Teilmengen einer Grundmenge < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 So 06.11.2011 | | Autor: | Dym |
| Aufgabe | Es seien A und B zwei Teilmengen einer Grundmenge G. Begründen Sie:
a)
[mm] \overline{(A}\cap\overline{B)} [/mm] = [mm] \overline{A}\cup\overline{B}
[/mm]
b)
[mm] \overline{(A}\cup\overline{B)} [/mm] = [mm] \overline{A}\cap\overline{B}
[/mm]
wobei z.B. [mm] \overline{A}, [/mm] das Komplement von A einer Grundmenge G ist.
Geben Sie im Fall G:= [mm] \IZ,
[/mm]
A:= [mm] {k\in\IZ | k mod 2 \equiv 1}.
[/mm]
B:= [mm] {k\in\IZ | k mod 4 \equiv 1 oder 2}.
[/mm]
die jeweiligen Mengen explizit an. |
Ich habe diese Aufgabe falsch gemacht so kommt es mir vor, es wäre nett wenn mir jemand einen Tipp oder sagt was ich falsch habe und was richtig wäre:
G:= [mm] \IZ
[/mm]
A:= {...,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,...}
B:= {...,1,2,5,6,9,10,13,14,17,18,21,22,25,26,29,30,...}
a)(I.) [mm] \overline{(A}\cap\overline{B)} [/mm] =(II.) [mm] \overline{A}\cup\overline{B}
[/mm]
(I.) x [mm] \in [/mm] G [mm] \cap [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B = (II.) x [mm] \in [/mm] G [mm] \cap [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] x [mm] \in [/mm] G [mm] \cap [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B
(I.) {...,-2,-1,0,4,8,12,16,20,..} = (II.) {...,-2,-1,0,2,4,8,12,16,20,..}
b)(I.) [mm] \overline{(A}\cup\overline{B)} [/mm] =(II.) [mm] \overline{A}\cap\overline{B}
[/mm]
(I.) x [mm] \in [/mm] G [mm] \cap [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B = (II.) x [mm] \in [/mm] G [mm] \cap [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] x [mm] \in [/mm] G [mm] \cap [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B
(I.) {..,-2,-1,0,4,8,12,16,20,..} = (II.) {..,-2,-1,0,4,8,12,16,20,..}
Ich habe die Aufgabe jetzt an einem Beispiel versucht zu erklären, aber was gefragt war einer allgemein Lösung? Ich weiß echt nicht weiter, bitte um Rat!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 So 06.11.2011 | | Autor: | gnom347 |
Ich würde so anfangen:
Sei [mm] A\subseteq [/mm] G und [mm] B\subseteq [/mm] G
[mm] \Rightarrow \overline{A} [/mm] = [mm] G\setminus [/mm] A und [mm] \overline{B} [/mm] = [mm] G\setminus [/mm] B
Ich nehme an so habt ihr das Komplement definiert.
Dann schaust du dir an wie ihr Vereinigung und schnittmenge definiert habt und .....schau am besten erstmal selber.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 So 06.11.2011 | | Autor: | Dym |
Genau so haben wir das Komplement auch definiert, [mm] G\A [/mm] und [mm] G\B, [/mm] das ist vollkommen richtig, meine Frage war nur wie ich auf die Aufgabenstellung eine Antwort richtig gebe, bzw. ob meine Antwort reicht? Die Mengen habe ich ja schon gebildet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 So 06.11.2011 | | Autor: | gnom347 |
Nein deine antwort reicht nicht
Du machst auch ganz merkwürdige dinge
x $ [mm] \in [/mm] $ G $ [mm] \cap [/mm] $ x $ [mm] \not\in [/mm] $ A sowas gibts es nicht du vereinigst ein element aus einer menge und ein element was in einer anderen Menge nicht sein soll.
Das macht einfach keinen sinn. Du kannst immer nur Mengen Vereinigen keine elemente.
Ich gebe gebe dir mal ein sehr einfaches Beispiel wie Eine Mengengleichheit gezeigt werden kann.
Beh:
Sei A [mm] \subseteq [/mm] B
Dann gilt: A [mm] \cup [/mm] B = B
Also ich möchte zeigen, dass A Vereinigt mit B wieder B ist.
Bew:
Ich möchte die Mengengleichheit zeigen, indem ich zeige das 1. jedes element aus A [mm] \cup [/mm] B In B ist, und 2. das jedes Element aus B in A [mm] \cup [/mm] B ist.Damit habe ich gezeigt, dass A [mm] \cup [/mm] B und B die selben Elemente haben und somit die selben mengen sind.
Wegen A [mm] \subseteq [/mm] B gilt: (p) [mm] x\in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B
1. Sei [mm] x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] (Wegen p) x [mm] \in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B
2.Sei [mm] x\in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B
Damit währe die Mengengleichheit gezeigt.
Das selbe musst du jetzt mit deiner Aufgabe machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 So 06.11.2011 | | Autor: | Dym |
Danke für deine Rückmeldung!
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Hallo Dym,
die Aufgabe ist Unsinn. Hast Du sie richtig abgeschrieben?
> Es seien A und B zwei Teilmengen einer Grundmenge G.
> Begründen Sie:
> a)
> [mm]\overline{(A}\cap\overline{B)}[/mm] =
> [mm]\overline{A}\cup\overline{B}[/mm]
> b)
> [mm]\overline{(A}\cup\overline{B)}[/mm] =
> [mm]\overline{A}\cap\overline{B}[/mm]
>
> wobei z.B. [mm]\overline{A},[/mm] das Komplement von A einer
> Grundmenge G ist.
>
> Geben Sie im Fall G:= [mm]\IZ,[/mm]
> A:= [mm]{k\in\IZ | k mod 2 \equiv 1}.[/mm]
> B:= [mm]{k\in\IZ | k mod 4 \equiv 1 oder 2}.[/mm]
>
> die jeweiligen Mengen explizit an.
Die Aussagen sind falsch und daher nicht zu beweisen.
Meinst Du vielleicht die ![[]](/images/popup.gif) de Morganschen Regeln?
Grüße
reverend
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