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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Sa 16.04.2005 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
die Aufgabe ist wahrscheinlich ganz einfach lösbar, doch bin nicht fähig sie zu lösen.
Der Funktionsgraph lautet: f(x)=(x+2)*e^-x
Im Punkt P(2/0) soll eine Tangente an den Graph gelegt werden. Berechne die Gleichung der Tangenten.
Ich habe es schon tausendmal probiert, aber ich komme einfach nicht auf das richtige Ergebnis.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder anderen Internetseiten gestellt.
Dominic
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dominic!
> Der Funktionsgraph lautet: [mm] $f(x)=(x+2)*e^{-x}$
[/mm]
>
> Im Punkt P(2/0) soll eine Tangente an den Graph gelegt
> werden. Berechne die Gleichung der Tangenten.
>
> Ich habe es schon tausendmal probiert, aber ich komme
> einfach nicht auf das richtige Ergebnis.
Schade, daß Du uns von diesen vielen Versuchen nicht mal eine hier mit angeboten hast ...
Was sagt denn der Begriff Tangente an einer Funktion aus?
Sie berührt die Funktionskurve an dem Punkt und hat daher dieselbe Steigung [mm] $m_t$ [/mm] wie die Funktion an diesem Punkt P.
Wie erhalten wir die Steigung [mm] $m_t$?
[/mm]
Klar, durch die 1. Ableitung und Einsetzen des entsprechenden x-Wertes.
Wir "kennen" also sowohl die Steigung als auch einen Punkt für die gesuchte Tangentengleichung (= Geradengleichung).
Es bietet sich also die Punkt-Steigungs-Form an:
[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y - y_P}{x - x_P}$ $\gdw$ [/mm] $y \ = \ [mm] m_t [/mm] * [mm] (x-x_P) [/mm] + [mm] y_P$
[/mm]
Setzen wir für [mm] $m_t$ [/mm] nun die Steigung im Punkt P ein, so erhalten wir:
[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] f'(x_P)$ $\Rightarrow$ [/mm] $y \ = \ [mm] f'(x_P) [/mm] * [mm] (x-x_P) [/mm] + [mm] y_P$
[/mm]
Nun mußt Du also die 1. Ableitung $f'(x)$ ermitteln und anschließend die entsprechenden Werte einsetzen ...
Poste doch mal Dein Ergebnis.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Sa 16.04.2005 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
ich glaube ich wurde falsch verstanden, wenn der Graph durch den PUnkt P durchgehen würde, wäre es ja kinderleicht, aber das tut er nicht. Ich habe einfach bei P(2/0) einen Punkt durch den die Gerade durchgehen muss und sie muss Tangente sein, der Funktionsgraph selbst geht aber nicht durch diesen Punkt.
Ich hoffe ihr könnt mir trotzdem helfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Andrea |
Hallo,
der Rechenweg ist trotzdem nicht soo kompliziert.
Eine Geradengleichung hat ja immer die Form y=m*x+t
Für die Tangente muss also zweierlei gelten:
Die Steigung an dem Punkt, indem sie die Kurve berührt muss gleich der Steigung der Kurve sein und die Gerade muss außerdem durch P(2|0) gehen.
Für die Steigung gilt also m = f' [mm] (x_{0}), [/mm] wobei [mm] x_{0} [/mm] der Punkt ist, in dem sich der Graph von f [mm] G_{f} [/mm] und seine Tangente g schneiden.
=> m = f' [mm] (x_{0}) [/mm] = - [mm] e^{-x_{0}}*(x_{0}+1)
[/mm]
Als nächstes bietet es sich an, dass man eine allgemeine Form von t berechnet (abhängig von [mm] x_{0})
[/mm]
In [mm] x_{0} [/mm] muss gelten [mm] f(x_{0}) [/mm] = [mm] y_{g}
[/mm]
Also [mm] (x+2)*e^{-x_{0}} [/mm] = - [mm] e^{-x_{0}}*(x_{0}+1)*x_{0} [/mm] + t
=> t = [mm] e^{-x_{0}}*(x_{0}^{2}+2x_{0}+2)
[/mm]
Also ergibt sich folgende Form für g:
y = - [mm] e^{-x_{0}}*(x_{0}+1)*x [/mm] + [mm] e^{-x_{0}}*(x_{0}^{2}+2x_{0}+2)
[/mm]
Gesucht ist nun noch [mm] x_{0}.
[/mm]
g muss durch P gehen. Also einfach P einsetzen in g (für x und y, nicht für [mm] x_{0}!)
[/mm]
=> 0 = - [mm] e^{-x_{0}}*(x_{0}+1)*2 [/mm] + [mm] e^{-x_{0}}*(x_{0}^{2}+2x_{0}+2)
[/mm]
Auflösen nach [mm] x_{0}
[/mm]
=> [mm] x_{0} [/mm] = 0 (Das ist der Berührpunkt von Tangente und Kurve)
Einsetzen in g führt zu
g: y = x + 2
Ich hoffe, meine Erklärungen waren verständlich. Wenn du noch Fragen hast, beantworte ich sie gerne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andrea!
Da ist Dir wohl bei der Berechnung von [mm] $m_t$ [/mm] das Minuszeichen in der Ableitung entgangen  ...
Die Tangentengleichung lautet : $t(x) \ = \ [mm] y_t(x) [/mm] \ = \ [mm] \red{-}x [/mm] + 2 \ = \ 2-x$
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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