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Forum "Uni-Stochastik" - Verteilungsfunktion stetige ZV
Verteilungsfunktion stetige ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Verteilungsfunktion stetige ZV: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Di 09.10.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
Sei F eine Funktion

[mm] F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \mbox{ < -2} \\ \bruch{1}{4} +\bruch{1}{8}*x, & \mbox{falls } \mbox{-2 <= x <= 0} \\ c_1 + c_2*(1 -e^{-x}, & \mbox{falls } x \mbox{ > 0}\end{cases} [/mm]

mit gewissen Konstanten  [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2. [/mm]

a) Wählen Sie [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] so, dass F die Verteilungsfunktion einer stetig verteilten Zufallsvariablen ist.

b) Bestimmen Sie die Dichte und den Erwartungswert für die Zufallsvariable X aus a).

c) Berechnen Sie P(X > -1).


Moin Moin,

zu a) Eine Verteilungsfunktion muss stetig sein. D.h.

[mm] \bruch{1}{4} [/mm]  + [mm] \bruch{1}{8}*0 [/mm] = [mm] c_1 [/mm] + [mm] c_2*(1 -e^{-0}) [/mm]

[mm] \bruch{1}{4} [/mm]  = [mm] c_1 [/mm] + [mm] c_2*0 [/mm]   =>  [mm] c_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm]


F(x) muss für x -> [mm] \infty [/mm]  gleich 1 sein.

Da F(0) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm]  muss  [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] F(X)  = 1

=> [mm] c_1 [/mm] + [mm] c_2*(1 [/mm] - [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{-x}) [/mm]  = 1

[mm] c_1 [/mm] + [mm] c_2*1 [/mm] = 1

[mm] c_2 [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{4} [/mm]

[mm] c_2 [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} [/mm]


richtig??


b)

Dichte stetige ZV

f(x) = F ' (x)

[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \mbox{ < -2} \\ \bruch{1}{4}, & \mbox{falls } -2 <= x \mbox{ <= 0 } \\ \bruch{3}{4}*e^{-x}, & \mbox{falls } x \mbox{ >0} \end{cases} [/mm]



Erwartungswert stetige ZV

E(X) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx} [/mm]

E(X) = [F(X)]  von -2 bis 0  + F(X) von 0 bis [mm] \infty [/mm]

[mm] \bruch{1}{4} [/mm] - (0)   [mm] [(\bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}] [/mm]

= 1

richtig?

c) P (X > -1) = 1 - P(X <= -1) = 1 - (F(-1) - F(-2))

1 -  [mm] (\bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8}*(-1) [/mm] - 0)  = [mm] \bruch{7}{8} [/mm]

richtig?





        
Bezug
Verteilungsfunktion stetige ZV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 Mi 10.10.2018
Autor: luis52


> zu a) Eine Verteilungsfunktion muss stetig sein. D.h.
>
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm]  + [mm]\bruch{1}{8}*0[/mm] = [mm]c_1[/mm] + [mm]c_2*(1 -e^{-0})[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm]  = [mm]c_1[/mm] + [mm]c_2*0[/mm]   =>  [mm]c_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]

>
>
> F(x) muss für x -> [mm]\infty[/mm]  gleich 1 sein.
>
> Da F(0) = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]  muss  [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm]
> F(X)  = 1
>  
> => [mm]c_1[/mm] + [mm]c_2*(1[/mm] - [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} e^{-x})[/mm]  = 1
>  
> [mm]c_1[/mm] + [mm]c_2*1[/mm] = 1
>
> [mm]c_2[/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>  
> [mm]c_2[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>  
>
> richtig??

[ok]

>  
>
> b)
>  
> Dichte stetige ZV
>  
> f(x) = F ' (x)
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \mbox{ < -2} \\ \bruch{1}{4}, & \mbox{falls } -2 <= x \mbox{ <= 0 } \\ \bruch{3}{4}*e^{-x}, & \mbox{falls } x \mbox{ >0} \end{cases}[/mm]
>  
>
>
> Erwartungswert stetige ZV
>  
> E(X) = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}[/mm]
>  
> E(X) = [F(X)]  von -2 bis 0  + F(X) von 0 bis [mm]\infty[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm] - (0)   [mm][(\bruch{1}{4}[/mm] + [mm]\bruch{3}{4})[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{4}][/mm]
>  
> = 1
>  
> richtig?

[ok]

>  
> c) P (X > -1) = 1 - P(X <= -1) = 1 - (F(-1) - F(-2))
>  
> 1 -  [mm](\bruch{1}{4}[/mm] + [mm]\bruch{1}{8}*(-1)[/mm] - 0)  =
> [mm]\bruch{7}{8}[/mm]
>  
> richtig?

Fast.

$P (X > -1) = 1 - P(X [mm] \le [/mm] -1) = [mm] \red{1 - F(-1)} [/mm] $


Bezug
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