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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 So 15.07.2007 | | Autor: | Wutzi |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Volumen des folgenden Körpers:
K:={(x,y,z) Element R³: 0<=x<=1 , -x<=<=<x, x²+y²<=1, 0<=z<=1+x²-y²} |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So, also das Volumen berechnen.
Hmm. Nur eine Verständisfrage: Ist dieser Weg korrekt?
[mm] \int_{0}^{1} \int_{-x}^{x} \int_{0}^{1+x^2-y^2} x^2+y^2 \, dz\, dy\, dx [/mm]
Wenn ja, müsste auch mein Ergebnis von [mm] \bruch{19} {15} [/mm] stimmen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 So 15.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo
> Berechnen Sie das Volumen des folgenden Körpers:
> K:={(x,y,z) Element R³: 0<=x<=1 , -x<=<=<x, x²+y²<=1,
> 0<=z<=1+x²-y²}
Ich nehme an, das soll [mm]-x\leq y\leq x[/mm] heissen?
> Hmm. Nur eine Verständisfrage: Ist dieser Weg korrekt?
> [mm]\int_{0}^{1} \int_{-x}^{x} \int_{0}^{1+x^2-y^2} x^2+y^2 \, dz\, dy\, dx[/mm]
Nein. 1. Wo kommt das [mm]x^2+y^2[/mm] in Integranden her? 2. Die Grenzen der Integration über y stimmen nicht.
Mal dir mal die Fläche in der (x,y)-Ebene auf:
1. [mm] 0\leq x\leg 1[/mm], [mm]-x \leq y\leq x[/mm]: Das ist ein Dreieck mit Eckpunkten (0,0), (1,1), (1,-1).
2. [mm] x^2+y^2 \leq 1[/mm] ist der Kreis um (0,0) mit Radius 1, also [mm] - \sqrt{1-x^2} \leq y \leq \sqrt{1-x^2}[/mm].
Also sind die Integrationsgrenzen für y: [mm]\pm \min(x,\sqrt{1-x^2}) = \pm \begin{cases} x &\text{für $x\leq\bruch{1}{\sqrt{2}}$} \\ \sqrt{1-x^2} &\text{für $x\geq\bruch{1}{\sqrt{2}}$} \end{cases}[/mm].
Am besten zerlegst du das Integral über x in zwei Teile, von 0 bis [mm]\bruch{1}{\sqrt{2}}[/mm] und von [mm]\bruch{1}{\sqrt{2}}[/mm] bis 1.
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 So 15.07.2007 | | Autor: | Wutzi |
Hmmm.
Hmmm.
Hört sich interessant an, das mit der Fläche hab ich nachvollzogen, aber was steht dann als Integrand da, und wieso muss ich das Integral aufspalten? bitte nochmal erklären, danke.
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Hallo,
wenn Du mit einem Dreifachintegral ein Volumen berechnen möchtest, steht als Integrand immer 1 da. Wenn man als Integrand eine Funktion hat, kann man das, soweit ich weiß, geometrisch nicht mehr veranschaulichen.
(Genauso, wenn Du mit einem Zweifachintegral einen Flächeninhalt berechnen möchtest, steht als Integrand auch immer 1 da.)
Was den y-Integrationsbereich angeht, so hat ihn Rainer doch gut erklärt. Du hast halt zwei Bedingungen, denen dein y genügen muss:
1. -x [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] x
2. [mm] -\wurzel{1-x^2} \le [/mm] y [mm] \le \wurzel{1-x^2}
[/mm]
Der Schnittpunkt des Kreises mit den Geraden liegt bei x = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}.
[/mm]
Im Bereich 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] liegt (im ersten Quadranten) die Gerade unterhalb der Kreislinie, also ist die Gerade die Begrenzung für die y-Integration.
Im Bereich [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 liegt (im ersten Quadranten) die Kreislinie unterhalb der Geraden, also ist die Kreislinie die Begrenzung für die y-Integration.
Für den 4. Quadranten gilt dasselbe, bzgl. Kreislinie und Gerade aber umgekehrt.
Auf einer Skizze sieht man es sofort.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 So 15.07.2007 | | Autor: | Wutzi |
Ihr seid Füchse!
Ja, die Skizze hatte ich jetzt auch schon selbst gemacht, jetzt weiß ich auch was gemeint ist. Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 So 15.07.2007 | | Autor: | Wutzi |
HAAAAAAAAALT, eine letzte Frage noch:
wofür hat der Aufgabensteller denn jetzt hingeschrieben, dass x<1 ist, das brauch man doch eigentlich gar nicht, ergibt sich doch aus Kreis und Gerade, welche Fläche gemeint ist, oder?
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Hallo,
Nun, das wäre dann wohl redundant.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mo 16.07.2007 | | Autor: | Wutzi |
Hallo,
dann stimmt hoffentlich das folgende Integral für den ersten Bereich:
[mm] \int_{0}^{1} \int_{0}^{\bruch{1} {\wurzel(2)}}\int_{0}^{1+x²-y²}\, dz \, dy \, dx [/mm]
Und ferner der zweite Bereich:
[mm] \int_{0}^{1}\int_{\bruch{1} {\wurzel(2)}}^{\wurzel(1-x²)}\int_{0}^{1+x²-y²}\, dz \, dy \, dx [/mm]
Wär schön, wenn mir einer sagt, dass ichs jetzt richtig habe.
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Hallo,
das erste Integral gibt ja den x-Integrationsbereich an, das zweite den y-Integrationsbereich und das dritte den z-Integrationsbereich. Demnach wäre
[mm]V=\integral_{0}^{\wurzel{\bruch{1}{2}}}\integral_{-x}^{x}\integral_{0}^{1+x^2-y^2} \, dzdydx + \integral_{\wurzel{\bruch{1}{2}}}^{1}\integral_{-\wurzel{1-x^2}}^{\wurzel{1-x^2}}\integral_{0}^{1+x^2-y^2} \,dzdydx [/mm]
(wenn ich mich nicht irre).
LG, Martinius
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