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Spezielle lineare Gruppe: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Mo 29.04.2019
Autor: sven1

Hallo,
ich habe im Lehrbuch zur Algebra folgendes gefunden was ich nicht verstehe.
Sei $H := GL_+(n; [mm] \IR) [/mm] := [mm] \{ A \in GL(n; \IR) : \det A > 0 \}$ [/mm] dann ist nach dem Determinanten-Multiplikations-Satz (der ist mir bekannt):
$ GL(n; [mm] \IR) [/mm]  = H [mm] \cup [/mm] AH = H [mm] \cup [/mm] HA$ für $A [mm] \in [/mm] GL(n; [mm] \IR)$ [/mm] mit [mm] $\det [/mm] A < 0$.

Aber wieso ist
$AH = HA = [mm] \{ B \in GL(n; \IR): \det B < 0 \}$, [/mm] falls [mm] $\det [/mm] A < 0$?

Die erste Inklusion folgt durch den Determinanten-Multiplikations-Satz. Aber die Rückrichtung [mm] $\supseteq$? [/mm]

Ich versuche mir gerade selbst Gruppentheorie beizubringen. Bisher hat es gut geklappt, aber dieses Problem kriege ich nicht gelöst.

Bin für jeden Hinweis dankbar. :)

Beste Grüße

        
Bezug
Spezielle lineare Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Mo 29.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

Sei $X = [mm] \text{diag}(-1,1,\ldots,1), [/mm] B [mm] \in \{ B \in GL(n; \IR): \det B < 0 \} [/mm] $, dann ist $BX [mm] \in [/mm] H$ und X ist selbstinvers.

Reicht dir das als Hinweis?

Gruß,
Gono

Bezug
                
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Spezielle lineare Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:51 Mo 29.04.2019
Autor: sven1

Danke.

Zu zeigen wäre für die Rückrichtung ja dass
$B [mm] \in [/mm] HA$ bzw. $B [mm] \in [/mm] AH$
ist.

Es ist nach deinem Hinweis u.a.
$AX [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \in [/mm] HX [mm] \Rightarrow [/mm] HA [mm] \subseteq [/mm] HHX = HX $.
Folgt sogar $HX [mm] \subseteq [/mm] HA$ und damit $HX = HA$ (1)?

Dann ist analog
$BX [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow [/mm] B [mm] \in [/mm] HX$ und nach (1) $B [mm] \in [/mm] HA$.

Bezug
                        
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Spezielle lineare Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:36 Di 30.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Dann ist analog
> [mm]BX \in H \Rightarrow B \in HX[/mm] und nach (1) [mm]B \in HA[/mm].

ich bin davon ausgegangen, dass A (wie bei H) die Menge aller Matrizzen mit negativer Determinante beschreibt.
Also dass zZ ist $B = [mm] A_1A_2$ [/mm] mit [mm] $det(A_1) [/mm] > 0, [mm] det(A_2) [/mm] < 0$
Dann folgt das einfach aus obigem.

Wie fred gezeigt hat, ist es für fixes A deutlich einfacher :-)

Gruß,
Gono

Bezug
        
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Spezielle lineare Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:13 Di 30.04.2019
Autor: fred97

Sei [mm] $\det [/mm] A <0.$

Ist $B [mm] \in GL(n;\IR)$ [/mm] und [mm] $\det [/mm] B <0$, so zeigen wir $B [mm] \in [/mm] AH$ :

Wir müssen zeigen: es ex. ein $C [mm] \in [/mm] H$ mit $B=AC.$ Wie finden wir den Kandidaten $C$ ? Da alle beteiligten Matrizen invertierbar sind, springt einem das gesuchte $C$ sofort ins Auge:

   [mm] $C=A^{-1}B.$ [/mm]

Dieses $C$ leistet das Gewünschte, denn es ist $C$ invertierbar,  $B=AC$ und

  $ [mm] \det [/mm] C= [mm] \det A^{-1} \cdot \det [/mm] B = [mm] \frac{1}{\det A} \cdot \det [/mm] B >0,$

also $C [mm] \in [/mm] H.$


Genauso zeigt man $B [mm] \in [/mm] HA.$

Bezug
                
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Spezielle lineare Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:35 Di 30.04.2019
Autor: sven1

Danke euch beiden für die Hilfe. Ehrlich gesagt ist es mir doch was peinlich dass ich selbst zu dumm war und es nicht gesehen habe.

Jetzt kann ich zumindest weiterarbeiten, danke.

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