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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Di 02.11.2010 | | Autor: | tmili |
| Aufgabe | Seien A,B,C element K (m x m).
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen gültig sind
i) tr(AB)=tr(BA)
ii) tr(ABC)=tr(BCA)
iii)tr(ABC) ungleich tr(CBA) |
meine lösung zu i):
tr(AB)
= [mm] \summe_{i=1}^{n}(AB)ii [/mm] -->ii als index
= [mm] \summe_{i=1}^{n}(\summe_{k=1}^{n} [/mm] a ik*b ki ) -->ik und ki als index
= [mm] \summe_{k=1}^{n}(\summe_{i=1}^{n} [/mm] b ki*a ik )
= [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (BA) kk
= tr(BA)
kann mir jemand sagen ob das korrekt ist?
zu den beiden anderen habe ich leider noch keine ansätze? kann mir da jemand behilflich sein?ist das so ähnlich wie bei i)?
zur info: transpose haben wir in der vorlesung noch nicht behandelt!
vielen dank im vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Di 02.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moi!
> Seien A,B,C element K (m x m).
> Zeigen Sie, dass folgende Aussagen gültig sind
> i) tr(AB)=tr(BA)
> ii) tr(ABC)=tr(BCA)
> iii)tr(ABC) ungleich tr(CBA)
Die Aussage (iii) ist falsch. Fuer bestimmte Wahlen der Matrizen stimmt die Gleichung sehr wohl! Nur halt nicht fuer alle. Gemeint ist vermutlich, dass man ein Gegenbeispiel angeben soll.
> meine lösung zu i):
> tr(AB)
> = [mm]\summe_{i=1}^{n}(AB)ii[/mm]
> -->ii als index
> = [mm]\summe_{i=1}^{n}(\summe_{k=1}^{n}[/mm] a ik*b ki ) -->ik und
> ki als index
> = [mm]\summe_{k=1}^{n}(\summe_{i=1}^{n}[/mm] b ki*a ik )
> = [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] (BA) kk
> = tr(BA)
>
> kann mir jemand sagen ob das korrekt ist?
Ja.
> zu den beiden anderen habe ich leider noch keine ansätze?
Bei (ii) verwendest du (i), indem du passend klammerst.
Bei (iii) musst du einfach Matrizen finden, bei denen es nicht stimmt.
> zur info: transpose haben wir in der vorlesung noch nicht
> behandelt!
Braucht man hier auch nicht.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Di 02.11.2010 | | Autor: | tmili |
zu ii)
mhh ich habe etwas probleme mit drei matrizen rumzuklammern :(
dachte mir schon, dass das irgendwie so ähnlich gehen muss..
tr(ABC)
= [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (ABC) ii
= [mm] \summe_{i=1}^{n}[a [/mm] ii *( [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] b ik * c ki)]
wäre das ein möglicher anfang?hier darf ich ja auch nicht einfach die terme der multiplikation tauschen oder?ist ja im prinzip nur umgeschrieben?
brauche ich etwa noch ein weiteres summenzeichen?
ich hoffe ich stelle mich nicht allzu blöd an :(
bei i) erscheint es mir logisch wie man die komponenten tauscht, aber hier komme ich iwie auf keinen grünen zweig..
vielen lieben dank für deine schnelle antwort vorher und auch für jede weitere hilfe bin ich sehr dankbar!
liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Di 02.11.2010 | | Autor: | fred97 |
tr(ABC)= tr(A(BC))= tr((BC)A) = tr(BCA)
Das mittlere "=" gilt wegen i)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:17 Mi 03.11.2010 | | Autor: | tmili |
das ist super :)
wenn ich das sehe fällt es mir wie schuppen von den augen!!
vielen dank, morgen versuche ich mich mal noch an iii)
gute nacht :)
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