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W- Maß stetig nach unten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Do 23.04.2020
Autor: teskiro

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Sei $(\Omega, F)$ ein Messraum und $P: F \rightarrow [0, 1]$ sei additiv mit $P(\Omega) = 1$.

Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

a) $P$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, F)$
b) $P$ ist stetig von unten
c)$P$ ist stetig von oben
d) $P$ ist $0$ - stetig, d.h. $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(B_{n}) = 0$ für jede Folge von Ereignissen $B_{1} \supseteq B_{2} \supseteq \ldots \in F$ mit $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} B_{n} = \emptyset$

Ich will die Aussage durch einen Ringschluss beweisen.

Ich habe bei zwei Richtungen ein paar Schwierigkeiten. Ich hoffe, mir kann jemand helfen :-)

Mein Ansatz:

$a) \Rightarrow b)$

Sei $P$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, F)$ und $(A_{j})_{j \in \mathbb{N}$ eine Folge von Ereignissen mit $A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq \ldots$.

Sei dabei $A_{0} := \emptyset $.

Dann gilt:


$ P \left ( \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_{j} \right ) =  P \left ( \bigcup_{j  = 1}^{\infty} A_{j} \right ) =  P \left ( \bigcup_{j  = 1}^{\infty} A_{j} \setminus A_{j - 1} \right ) \overset{a)}{\underset{\text{}}{=}} \sum\limits_{j = 1}^{\infty} P(A_{j} \setminus A_{j - 1}) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{j = 1}^{n} P(A_{j} \setminus A_{j - 1})  \overset{a)}{\underset{\text{}}{=}}  \lim\limits_{n \rightarrow \infty}  P \left ( \bigcup_{j  = 1}^{n} A_{j} \setminus A_{j - 1} \right )  =  \lim\limits_{n \rightarrow \infty}  P \left ( \bigcup_{j  = 1}^{n} A_{n} \right )  = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}  P(A_{n})$


$b) \Rightarrow c)$

Sei $(A'_{j})_{j \in \mathbb{N}$ eine Folge von Ereignissen mit $A'_{1} \supseteq A'_{2} \supseteq \ldots \in F$.


$ P \left ( \bigcap_{j \in \mathbb{N}} A'_{j} \right ) =  P \left ( \bigcap_{j  = 1}^{\infty} A'_{j} \right ) =  P \left ( \left (  \bigcup_{j  = 1}^{\infty} A'_{j}  ^{c} \right )^{c} \right )$


Ab hier komme ich nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich weiter umschreiben kann. Dass $P$ ein W- Maß ist, darf ich nicht verwenden, oder ? Ich muss nur anhand von $b)$ zeigen, dass $c)$ stimmt.

Hat jemand einen Tipp für mich ?


$c) \Rightarrow d)$

Das ist klar.

Sei $(B_{j})_{j \in \mathbb{N}$ eine Folge von Ereignissen mit $B_{1} \supseteq B_{2} \supseteq \ldots \in F$.


Dann gilt:

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(B_{n}) \overset{c)}{\underset{\text{}}{=}}  P \left ( \bigcap_{j  = 1}^{\infty} B_{j} \right ) = P \left ( \emptyset \right ) = 0$


$d) \Rightarrow a)$

Hier muss ich zeigen, dass $P$ ein W- Maß auf $(\Omega, F)$ ist, d.h, es müssen gelten


1) $P(A) \ge 0\; \forall A \in F$

2) $P(\Omega) = 1$

3) $P \left ( \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_{j}  \right ) = \sum\limits_{j \in \mathbb{N}} P(A_{j})$ für jede Folge paarweise unvereinbarer Ereignisse.



Zu 1)


Hier habe ich auch noch Schwierigkeiten, einen vernünftigen Ansatz zu finden.


Dazu habe ich keinen wirklichen Ansatz.


Sei $A \in F$ beliebig.

Dann gilt:

$P(A) = P(A \cup \Omega \setminus A )$.


Fall 1: $B_{1} := \Omega \setminus A \supseteq  B_{2} := A$.

Dann müsste nach d) $P(B_{2}) = P(B_{1} \cap B_{2})  = P(\emptyset) = 0$ gelten.  

Aber da stimmt irgendwas nicht, weil nach dieser Logik dann jede Wahrscheinlichkeit gleich $ 0$ ist.


Auch hier wäre ich dankbar für ein paar Tipps.

Viele Grüße und einen schönen, sonnigen Tag

Tim

        
Bezug
W- Maß stetig nach unten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Do 23.04.2020
Autor: Gonozal_IX

Hhio,

>  Ich will die Aussage durch einen Ringschluss beweisen.

Gute Idee

> [mm]P \left ( \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_{j} \right ) = P \left ( \bigcup_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right ) = P \left ( \bigcup_{j = 1}^{\infty} A_{j} \setminus A_{j - 1} \right ) \overset{a)}{\underset{\text{}}{=}} \sum\limits_{j = 1}^{\infty} P(A_{j} \setminus A_{j - 1}) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{j = 1}^{n} P(A_{j} \setminus A_{j - 1}) \overset{a)}{\underset{\text{}}{=}} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} P \left ( \bigcup_{j = 1}^{n} A_{j} \setminus A_{j - 1} \right ) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} P \left ( \bigcup_{j = 1}^{n} A_{n} \right ) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(A_{n})[/mm]

dein zweites a) ist unnötig, das folgt aus der gegebenen Additivität

> Ab hier komme ich nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich weiter umschreiben kann. Dass [mm]P[/mm] ein W- Maß ist, darf ich nicht verwenden, oder ?

Korrekt, du darfst aber verwenden, dass $P$ additiv ist mit [mm] $P(\Omega) [/mm] = 1$, denn das ist ja grundsätzlich gegeben. Für eine solche Funktion folgt sofort $P(A) + [mm] P(A^c) [/mm] = [mm] P(\Omega)$, [/mm] also insbesondere [mm] $P(A^c) [/mm] = 1 - P(A)$
Damit kommst du weiter.

> [mm]c) \Rightarrow d)[/mm]
>  
> Das ist klar.
> […]
> [mm]\lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(B_{n}) \overset{c)}{\underset{\text{}}{=}} P \left ( \bigcap_{j = 1}^{\infty} B_{j} \right ) = P \left ( \emptyset \right ) = 0[/mm]

Gegenfrage: Warum "ist klar" dass $P [mm] \left ( \emptyset \right [/mm] ) = 0$ gilt?


> [mm]d) \Rightarrow a)[/mm]

  

> Hier muss ich zeigen, dass [mm]P[/mm] ein W- Maß auf [mm](\Omega, F)[/mm]
> ist, d.h, es müssen gelten
>  
>
> 1) [mm]P(A) \ge 0\; \forall A \in F[/mm]
>  
> 2) [mm]P(\Omega) = 1[/mm]
>  
> 3) [mm]P \left ( \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_{j} \right ) = \sum\limits_{j \in \mathbb{N}} P(A_{j})[/mm]
> für jede Folge paarweise unvereinbarer Ereignisse.

[ok]

> Zu 1)
>
> Hier habe ich auch noch Schwierigkeiten, einen vernünftigen Ansatz zu finden.

Das ist doch trivial, schau dir doch mal an, welche Eigenschaften für $P$ gegeben sind…

Das ist daher so trivial wie 2)

Zu zeigen bleibt daher nur 3)

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
W- Maß stetig nach unten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Fr 24.04.2020
Autor: teskiro

Aha, jetzt macht es an einigen Stellen Sinn! Vielen Dank ;-)

Also nochmal die Richtung $b) [mm] \Rightarrow [/mm] c)$

Sei [mm] $\left ( A_{j} '\right )_{j \in \mathbb{N}}$ [/mm] eine Folge von Ereignissen mit $A'_{1} [mm] \supseteq [/mm] A'_{2} [mm] \ldots \in [/mm] F$.

Dann gilt


[mm] $P\left ( \bigcap\limits_{j \in \mathbb{N}} A'_{j} \right [/mm] ) =   P [mm] \left ( \left ( \bigcup\limits_{j \in \mathbb{N}} A'_{j}^{c} \right ) ^{c} \right [/mm] )  = 1  - P [mm] \left ( \bigcup\limits_{j \in \mathbb{N}} A'_{j}^{c} \right [/mm] )  [mm] \overset{\text{b)}}{\underset{\text{}}{=}} [/mm]  1 - [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} [/mm] P [mm] \left ( A'_{n}^{c}\right [/mm] ) = 1 - [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} [/mm] (1 - [mm] P(A_{n})) [/mm] = 1 - [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} [/mm] 1 + [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(A_{n}) [/mm] = 1 - 1 + [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(A_{n}) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(A_{n})$ [/mm]



>  > [mm]\lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(B_{n}) \overset{c)}{\underset{\text{}}{=}} P \left ( \bigcap_{j = 1}^{\infty} B_{j} \right ) = P \left ( \emptyset \right ) = 0[/mm]

>  
> Gegenfrage: Warum "ist klar" dass [mm]P \left ( \emptyset \right ) = 0[/mm]
> gilt?

Ich war da zu unvorsichtig und habe das einfach so angenommen.

Das folgt aus der Additivität, die gegeben ist, denn

[mm] $P(\emptyset) [/mm] = [mm] P(\emptyset \overset{.}{\cup} \emptyset) [/mm] = [mm] P(\emptyset) [/mm] + [mm] P(\emptyset) \Leftrightarrow [/mm] 0 = [mm] P(\emptyset)$ [/mm]

>  
>
> > [mm]d) \Rightarrow a)[/mm]
>    
> > Hier muss ich zeigen, dass [mm]P[/mm] ein W- Maß auf [mm](\Omega, F)[/mm]
> > ist, d.h, es müssen gelten
>  >  
> >
> > 1) [mm]P(A) \ge 0\; \forall A \in F[/mm]
>  >  
> > 2) [mm]P(\Omega) = 1[/mm]
>  >  
> > 3) [mm]P \left ( \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_{j} \right ) = \sum\limits_{j \in \mathbb{N}} P(A_{j})[/mm]
> > für jede Folge paarweise unvereinbarer Ereignisse.
>  
> [ok]
>  
> > Zu 1)
>  >

> > Hier habe ich auch noch Schwierigkeiten, einen
> vernünftigen Ansatz zu finden.
> Das ist doch trivial, schau dir doch mal an, welche
> Eigenschaften für [mm]P[/mm] gegeben sind…
>  
> Das ist daher so trivial wie 2)
>  
> Zu zeigen bleibt daher nur 3)
>  


Wie ich oben schon festgestellt habe, habe ich komplett vergessen, dass die Additivität gegeben ist *augenroll*


Dann ist 1) natürlich trivial, da

$P(A) = 1 -  [mm] P(\Omega \setminus [/mm] A) $.

Da   der Wertebereich der Abbildung P das Intervall $[0, 1]$ ist, gilt $ [mm] P(\Omega \setminus [/mm] A)  [mm] \in [/mm] [0, 1]$.

Dann ist $P(A) [mm] \ge [/mm] 0$.



b) ist klar, da dies einfach gegeben ist



Die c) ist schon schwieriger...

Sei [mm] $(A_{j})_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] eine Folge paarweise disjunkter Ereignisse.

Ich soll [mm] $\left ( \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_{j} \right [/mm] ) = [mm] \sum\limits_{j \in \mathbb{N}} P(A_{j})$ [/mm] zeigen.


Es ist [mm] $\sum\limits_{j \in \mathbb{N}} P(A_{j}) [/mm] = [mm] \sum\limits_{j = 1}^{\infty} P(A_{j}) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left ( \sum\limits_{j = 1}^{n} P(A_{j}) \right [/mm] ) = [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} [/mm] P [mm] \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_{j} \right [/mm] )$

Und ich muss [mm] $\left ( \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_{j} \right [/mm] )$ so umformen, dass


[mm] $\left ( \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_{j} \right [/mm] ) = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} [/mm] P [mm] \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_{j} \right [/mm] )$ gilt.


Aber nach längerem Überlegen fällt mir da keine vernünftige Umschreibung des Ausdrucks. Hättest du hier vielleicht noch einen Tipp für mich ?



Viele Grüße, Tim

Bezug
                        
Bezug
W- Maß stetig nach unten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:22 Sa 25.04.2020
Autor: tobit09

Hallo Tim,


> Also nochmal die Richtung [mm]b) \Rightarrow c)[/mm]
>  
> Sei [mm]\left ( A_{j} '\right )_{j \in \mathbb{N}}[/mm] eine Folge
> von Ereignissen mit [mm]A'_{1} \supseteq A'_{2} \ldots \in F[/mm].
>  
> Dann gilt
>  
>
> [mm]P\left ( \bigcap\limits_{j \in \mathbb{N}} A'_{j} \right ) = P \left ( \left ( \bigcup\limits_{j \in \mathbb{N}} A'_{j}^{c} \right ) ^{c} \right ) = 1 - P \left ( \bigcup\limits_{j \in \mathbb{N}} A'_{j}^{c} \right ) \overset{\text{b)}}{\underset{\text{}}{=}} 1 - \lim\limits_{n \rightarrow \infty} P \left ( A'_{n}^{c}\right ) = 1 - \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (1 - P(A_{n})) = 1 - \lim\limits_{n \rightarrow \infty} 1 + \lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(A_{n}) = 1 - 1 + \lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(A_{n}) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(A_{n})[/mm]

[ok]

Mit [mm] $A_n$ [/mm] meinst du sicherlich [mm] $A_n'$. [/mm]

Wenn man streng ist, könnte man noch bemängeln, dass keine Begründung der Existenz von [mm] $\lim_{n\to\infty}P(A_n')$ [/mm] aus deiner Gleichungskette hervorgeht.

Das lässt sich aber leicht reparieren, z.B. so:
Weil [mm] $\lim_{n\to\infty}(1-P(A_n'))$ [/mm] existiert und [mm] $\lim_{n\to\infty}-1$ [/mm] existiert, existiert auch [mm] $\lim_{n\to\infty}(-1)*(1-P(A_n'))=\lim_{n\to\infty}(P(A_n')-1)$ [/mm] und somit unter Berücksichtigung der Existenz von [mm] $\lim_{n\to\infty}1$ [/mm] auch [mm] $\lim_{n\to\infty}((P(A_n')-1)+1)=\lim_{n\to\infty}P(A_n')$. [/mm]

Alternative Argumentation:
Die Folge [mm] $(P(A_n'))_{n\in\IN}$ [/mm] ist monoton fallend (Additivität einer Abbildung [mm] $P\colon F\to[0,1]$ [/mm] impliziert die Monotonie von $P$) und nach unten durch $0$ beschränkt und somit konvergent.


> >  > [mm]\lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(B_{n}) \overset{c)}{\underset{\text{}}{=}} P \left ( \bigcap_{j = 1}^{\infty} B_{j} \right ) = P \left ( \emptyset \right ) = 0[/mm]

>  
> >  

> > Gegenfrage: Warum "ist klar" dass [mm]P \left ( \emptyset \right ) = 0[/mm]
> > gilt?
>  
> Ich war da zu unvorsichtig und habe das einfach so
> angenommen.
>
> Das folgt aus der Additivität, die gegeben ist, denn
>  
> [mm]P(\emptyset) = P(\emptyset \overset{.}{\cup} \emptyset) = P(\emptyset) + P(\emptyset) \Leftrightarrow 0 = P(\emptyset)[/mm]

[ok]

(Ich würde hier [mm] $\Rightarrow$ [/mm] statt [mm] $\iff$ [/mm] schreiben.)


> > > [mm]d) \Rightarrow a)[/mm]
>  >    
> > > Hier muss ich zeigen, dass [mm]P[/mm] ein W- Maß auf [mm](\Omega, F)[/mm]
> > > ist, d.h, es müssen gelten
>  >  >  
> > >
> > > 1) [mm]P(A) \ge 0\; \forall A \in F[/mm]
>  >  >  
> > > 2) [mm]P(\Omega) = 1[/mm]
>  >  >  
> > > 3) [mm]P \left ( \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_{j} \right ) = \sum\limits_{j \in \mathbb{N}} P(A_{j})[/mm]
> > > für jede Folge paarweise unvereinbarer Ereignisse.
>  >  
> > [ok]
>  >  
> > > Zu 1)
>  >  >

> > > Hier habe ich auch noch Schwierigkeiten, einen
> > vernünftigen Ansatz zu finden.
> > Das ist doch trivial, schau dir doch mal an, welche
> > Eigenschaften für [mm]P[/mm] gegeben sind…
>  >  
> > Das ist daher so trivial wie 2)
>  >  
> > Zu zeigen bleibt daher nur 3)
>  >  
>
>
> Wie ich oben schon festgestellt habe, habe ich komplett
> vergessen, dass die Additivität gegeben ist *augenroll*
>  
>
> Dann ist 1) natürlich trivial, da
>
> [mm]P(A) = 1 - P(\Omega \setminus A) [/mm].
>  
> Da   der Wertebereich der Abbildung P das Intervall [mm][0, 1][/mm]
> ist, gilt [mm]P(\Omega \setminus A) \in [0, 1][/mm].
>  
> Dann ist [mm]P(A) \ge 0[/mm].

Richtig, aber es ist sogar "noch trivialer": Wegen [mm] $P\colon F\to[0,1]$ [/mm] ist [mm] $P(A)\in[0,1]$ [/mm] und damit [mm] $P(A)\ge [/mm] 0$ für jedes [mm] $A\in [/mm] F$.


> b) ist klar, da dies einfach gegeben ist

[ok]


> Die c) ist schon schwieriger...
>  
> Sei [mm](A_{j})_{n \in \mathbb{N}}[/mm] eine Folge paarweise
> disjunkter Ereignisse.

(Tippfehler: Gemeint ist [mm] $(A_j)_{j\in\IN}$ [/mm] oder [mm] $(A_n)_{n\in\IN}$.) [/mm]

> Ich soll [mm]\left ( \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_{j} \right ) = \sum\limits_{j \in \mathbb{N}} P(A_{j})[/mm]
> zeigen.

Hier und im Folgenden meinst du sicherlich [mm] $P\left ( \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_{j} \right [/mm] )$ anstelle von [mm] $\left ( \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_{j} \right [/mm] )$.

>  
>
> Es ist [mm]\sum\limits_{j \in \mathbb{N}} P(A_{j}) = \sum\limits_{j = 1}^{\infty} P(A_{j}) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left ( \sum\limits_{j = 1}^{n} P(A_{j}) \right ) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} P \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_{j} \right )[/mm]

Ja (wobei man genau genommen hier wieder die Existenz des Grenzwertes begründen müsste).


> Und ich muss [mm]\left ( \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_{j} \right )[/mm]
> so umformen, dass
>
>
> [mm]\left ( \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_{j} \right ) = \ldots = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} P \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_{j} \right )[/mm]
> gilt.
>  
>
> Aber nach längerem Überlegen fällt mir da keine
> vernünftige Umschreibung des Ausdrucks. Hättest du hier
> vielleicht noch einen Tipp für mich ?

Wir wollen ja (d) ins Spiel bringen.

Betrachte mal [mm] $B_n:=\bigcup_{j=n+1}^\infty A_j=\left(\bigcup_{j\in\IN}A_j\right)\setminus\left(\bigcup_{j=1}^nA_j\right)$. [/mm]


Ich hoffe, ich war nicht zu kleinlich mit meinen Verbesserungsvorschlägen. Sie sollen nicht verdecken, dass du sehr gut dabei bist! [ok]


Viele Grüße
Tobias


Bezug
                                
Bezug
W- Maß stetig nach unten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:59 Sa 25.04.2020
Autor: teskiro

Hallo! Entschuldige bitte, wenn ich mich erst jetzt melde. Die anderen Übungsblätter haben mich so sehr beschäftigt, dass ich leider erst jetzt dazu kommen kann, mich zu melden.


> > Dann gilt
>  >  
> >
> > [mm]P\left ( \bigcap\limits_{j \in \mathbb{N}} A'_{j} \right ) = P \left ( \left ( \bigcup\limits_{j \in \mathbb{N}} A'_{j}^{c} \right ) ^{c} \right ) = 1 - P \left ( \bigcup\limits_{j \in \mathbb{N}} A'_{j}^{c} \right ) \overset{\text{b)}}{\underset{\text{}}{=}} 1 - \lim\limits_{n \rightarrow \infty} P \left ( A'_{n}^{c}\right ) = 1 - \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (1 - P(A_{n})) = 1 - \lim\limits_{n \rightarrow \infty} 1 + \lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(A_{n}) = 1 - 1 + \lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(A_{n}) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(A_{n})[/mm]
>  
> [ok]
>  
> Mit [mm]A_n[/mm] meinst du sicherlich [mm]A_n'[/mm].
>  
> Wenn man streng ist, könnte man noch bemängeln, dass
> keine Begründung der Existenz von [mm]\lim_{n\to\infty}P(A_n')[/mm]
> aus deiner Gleichungskette hervorgeht.
>  
> Das lässt sich aber leicht reparieren, z.B. so:
>  Weil [mm]\lim_{n\to\infty}(1-P(A_n'))[/mm] existiert und
> [mm]\lim_{n\to\infty}-1[/mm] existiert, existiert auch
> [mm]\lim_{n\to\infty}(-1)*(1-P(A_n'))=\lim_{n\to\infty}(P(A_n')-1)[/mm]
> und somit unter Berücksichtigung der Existenz von
> [mm]\lim_{n\to\infty}1[/mm] auch
> [mm]\lim_{n\to\infty}((P(A_n')-1)+1)=\lim_{n\to\infty}P(A_n')[/mm].
>  
> Alternative Argumentation:
>  Die Folge [mm](P(A_n'))_{n\in\IN}[/mm] ist monoton fallend
> (Additivität einer Abbildung [mm]P\colon F\to[0,1][/mm] impliziert
> die Monotonie von [mm]P[/mm]) und nach unten durch [mm]0[/mm] beschränkt und
> somit konvergent.


Oh, vielen Dank für die Korrektur! Ich hatte nicht daran gedacht, die Existenz des Limes an der Stelle zu begründen.





> Betrachte mal [mm]B_n:=\bigcup_{j=n+1}^\infty A_j=\left(\bigcup_{j\in\IN}A_j\right)\setminus\left(\bigcup_{j=1}^nA_j\right)[/mm].
>  

Ah, natürlich... Sie erfüllen die Eigenschaften von d) !

Dann hätte ich:

$P [mm] \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right [/mm] ) = P [mm] \left ( \bigcup\limits_{k = n + 1}^{\infty}A_{j} \cup \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_{j} \right [/mm] ) [mm] \overset{\text{addit.}}{\underset{\text{}}{=}} [/mm] P [mm] \left ( \bigcup\limits_{k = n + 1}^{\infty} A_{j} \right [/mm] ) + P [mm] \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_{j} \right [/mm] ) [mm] \overset{\text{addit.}}{\underset{\text{}}{=}} P(B_{n}) [/mm] + [mm] \sum\limits_{j = 1}^{n} P(A_{j}) [/mm]  $


Okay, nun bin ich mir nicht sicher, wie es weiter geht.

Ich bilde man den Limes von $P [mm] \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right [/mm] )$  (ich kann noch nicht begründen, ob er existiert. Nehmen wir mal an, er existiert)

Dann habe ich: [mm] $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} [/mm] P [mm] \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right [/mm] )  = [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left ( P(B_{n}) + \sum\limits_{j = 1}^{n} P(A_{j}) \right [/mm] ) = [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(B_{n}) [/mm] + [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{j = 1}^{n} P(A_{j}) \overset{\text{d)}}{\underset{\text{}}{=}} [/mm] 0 + [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{j = 1}^{n} P(A_{j}) [/mm] = [mm] \sum\limits_{j = 1}^{\infty} P(A_{j})$ [/mm]



Dann käme ich auf das Ergebnis.

Aber es muss dann $ [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} [/mm] P [mm] \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right [/mm] )  =  P [mm] \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right [/mm] )  $ gelten, damit ich die Aussage gezeigt habe.


Gilt das auch? Falls ja, warum ?

Bin gerade überfordert  mit diesen unendlichen Mengen...




> Ich hoffe, ich war nicht zu kleinlich mit meinen
> Verbesserungsvorschlägen. Sie sollen nicht verdecken, dass
> du sehr gut dabei bist! [ok]
>  
>
> Viele Grüße
>  Tobias

Vielen Dank, und du bist nicht zu kleinlich! Ich finde es gut, wenn man mich auf "Kleinigkeiten" hinweist, dann lerne ich daraus :-)

Ich bin auch so, aber nur bei Themen, die mir vertraut sind. Hier habe ich noch nicht wirklich den Durchblick, dafür dass die Frist am Montag endet :-)



Viele Grüße,

Tim

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W- Maß stetig nach unten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:03 So 26.04.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Dann hätte ich:
>  
> [mm]P \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right ) = P \left ( \bigcup\limits_{k = n + 1}^{\infty}A_{j} \cup \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_{j} \right ) \overset{\text{addit.}}{\underset{\text{}}{=}} P \left ( \bigcup\limits_{k = n + 1}^{\infty} A_{j} \right ) + P \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_{j} \right ) \overset{\text{addit.}}{\underset{\text{}}{=}} P(B_{n}) + \sum\limits_{j = 1}^{n} P(A_{j}) [/mm]

[ok]

> Aber es muss dann [mm]\lim\limits_{n \rightarrow \infty} P \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right ) = P \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right ) [/mm]
> gelten, damit ich die Aussage gezeigt habe.

Korrekt, damit hättest du ja sogar die Existenz des Grenzwertes gezeigt.
Aber nun schau mal ganz scharf hin: Hängt $P [mm] \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right [/mm] )$ auch nur irgendwie von $n [mm] \in \IN$ [/mm] ab?
Was ist $P [mm] \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right [/mm] )$ also in Bezug auf $n$?
Was ist daher der Grenzwert davon?

Gruß,
Gono

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W- Maß stetig nach unten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 So 26.04.2020
Autor: teskiro

Hallo,

es kann einfach gut sein, dass ich mit der Schreibweise nicht klar komme.

Ich denke, die unendliche Vereinigung kann man auch so schreiben:

[mm] $\bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_{j}$, [/mm] oder etwa nicht ?

Wobei ich noch nicht weiß, ob [mm] $\bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j}$ [/mm]  im Allgemeinen für irgendwelche Mengen existiert.

Daher kann  ich noch nicht einfach so den Limes bilden, wenn ich nicht weiß, dass die Folge [mm] $\left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_{j} \right )_{j \in \mathbb{N}}$ [/mm] konvergiert.



>  
> > Aber es muss dann [mm]\lim\limits_{n \rightarrow \infty} P \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right ) = P \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right )[/mm]
> > gelten, damit ich die Aussage gezeigt habe.
>  Korrekt, damit hättest du ja sogar die Existenz des
> Grenzwertes gezeigt.
> Aber nun schau mal ganz scharf hin: Hängt [mm]P \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right )[/mm]
> auch nur irgendwie von [mm]n \in \IN[/mm] ab?
> Was ist [mm]P \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right )[/mm]
> also in Bezug auf [mm]n[/mm]?
>  Was ist daher der Grenzwert davon?
>  
> Gruß,
>  Gono

Gilt dann [mm] $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} [/mm]  P [mm] \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_{j} \right [/mm] ) =  P [mm] \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right [/mm] )$ ?

Wenn ja, dann müsste ich das zeigen, oder kann man das einfacher begründen ?



Viele Grüße, Tim


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W- Maß stetig nach unten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 So 26.04.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> es kann einfach gut sein, dass ich mit der Schreibweise nicht klar komme.

Und dir die Sicherheit in den Definitionen fehlt!

> Ich denke, die unendliche Vereinigung kann man auch so schreiben:
>  
> [mm]\bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_{j}[/mm],
> oder etwa nicht ?

Ja, das war ja aber gar nicht die Frage.

Hier kommt jetzt ein Einschub, der sich mit obigem beschäftigt.
Wenn dich das verwirrt, ignoriere es erst mal und lies nach dem Einschub weiter
--------------------------------------EINSCHUB--------------------------------------------------
Du musst aufpassen, dass du hier nicht verschiedene Begrifflichkeiten in einen Topf wirfst und dich selber verwirrst.

Ich führe das jetzt mal aus, auch wenn es nur indirekt etwas mit der Aufgabe zu tun hat:
Du schreibst oben:
[mm]\bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_{j}[/mm]

Da steht links eine Menge, rechts steht der Grenzwert einer Folge von Mengen, nämlich der Folge [mm] $\left( \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_{j}\right)_{n\in\IN}$ [/mm]

D.h. oben steht der Grenzwert einer Mengenfolge.

Vorher haben wir aber sowas betrachtet wie:  [mm] $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(\ldots)$. [/mm]
[mm] $P(\ldots)$ [/mm] ist nun eine reelle Zahl, d.h. der Ausdruck [mm] $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} P(\ldots)$ [/mm] ist der Grenzwert einer Zahlenfolge.

Dies sind vom Grundsatz her erst mal zwei völlig verschiedene Dinge.
Ist $P$ nun stetig von unten, so gilt für eine Folge von Mengen mit [mm] $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \ldots$: [/mm]

[mm] $P\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right) [/mm] = [mm] P\left(\lim_{n\to\infty} A_n \right) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}P(A_n)$ [/mm]

Die Stetigkeiten von unten und oben stellen also einen direkten Zusammenhang zwischen dem Grenzwert einer Mengenfolge und dem Grenzwert einer Zahlenfolge her.
Das ist das eigentlich mächtige dieser Aussage!

> Wobei ich noch nicht weiß, ob [mm]\bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j}[/mm]
>  im Allgemeinen für irgendwelche Mengen existiert.

Diese Mengen existieren immer nach Definition der Vereinigung (die wie definiert ist?).
Ganz allgemein existieren Vereinigungen immer, sogar solche der Form [mm] $\bigcup_{j \in J} A_j$ [/mm] für beliebige Indexmengen $J$, also sogar überabzählbarer.


>  
> Daher kann  ich noch nicht einfach so den Limes bilden, wenn ich nicht weiß, dass die Folge [mm]\left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_{j} \right )_{j \in \mathbb{N}}[/mm] konvergiert.

Wie oben gesagt: Doch, kannst du schon.
Und nun das große ABER: Das hat gar nix mit deiner Aufgabe zu tun.
--------------------------------------EINSCHUB-ENDE---------------------------------------------

Denn deine Frage war ja:

> Aber es muss dann $ [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} [/mm] P [mm] \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right [/mm] )  =  P [mm] \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right [/mm] ) $
> gelten, damit ich die Aussage gezeigt habe.

Da steht doch letztendlich nichts anderes als $P(B)$ für die fixe Menge $B :=  [mm] \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j}$. [/mm]
Damit ist $P [mm] \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right [/mm] )$ einfach eine reelle Zahl, unabhängig von $n$, da steckt nämlich gar kein $n$ mehr drin!

Somit ist das einfach eine relle Zahl aus $[0,1]$
Und was ist der Grenzwert einer rellen Zahl?

> Gilt dann [mm]\lim\limits_{n \rightarrow \infty} P \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_{j} \right ) = P \left ( \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} A_{j} \right )[/mm]

Hat sich die Frage damit erledigt?

Gruß,
Gono

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W- Maß stetig nach unten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:05 Mi 29.04.2020
Autor: teskiro

Guten Morgen und entschuldige die späte Rückmeldung, hatte noch mit anderen Vorlesungen zu tun.


Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, damit sind (zumindest bei mir) erst einmal alle Fragen geklärt.

Es scheint so, als müsste ich mir Mengenfolgen als Übung genauer anschauen.


Wünsche dir und tobit09 einen sonnigen Tag, obwohl es heute morgen bei mir noch regnet ;-)

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