren einen Winkel von 45° einschließen? |
zu 1: Für die Koordinatenachse habe ich einfach den Vektor [mm] $\overrightarrow{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}$ [/mm] gewählt, dann ergibt sich ein Winkel von ~30°. Ist das so richtig?
zu 2: ich würde sagen, dass c die Gleichung
[mm] \bruch{6+c}{\wurzel{5}*\wurzel{3^2+c}}=\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
erfüllen muss. Wie könnte man c genau bestimmen?
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> 1. Welchen Winkel schließt der Vektor
> [mm]\overrightarrow{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] mit der x1 -
> Koordinatenachse ein?
>
> 2. Gegeben sind [mm]\overrightarrow{a}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{b}=\vektor{3 \\ 0 \\ c}.[/mm] Wie muss die
> Koordinate c gewählt werden, damit doe Vektoren einen
> Winkel von 45° einschließen?
> zu 1: Für die Koordinatenachse habe ich einfach den Vektor
> [mm]\overrightarrow{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] gewählt, dann
> ergibt sich ein Winkel von ~30°. Ist das so richtig?
Hmm, lass mich mal überlegen, wie ich dies rechnen würde (und ich schreibe alles etwas gar übertrieben pedantisch hin, um etwaige Differenzen zu Deinem Weg, den Du nicht genauer beschrieben hast, deutlich zu machen):
[mm]\sphericalangle(\vec{a},\vec{e}_1) = \cos^{-1}\left|\frac{\vec{a}\cdot \vec{e_1}}{a\cdot e_1}\right| = \cos^{-1}\Big|\frac{\vektor{1 \\ 1 \\ 1}\cdot \vektor{1 \\ 0 \\ 0}}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\cdot \sqrt{1^2+0^2+0^2}}\Big| = \cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 54.7^\circ[/mm]
Du siehst: ich erhalte einen deutlich grösseren Winkel (dieser Winkel muss auch der Winkel zwischen Kante und Diagonale in einem Würfel sein: dafür erscheinen mir Deine [mm]30^\circ[/mm] eindeutlig zu klein).
> zu 2: ich würde sagen, dass c die Gleichung
>
> [mm]\bruch{6+c}{\wurzel{5}*\wurzel{3^2+c}}=\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> erfüllen muss.
Wie kommst Du darauf? - Ich meine: die Grundidee scheint richtig zu sein, aber Du hast dies, nach meinem Gefühl, zu hastig hingeworfen. Lass mich auch diese Überlegung ausführlicher hinschreiben:
[mm] \frac{\vektor{2\\2\\1}\cdot \vektor{3\\0\\c}}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}\cdot \sqrt{3^2+0^2+c^2}}= \cos(45^\circ)[/mm]
dies ergibt, wenn ich mich nicht irre, aber (im Gegensatz zu Deinem Ansatz)
[mm]\frac{6+c}{3\cdot \sqrt{9+c^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}[/mm]
> Wie könnte man c genau bestimmen?
 Na: indem man diese Gleichung nach [mm]c[/mm] auflöst. Zum Beispiel kannst Du die ganze Gleichung erst einmal beidseitig quadrieren (musst am Ende aber, wegen der Nicht-Umkehrbarkeit dieses Schrittes, die Kontrolle durch Einsetzen machen müssen). Als nächstes wirst Du denn Nennerterm [mm]9+c^2[/mm] aus dem Nenner wegschaffen wollen: dann hast Du, möchte ich einmal vermuten, eine quadratische Gleichung für [mm]c[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Fr 15.06.2007 | | Autor: | Hume |
Beides waren Klausuraufgaben und da ich bei 1) zum Glück genauso gerechnet habe wie Du nehme ich mal an, dass ich das gleiche Ergebnis rausbekommen habe wie Du. Die 30° waren eben mehr nach Gefühl geraten, ich wusste nicht mehr genau was rauskam ;)
Auch meinen Ansatz zu 2) habe ich eben zu schnell "hingeklatscht" - sorry. Ich habe ebenfalls die Gleichung (mit Deinen Werten) aufgestellt (abgesehen von den Betragsstrichen - wieso schreibt man die hin?), wobei ich keine Zeit mehr gefunden hatte, sie zu lösen.
Gäbe es zu 2) vielleicht noch einen anderen Lösungsweg? Irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass unser Lehrer erwartet, dass wir die Gleichung lösen, das könnte so gut wie niemand bei uns. ;) Außerdem waren 1) und 2) nur kleine Teilaufgaben eines Abschnittes (von 5).
Danke für deine Antwort!
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> Beides waren Klausuraufgaben und da ich bei 1) zum Glück
> genauso gerechnet habe wie Du nehme ich mal an, dass ich
> das gleiche Ergebnis rausbekommen habe wie Du. Die 30°
> waren eben mehr nach Gefühl geraten, ich wusste nicht mehr
> genau was rauskam ;)
>
> Auch meinen Ansatz zu 2) habe ich eben zu schnell
> "hingeklatscht" - sorry. Ich habe ebenfalls die Gleichung
> (mit Deinen Werten) aufgestellt (abgesehen von den
> Betragsstrichen - wieso schreibt man die hin?),
Warum schreibt man die hin? - Du hast recht: die hätte ich [i]nicht[i] hinschreiben sollen. Ich war aus irgend einem Grunde völlig auf die Berechnung des Winkels zwischen zwei Geraden (statt Vektoren) fixiert (bei der Berechnung des Winkels zwischen zwei Geraden, der per Definition immer [mm]\leq 90^\circ[/mm] sein muss, nimmt man vor der Anwendung des [mm]\cos^{-1}[/mm] den Betrag, damit sogleich der richtige Winkel - und nicht etwa sein Supplementwinkel herauskommt). Also lass die Betragsstriche bitte weg.
> wobei ich
> keine Zeit mehr gefunden hatte, sie zu lösen.
>
> Gäbe es zu 2) vielleicht noch einen anderen Lösungsweg?
Kaum.
> Irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass unser Lehrer
> erwartet, dass wir die Gleichung lösen, das könnte so gut
> wie niemand bei uns. ;)
Aber hallo: das lernt man in Deutschland doch spätestens in der 11. Klasse!
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Beim ersten Problem musst du über dasSkalarprodukt gehen.
Der Cosinus von alpha ist Skalarprodukt durch das produkt der Beträge.
Also der Kehrwert von Wurzel aus 3, gibt 54,73°.
Beim 2.Problem musst du links das skalarprodukt bilden, also 6+c,
rechts die Beträge 3 und Wurzel aus 9+c*c mit 0.5*Wurzel von 2.
Nun beide Seiten quadrieren, quadratische Gleichung lösen,
gibt c=3/7 und c=3 als Lösung.
Voila!
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