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Summe von ZV: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 19:53 Mo 25/02/2019
Author: Thomas_Aut

Hallo,

ich setze mich in letzter Zeit ein wenig mit Biomathematik auseinander.

Es werde eine Zellmembran (z.B.) einer Nervenzelle in n Stücke geteilt, die durch [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] Zufallsvariablen beschrieben werden sollen, die in einem kurzen Zeitintervall dt einen Zufallswert $a [mm] \in [/mm] +/- [0,1]$ zugeordnet bekommen. Dieser Wert soll "zufällige" Ionenstromschwankungen repräsentieren.

Uns interessiert das Verhalten der Summe

[mm] $S_{n} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n}X_i$ [/mm]

nun kann man relativ einfach nachrechnen, dass

[mm] $\mathbb{E}[S_{n}^2] [/mm] = [mm] na^2$ [/mm]

bzw

[mm] $\sqrt{\mathb{E}[S_{n}^2]} [/mm] = a [mm] \sqrt{n}$ [/mm]

das bedeutet, dass die Schwankungen im Mittel mit [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] zunehmen.

Und das ist eigentlich auch nichts besonderes, da die Theorie von random walks ziemlich ausgebreitet ist bereits (für random walks entspricht das der mean squared distance).

Nun geht es mir aber darum, dass die [mm] $X_i$ [/mm] tendenziell von gewissen Dingen nicht unabhängig sind (zB der Membranspannung V(t)) und auch Messungen zeigen, dass mit zunehmender Membranspannung auch die Schwankungen zunehmen. D.H. ich würde gerne die [mm] $X_i$ [/mm] in Abhängigkeit der Membranspan "modellieren" und schauen, ob die Schwankungen im Mittel nach wie vor mit Wurzel(n) zunehmen.

Kann ich das ohne empirische Messungen bzw. Erfahrungen irgendwie machen? Rein wenn ich beispielsweise die Änderung der Membranspannung für dt kenne?

zb. mittels

$ [mm] \frac{dV}{dt} [/mm] = [mm] \frac{1}{const.} [/mm] ( [mm] E_{m} [/mm] - V + [mm] \Delta_{T} exp(\frac{V-V_T}{\Delta_T})$ [/mm]

wobei auch [mm] $E_m [/mm] , [mm] \Delta_{T}$ [/mm] Konstanten sind.

Also könnte ich die [mm] $X_i$ [/mm] in Abhängigkeit der Funktion V(t) , bzw. in Abhängigkeit dieser DGL modellieren?


Ich habe dies quasi schon hier gefragt, allerdings mit weniger Ausführungen
https://math.stackexchange.com/questions/3124914/ionic-current-fluctuations?noredirect=1#comment6438669_3124914


Herzlichen Dank im Voraus und LG

Thomas


        
Bezug
Summe von ZV: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:16 Di 26/02/2019
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Es werde eine Zellmembran (z.B.) einer Nervenzelle in n
> Stücke geteilt, die durch [mm]X_1,...,X_n[/mm] Zufallsvariablen
> beschrieben werden sollen, die in einem kurzen
> Zeitintervall dt einen Zufallswert [mm]a \in +/- [0,1][/mm]
> zugeordnet bekommen. Dieser Wert soll "zufällige"
> Ionenstromschwankungen repräsentieren.

Die Aussage ist unklar (und damit auch die unten stehenden Berechnungen):

Nach deinen Aussagen soll gelten: [mm] $X_i \equiv \alpha \in [/mm] [0,1]$ (wobei du bei Stackexchange $(0,1)$ geschrieben hast), wobei [mm] $\alpha$ [/mm] selbst eine ZV mit Werten in $[0,1]$ sein soll.

D.h. es gilt: [mm] $X_1 [/mm] = [mm] X_2 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] X_n [/mm] = [mm] \alpha$ [/mm]
Dann macht aber die Aussage:

> [mm]\mathbb{E}[S_{n}^2] = na^2[/mm]

Gar keinen Sinn.
Die macht nur Sinn, wenn [mm] $\alpha$ [/mm] eine feste relle Zahl ist.
Aber dann wären alle [mm] $X_i \equiv \alpha$ [/mm] konstant und die Aufgabe recht sinnlos.

Klär uns da doch mal etwas auf....

Hinzu kommt, dass deine vermutete Berechnung um auf [mm]\mathbb{E}[S_{n}^2] = na^2[/mm] zu kommen die Unabhängigkeit der [mm] $X_i$ [/mm] voraussetzt.

Klär das erstmal oben auf, dann sehen wir da weiter...

> Nun geht es mir aber darum, dass die [mm]X_i[/mm] tendenziell von
> gewissen Dingen nicht unabhängig sind (zB der
> Membranspannung V(t)) und auch Messungen zeigen, dass mit
> zunehmender Membranspannung auch die Schwankungen zunehmen.
> D.H. ich würde gerne die [mm]X_i[/mm] in Abhängigkeit der
> Membranspan "modellieren" und schauen, ob die Schwankungen
> im Mittel nach wie vor mit Wurzel(n) zunehmen.

dazu musst du ja erstmal modellieren, um eine Aussage darüber treffen zu können.
Es gibt durchaus sowas wie: Die [mm] X_i [/mm] sind iid aber alle abhängig von V

> Kann ich das ohne empirische Messungen bzw. Erfahrungen
> irgendwie machen? Rein wenn ich beispielsweise die
> Änderung der Membranspannung für dt kenne?

Also da deine Definition von den [mm] X_i [/mm] bisher sehr unklar ist, behalten wir uns das mal für später auf...

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Summe von ZV: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 13:42 Di 26/02/2019
Author: Thomas_Aut

Hallo Gono,

mal vielen Dank für deine Bemerkungen.

> Hiho,
>  
> > Es werde eine Zellmembran (z.B.) einer Nervenzelle in n
> > Stücke geteilt, die durch [mm]X_1,...,X_n[/mm] Zufallsvariablen
> > beschrieben werden sollen, die in einem kurzen
> > Zeitintervall dt einen Zufallswert [mm]a \in +/- [0,1][/mm]
> > zugeordnet bekommen. Dieser Wert soll "zufällige"
> > Ionenstromschwankungen repräsentieren.
> Die Aussage ist unklar (und damit auch die unten stehenden
> Berechnungen):

Mit einer Wahrscheinlichkeit (sagen wir [mm] $p_1$) [/mm] , soll der ZV [mm] $X_1$ [/mm] ein Wert aus +/- [0,1] zugeordnet werden.

>  
> Nach deinen Aussagen soll gelten: [mm]X_i \equiv \alpha \in [0,1][/mm]
> (wobei du bei Stackexchange [mm](0,1)[/mm] geschrieben hast), wobei
> [mm]\alpha[/mm] selbst eine ZV mit Werten in [mm][0,1][/mm] sein soll.
>  
> D.h. es gilt: [mm]X_1 = X_2 = \ldots = X_n = \alpha[/mm]
>  Dann macht
> aber die Aussage:
>  
> > [mm]\mathbb{E}[S_{n}^2] = na^2[/mm]
>  
> Gar keinen Sinn.
>  Die macht nur Sinn, wenn [mm]\alpha[/mm] eine feste relle Zahl
> ist.
>  Aber dann wären alle [mm]X_i \equiv \alpha[/mm] konstant und die
> Aufgabe recht sinnlos.
>  
> Klär uns da doch mal etwas auf....

Alle [mm] $X_i$ [/mm] sind unabhängig und nehmen mit Wahrscheinichkeiten [mm] $p_1, ...,p_n$ [/mm] Werte $a [mm] \in [/mm] [-1,1]$ an.



>  
> Hinzu kommt, dass deine vermutete Berechnung um auf
> [mm]\mathbb{E}[S_{n}^2] = na^2[/mm] zu kommen die Unabhängigkeit
> der [mm]X_i[/mm] voraussetzt.

So wäre dann

[mm] $\mathbb{E}[S_n] [/mm] = [mm] \frac{X_1 p_1 + ...+ X_n p_n}{p_1 + ... + p_n}$ [/mm]

wegen

[mm] $p_1 [/mm] + ... + [mm] p_n [/mm] =1$ ist

[mm] $\mathbb{E}[S_n] [/mm] = [mm] X_1 p_1 [/mm] + ... + [mm] X_n p_n$ [/mm]

Damit

[mm] $\mathbb{E}[S_{n}^2] [/mm] = [mm] \mathbb{E}[\sum_{i=1}^{n}X_{i}^2 [/mm] + 2 [mm] \sum_{i
da die [mm] X_i [/mm] u.a. sind, gilt

$2 [mm] \sum_{i
und damit also

[mm] $\mathbb{E}[S_{n}^2] [/mm] = [mm] na^2 [/mm]


>  
> Klär das erstmal oben auf, dann sehen wir da weiter...
>  
> > Nun geht es mir aber darum, dass die [mm]X_i[/mm] tendenziell von
> > gewissen Dingen nicht unabhängig sind (zB der
> > Membranspannung V(t)) und auch Messungen zeigen, dass mit
> > zunehmender Membranspannung auch die Schwankungen zunehmen.
> > D.H. ich würde gerne die [mm]X_i[/mm] in Abhängigkeit der
> > Membranspan "modellieren" und schauen, ob die Schwankungen
> > im Mittel nach wie vor mit Wurzel(n) zunehmen.
>
> dazu musst du ja erstmal modellieren, um eine Aussage
> darüber treffen zu können.
>  Es gibt durchaus sowas wie: Die [mm]X_i[/mm] sind iid aber alle
> abhängig von V

ja genau... sowas sollte es werden :)

>  
> > Kann ich das ohne empirische Messungen bzw. Erfahrungen
> > irgendwie machen? Rein wenn ich beispielsweise die
> > Änderung der Membranspannung für dt kenne?
> Also da deine Definition von den [mm]X_i[/mm] bisher sehr unklar
> ist, behalten wir uns das mal für später auf...
>  
> Gruß,
>  Gono

LG

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Bezug
Summe von ZV: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:01 Di 26/02/2019
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Mit einer Wahrscheinlichkeit (sagen wir [mm]p_1[/mm]) , soll der ZV
> [mm]X_1[/mm] ein Wert aus +/- [0,1] zugeordnet werden.

Und ich vermute mal weiter: Ansonsten ist [mm] $X_1$ [/mm] Null.
Und warum schreibst du [mm] $\pm [/mm] [0,1]$ anstatt $[-1,1]$ ?
Und noch vereinfachter gefragt: Das [mm] $\alpha$ [/mm] spielt doch faktisch gar keine Rolle, denn:

Es soll also gelten: [mm] $X_i [/mm] = [mm] \alpha Y_i$ [/mm] wobei die [mm] $Y_i$ [/mm] Bernoulli-verteilt sind zum Parameter [mm] $p_i$ [/mm]

Das passt aber nicht zu:

> Alle [mm]X_i[/mm] sind unabhängig und nehmen mit
> Wahrscheinichkeiten [mm]p_1, ...,p_n[/mm] Werte [mm]a \in [-1,1][/mm] an.

Wieso WertE?
Sollen die nun doch unterschiedlich sein und es sind eigentlich [mm] $\alpha_i \in [/mm] [-1,1]$?
Das würde aber der i.i.d Annahme widersprechen.

Oder ist meine Beschreibung oben mit den [mm] $Y_i$ [/mm] richtig? Dann wäre [mm] $\alpha$ [/mm] eigentlich nur ein Vorfaktor, der für die weitere Betrachtung eigentlich keine relevante Rolle mehr spielt und ignoriert werden könnte. Es ginge dann nur noch um "Liegt Schwankung vor, oder nicht."

> > Hinzu kommt, dass deine vermutete Berechnung um auf
> > [mm]\mathbb{E}[S_{n}^2] = na^2[/mm] zu kommen die Unabhängigkeit
> > der [mm]X_i[/mm] voraussetzt.
>  
> So wäre dann
>
> [mm]\mathbb{E}[S_n] = \frac{X_1 p_1 + ...+ X_n p_n}{p_1 + ... + p_n}[/mm]
> wegen
>
> [mm]p_1 + ... + p_n =1[/mm] ist
>
> [mm]\mathbb{E}[S_n] = X_1 p_1 + ... + X_n p_n[/mm]

Das ist, sorry, Blödsinn.
Links steht eine reelle Zahl, rechts eine ZV.
Was gilt, ist:
[mm] $E[S_n] [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^n E[X_i] [/mm] = [mm] \alpha \summe_{k=1}^n p_i$ [/mm]

und unter der (bisher nicht erwähnten) Annahme, dass [mm] $\summe_{i=1}^n p_i [/mm] = 1$ wäre das dann gleich [mm] $\alpha$. [/mm]
Allerdings widerspricht dies irgendwie der Annahme der Unabhängigkeit der [mm] $X_i$. [/mm]

Ich tippe jetzt mal ins blaue: Kann es sein, du etwas modellieren willst, in der Art:
Von der Zelle geht ein Potential aus und der Ursprung kommt zufällig aus einem der n-Teilstücke?
Anders kann ich die Annahme  [mm] $\summe_{i=1}^n p_i [/mm] = 1$ nicht deuten.

Sollen sich die [mm] $X_i$ [/mm] denn gegenseitig ausschließen, d.h. wenn [mm] $X_1(\omega) [/mm] = [mm] \alpha$ [/mm] so folgt [mm] $X_i(\omega) [/mm] = 0$ für [mm] $i\in \{2,\ldots,n\}$? [/mm]

Gruß,
Gono


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Summe von ZV: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:33 Di 26/02/2019
Author: Thomas_Aut

Hallo Gono,

hier etwas ausführlicher zum Hintergrund.

Es geht darum die Amplitude der Ionenstromschwankungen in Abhängigkeit der Natriumkanäle zu beschreiben.

Dazu gibt es viele, die das ganze mittels Markovketten machen (also ein Kanal kann offen oder geschlossen sein und zwischen dieses Stadien gibt es Übergangswahrscheinlichkeiten).

Ich wollte mir das ganze mal mittels eines ganz "einfachen" Ansatzes ansehen - man nimmt ein Stück Zellmembran und teilt das zB in 500 kleine Stücke. In einem kurzen Zeitintervall dt ordnen wir einem solchen Stück einen aus [0,1] gleichverteilten Wert zu. Wenn der jetzt z.B. 0,35 ist, dann soll das das Maß für die Ionenstromschwankungen sein.

jetzt ist die Frage wie diese Schwankungen zunehmen, wenn wir immer mehr dieser 500 Teile summieren.

Es geht darum, dass die rms-Amplitude proportional zur Wurzel aus den Teilen wächst.

Wenn ich das programmiere und die Wurzelfunktion dagegenzeichne, sieht man, dass es durchaus so ist.

Nun wollte ich es (wie oben) auch mathematisch etwas ausführen und unter anderem mit einer Abhängigkeit und zwar von der Membranspannung V.

LG

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Bezug
Summe von ZV: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:49 Di 26/02/2019
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Es geht darum die Amplitude der Ionenstromschwankungen in
> Abhängigkeit der Natriumkanäle zu beschreiben.

ok, davon hab ich jetzt naturgemäß nicht ganz so viel Ahnung, aber schauen wir mal, wo das hinführt...
  

> Dazu gibt es viele, die das ganze mittels Markovketten
> machen (also ein Kanal kann offen oder geschlossen sein und
> zwischen dieses Stadien gibt es
> Übergangswahrscheinlichkeiten).

Wenn der Zustand eines Kanals nur zwischen "offen" und "geschlossen" wechseln kann mit einer festen Wahrscheinlichkeit, dann sind diese Markovketten vermutlich nicht allzu komplex.

> Ich wollte mir das ganze mal mittels eines ganz "einfachen"
> Ansatzes ansehen - man nimmt ein Stück Zellmembran und
> teilt das zB in 500 kleine Stücke. In einem kurzen
> Zeitintervall dt

Wenn ich es richtig verstehe: Du willst jetzt also einen fixen Zeitpunkt der Markovkette betrachten, bzw die Änderung zu einem bestimmten Zeitpunkt.
Nun unterteilst du die Zellmembran in 500 kleine Stücke und bezeichnest sie als [mm] $X_1,\ldots,X_{500}$ [/mm]

Nun

> ordnen wir einem solchen Stück einen aus [0,1] gleichverteilten Wert zu.

das klingt aber mehr oder wieder danach, als ob jedes Stück einen unterschiedlichen Wert zugewiesen bekommen kann, also mehr ein [mm] $X_i [/mm] = [mm] \alpha_i$ [/mm]


> Wenn der jetzt z.B. 0,35 ist, dann soll das das Maß für die Ionenstromschwankungen sein.

So wie ich das bisher verstanden hab, soll das 0,35 eher das Maß für den Ionenstrom sein, die Schwankung, also Standardabweichung, willst du ja gerade irgendwie charakterisieren. Korrekt?

> jetzt ist die Frage wie diese Schwankungen zunehmen, wenn
> wir immer mehr dieser 500 Teile summieren.

Also mathematisch: Wie ändert sich die Standardabweichung mit wachsendem n?

Ich denke, es steht und fällt jetzt alles, dass du das oben mal sauber modellierst.
Insbesondere der Abschnitt "wir ordnen einem Stück einen Wert zu" ist mir noch unklar.
Man könnte deine Formulierungen auf verschiedene Weisen deuten, von denen ich mal einige Möglichkeiten darlege.

1.) Alle [mm] $X_i$ [/mm] nehmen mit Wahrscheinlichkeit [mm] p_i [/mm] (wobei mir noch nicht klar ist, wo die herkommen) einen festen Wert [mm] $\alpha \in [/mm] [0,1]$ an, wobei das [mm] \alpha [/mm] für unsere Betrachtungen fest ist.

2.) Alle [mm] $X_i$ [/mm] sind gleichverteilt auf $[0,1]$ und mit Wahrscheinlichkeit [mm] p_i [/mm] tritt der Ionenstrom gerade in Stück [mm] $X_i$ [/mm] auf.

3.) Jedes [mm] $X_i$ [/mm] nimmt mit Wahrscheinlichkeit [mm] p_i [/mm] einen gleichverteilten Wert [mm] $\alpha_i \in [/mm] [0,1]$ an.

Alle drei Möglichkeiten klingen erstmal ähnlich, unterscheiden sich jedoch im Detail und den entsprechenden Berechungen z.T. massiv.... daher müssten wir das zuerst klären.

Gruß,
Gono




Bezug
                                                
Bezug
Summe von ZV: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Date: 08:56 Mi 27/02/2019
Author: Thomas_Aut

Hallo Gono,
> Hiho,
>  
> > Es geht darum die Amplitude der Ionenstromschwankungen in
> > Abhängigkeit der Natriumkanäle zu beschreiben.
>  ok, davon hab ich jetzt naturgemäß nicht ganz so viel
> Ahnung, aber schauen wir mal, wo das hinführt...
>    
> > Dazu gibt es viele, die das ganze mittels Markovketten
> > machen (also ein Kanal kann offen oder geschlossen sein und
> > zwischen dieses Stadien gibt es
> > Übergangswahrscheinlichkeiten).
> Wenn der Zustand eines Kanals nur zwischen "offen" und
> "geschlossen" wechseln kann mit einer festen
> Wahrscheinlichkeit, dann sind diese Markovketten vermutlich
> nicht allzu komplex.
>  
> > Ich wollte mir das ganze mal mittels eines ganz "einfachen"
> > Ansatzes ansehen - man nimmt ein Stück Zellmembran und
> > teilt das zB in 500 kleine Stücke. In einem kurzen
> > Zeitintervall dt
>
> Wenn ich es richtig verstehe: Du willst jetzt also einen
> fixen Zeitpunkt der Markovkette betrachten, bzw die
> Änderung zu einem bestimmten Zeitpunkt.
>  Nun unterteilst du die Zellmembran in 500 kleine Stücke
> und bezeichnest sie als [mm]X_1,\ldots,X_{500}[/mm]
>  
> Nun
>  > ordnen wir einem solchen Stück einen aus [0,1]

> gleichverteilten Wert zu.
> das klingt aber mehr oder wieder danach, als ob jedes
> Stück einen unterschiedlichen Wert zugewiesen bekommen
> kann, also mehr ein [mm]X_i = \alpha_i[/mm]
>  
>
> > Wenn der jetzt z.B. 0,35 ist, dann soll das das Maß für
> die Ionenstromschwankungen sein.
>  So wie ich das bisher verstanden hab, soll das 0,35 eher
> das Maß für den Ionenstrom sein, die Schwankung, also
> Standardabweichung, willst du ja gerade irgendwie
> charakterisieren. Korrekt?
>  
> > jetzt ist die Frage wie diese Schwankungen zunehmen, wenn
> > wir immer mehr dieser 500 Teile summieren.
> Also mathematisch: Wie ändert sich die Standardabweichung
> mit wachsendem n?

Ja genau. :)

>  
> Ich denke, es steht und fällt jetzt alles, dass du das
> oben mal sauber modellierst.
>  Insbesondere der Abschnitt "wir ordnen einem Stück einen
> Wert zu" ist mir noch unklar.
>  Man könnte deine Formulierungen auf verschiedene Weisen
> deuten, von denen ich mal einige Möglichkeiten darlege.
>  
> 1.) Alle [mm]X_i[/mm] nehmen mit Wahrscheinlichkeit [mm]p_i[/mm] (wobei mir
> noch nicht klar ist, wo die herkommen) einen festen Wert
> [mm]\alpha \in [0,1][/mm] an, wobei das [mm]\alpha[/mm] für unsere
> Betrachtungen fest ist.
>  
> 2.) Alle [mm]X_i[/mm] sind gleichverteilt auf [mm][0,1][/mm] und mit
> Wahrscheinlichkeit [mm]p_i[/mm] tritt der Ionenstrom gerade in
> Stück [mm]X_i[/mm] auf.
>  
> 3.) Jedes [mm]X_i[/mm] nimmt mit Wahrscheinlichkeit [mm]p_i[/mm] einen
> gleichverteilten Wert [mm]\alpha_i \in [0,1][/mm] an.

Ich muss gestehen, dass ich absolut kein Experte auf dem Gebiet bin und nur darüber etwas gelesen habe und mir gedacht, dass mich interessiert wie die Schwankungen zunehmen... intuitiv war der Ansatz, dass je mehr "Zellteile" bzw in weiterer Folge gedacht ganze "Zellen" die Schwankungen größer werden lassen.

Für mich persönlich klingt der 3. Ansatz am vernünftigsten. Die genauen Wahrscheinlichkeiten [mm] $p_i$ [/mm] sind intuitiv gar nicht so wichtig denke ich.

Das was ich mir dachte ist, dass ein einfacher Random Walk entstehen sollte...

Danke nochmals, dass du dich der Sache annimmst!

LG

>  
> Alle drei Möglichkeiten klingen erstmal ähnlich,
> unterscheiden sich jedoch im Detail und den entsprechenden
> Berechungen z.T. massiv.... daher müssten wir das zuerst
> klären.
>  
> Gruß,
>  Gono
>
>
>  


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Summe von ZV: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 09:20 Fr 01/03/2019
Author: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                        
Bezug
Summe von ZV: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 10:16 Fr 01/03/2019
Author: Thomas_Aut

Fragen Dummy

Bitte diese Frage aufrecht erhalten.

LG

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Summe von ZV: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Date: 18:57 Sa 02/03/2019
Author: Thomas_Aut

Hallo Gono,

also ich denke, dass diese Variante am Vernünftigsten erscheint:

Eine Zellmembran sei in $n$ Stücke geteilt - [mm] $X_1, ...,X_n$ [/mm] , wobei jedem Stück [mm] $X_i$ [/mm] mit Wahrscheinlichkeit [mm] $p_i$ [/mm] ein gleichverteilter Wert [mm] $a_i$ [/mm] aus $[0,1]$ zugeordnet wird (pro Zeitschritt dt) - dieser Wert entspricht einem "Stromimpuls".

Die Wahrscheinlichkeit [mm] $p_i$ [/mm] möchte ich mal außen vor lassen (ich würde aber mal inutitiv sagen, dass man die in einem einfachen Modell als binomialverteilt ansehen könnte ... entweder ein [mm] $X_i$ [/mm] sendet einen Impuls aus oder eben nicht - ohne Zwischending.)

Nun ist die Frage, wie sich die Standardabweichung verhält, wenn wir immer mehr dieser n - Teile zusammenzählen.

Also wir interessieren uns für das Verhalten der Standardabweichung von:

[mm] $\sum_{i=1}^{n}X_i$ [/mm]

aber unter der Bedingung, dass die gesamte Membranspannung $V(t)$ einen Einfluss darauf hat, also dass die [mm] $X_i$ [/mm] mit $V(t)$ korrelieren.

Ich weiß nicht, ob das genaue Aussehen von V(t) eine Rolle spielt? Es gibt verschiedene Funktionen V(t) die, die Membranspannung beschreiben.. je nachdem welche "Betrachtungsweise" man wählt.

Und ich stelle mir die Frage, ob man nicht eigentlich das ganze in Abhängigkeit der Änderung von V(t) betrachten müsste? also unter der gewöhnlichen DGL

[mm] $\frac{dV}{dt}$? [/mm]

Vielen Dank und LG

Bezug
                                                                
Bezug
Summe von ZV: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 19:20 Mo 04/03/2019
Author: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                                
Bezug
Summe von ZV: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 20:55 Mo 04/03/2019
Author: Gonozal_IX

Hiho,

ich hab dich nicht vergessen, komme aber erst morgen zum Antworten.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                        
Bezug
Summe von ZV: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 11:27 Di 05/03/2019
Author: Thomas_Aut

Vielen Dank :)

Bezug
                                                                        
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Summe von ZV: Frage (offen)
Status: (Question) without status Status (no due date) 
Date: 19:02 Di 14/05/2019
Author: Thomas_Aut

Hi Gono,

eventuell können wir das ganze nochmals angehen.

Ziel ist folgendes : Wir haben den Ausschnitt einer Zellmembran in der Ionenkanäle eingebettet sind - diese Ionenkanäle sin maßgeblich dafür verantwortlich, dass ein Aktionspotential in einer Nervenzelle ausgelöst wird -- durch ihre elektrische Aktivität kommt es aber zu "Noise" Effekten, die ich gerne genauer beschreiben würde.


Es gibt eine ausgearbeitete Theorie dazu, die deterministisch, oder stochastisch (zb mit Markovketten) das Öffnen und Schließen dieser Kanäle beschreibt -- häufig resultiert darin aber, dass die Standardabweichung proportional zu [mm] $\sqrt{N}$ [/mm] wächst, wobei $N$ die Anzahl der Kanäle sind ...

ich dachte mir eben das :

wir können unsere Zellmembran ja in $N$ Teile schneiden und jeder $N$ te Teil entspricht einem Ionenkanal - beschrieben durch die Zufallsvariable [mm] $X_i$ [/mm] mit $i=1,...,N$ - von den [mm] $X_i$ [/mm] fordern wir, dass sie iid verteilt sind.

Wenn ich die Standardabweichung dieser Membran bestimmen will, dann indem ich die Standardabweichung von

$ S = [mm] \sum_{I=1}^{N}X_i [/mm] $ bestimme.

Wir denken aber daran, dass die Gesamtmembranspannung $V$ (die in jedem Modell immer etwas anders beschrieben ist) die [mm] $X_i$ [/mm] beeinflusst und zwar so, dass je höher sie ist, desto wahrscheinlicher ist, dass ein [mm] $X_i$ [/mm] aktiviert wird.

[mm] $X_i$ [/mm] könnte jetzt zb nur 0 oder 1 sein mit Wahrscheinlichkeit [mm] $P(X_i [/mm] = 1) = 1 - [mm] e^{-V}$. [/mm]

Die Standardabweichung der [mm] $X_i$ [/mm] würde also von der Spannung $V$ abhängen --> [mm] $\sigma(V) [/mm] = [mm] \sqrt{e^{-V}(1-e^{-V})}$ [/mm] . Demnach wäre dann die Standardabweichung von

$ [mm] \sigma(S) [/mm] = [mm] \sigma(V) \sqrt(n)$ [/mm]


Eine Literatur, wo gezeigt wird, dass die inverse Relation gilt ist beispielsweise

Threshold Fluctuations in an N Sodium Channel Model of the Node of Ranvier
J. T. Rubinstein

Solltest du Interesse haben, kannst du da ja mal gerne reinlesen.

LG und Danke

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Summe von ZV: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 07:02 Do 16/05/2019
Author: Thomas_Aut

Hallo,

bitten den Fälligkeitszeitpunkt ausdehnen - die Beantwortung hat keine Eile, aber bitte nicht als abgelaufen markieren.

Danke und L G

Thomas

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Summe von ZV: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 07:47 Do 07/03/2019
Author: Thomas_Aut

Ich bin noch immer an einer Antwort interessiert.

Bitte das Fälligkeitsdatum der Frage erweitern :)

LG

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Summe von ZV: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Date: 14:23 Sa 09/03/2019
Author: Thomas_Aut

Hallo Gono,

gehen wir das ganze vielleicht mal ganz allgemein von neu an.

Wir teilen die Membran in $n$ Stücke. Jedes Stück soll durch eine Zufallsvariable [mm] $X_i$ [/mm] beschrieben werden, deren "Wert" ein Ionenstrom sein soll. Die [mm] $X_i$ [/mm] spezifizieren wir mal nicht näher, sondern verlangen lediglich, dass sie unabhängig sind (und dass sie beschränkte Erwartung haben).

Jetzt können wir uns mal fragen, wie die Standardabweichung von

[mm] $\sum_{ I=1}^{n}X_i [/mm] $ aussieht.

Die hängt nun jetzt i.A. von der Verteilung der [mm] $X_i$ [/mm] ab. Die [mm] $X_i$ [/mm] sind aber beeinflusst durch die Membranspannung V.

Ist es eventuell sinvoll die [mm] $X_i$ [/mm] als Funktion der Membranspannung zu sehen?

also, dass wir uns

[mm] $\sum_{I=1}^{n}V(X_i)$ [/mm] ansehen?


LG
Thomas


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Summe von ZV: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 15:20 Mo 11/03/2019
Author: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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