Welche Zahlen sind Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Gegeben sei a:= [mm] 7^{32} [/mm] - [mm] 5^{16}
[/mm]
a) Welche der Primzahlen [mm] \le [/mm] 12 sind Primteiler von a, welche nicht?
b) Richtige Rechnung ergibt
a=1.104.427.674.24x.920.493.717.408.57y |
Hallo,
also kann ich bei a) erstmal mir die Exponenten anschauen:
Teileranzahl: [mm] 7^{32}: 32=2^5 [/mm] -> (5+1)=6 -> [mm] T_{32}=(1,2,4,8,16,32)
[/mm]
Teileranzahl [mm] 5^{16}: 16=2^4 [/mm] -> (4+1)=5 -> [mm] T_{16}=(1,2,4,8,16)
[/mm]
Also sind doch hier quasi, 1,2 die gesuchten Primzahlen, richtig?
Bitte um Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Mi 09.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sei a:= [mm]7^{32}[/mm] - [mm]5^{16}[/mm]
> a) Welche der Primzahlen [mm]\le[/mm] 12 sind Primteiler von a,
> welche nicht?
> b) Richtige Rechnung ergibt
> a=1.104.427.674.24x.920.493.717.408.57y
> Hallo,
>
> also kann ich bei a) erstmal mir die Exponenten anschauen:
> Teileranzahl: [mm]7^{32}: 32=2^5[/mm] -> (5+1)=6 ->
> [mm]T_{32}=(1,2,4,8,16,32)[/mm]
> Teileranzahl [mm]5^{16}: 16=2^4[/mm] -> (4+1)=5 ->
> [mm]T_{16}=(1,2,4,8,16)[/mm]
>
> Also sind doch hier quasi, 1,2 die gesuchten Primzahlen,
> richtig?
Hallo,
das ist grausam. 1 ist keine Primzahl.
Primzahlen <12 sind 2,3,5,7 und 11.
Untersuche für jede dieser Zahlen, ob a durch sie teilbar ist.
Teilbarkeit durch 2 ist klar (alle Potenzen von 5 und von 7 sind ungerade, also ist die Differenz [mm]7^{32}[/mm] - [mm]5^{16}[/mm] gerade).
Teilbarkeit durch 3:
Es gilt 7 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3, daraus folgt [mm] 7^{32} \equiv [/mm] 1 mod 3.
Es gilt 5 [mm] \equiv [/mm] -1 mod 3, daraus folgt [mm] 5^{16} \equiv (-1)^{16} \equiv [/mm] 1 mod 3.
Daraus folgt [mm]7^{32}[/mm] - [mm]5^{16}[/mm] [mm] \equiv [/mm] (1-1) [mm] \equiv [/mm] 0 mod 3 , also ist a auch durch 3 teilbar.
Den Rest überlasse ich dir.
Gruß Abakus
>
> Bitte um Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Do 10.02.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
> > Gegeben sei a:= [mm]7^{32}[/mm] - [mm]5^{16}[/mm]
> > a) Welche der Primzahlen [mm]\le[/mm] 12 sind Primteiler von a,
> > welche nicht?
> > b) Richtige Rechnung ergibt
> > a=1.104.427.674.24x.920.493.717.408.57y
> > Hallo,
> >
> > also kann ich bei a) erstmal mir die Exponenten anschauen:
> > Teileranzahl: [mm]7^{32}: 32=2^5[/mm] -> (5+1)=6 ->
> > [mm]T_{32}=(1,2,4,8,16,32)[/mm]
> > Teileranzahl [mm]5^{16}: 16=2^4[/mm] -> (4+1)=5 ->
> > [mm]T_{16}=(1,2,4,8,16)[/mm]
> >
> > Also sind doch hier quasi, 1,2 die gesuchten Primzahlen,
> > richtig?
> Hallo,
> das ist grausam. 1 ist keine Primzahl.
> Primzahlen <12 sind 2,3,5,7 und 11.
> Untersuche für jede dieser Zahlen, ob a durch sie teilbar
> ist.
> Teilbarkeit durch 2 ist klar (alle Potenzen von 5 und von
> 7 sind ungerade, also ist die Differenz [mm]7^{32}[/mm] - [mm]5^{16}[/mm]
> gerade).
> Teilbarkeit durch 3:
> Es gilt 7 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 3, daraus folgt [mm]7^{32} \equiv[/mm] 1 mod
> 3.
> Es gilt 5 [mm]\equiv[/mm] -1 mod 3, daraus folgt [mm]5^{16} \equiv (-1)^{16} \equiv[/mm]
> 1 mod 3.
> Daraus folgt [mm]7^{32}[/mm] - [mm]5^{16}[/mm] [mm]\equiv[/mm] (1-1) [mm]\equiv[/mm] 0 mod 3 ,
> also ist a auch durch 3 teilbar.
> Den Rest überlasse ich dir.
> Gruß Abakus
> >
> > Bitte um Hilfe!
>
Hallo,
für 5:
[mm] 7\equiv [/mm] -1 mod 5 -> [mm] 7^{32}\equiv [/mm] (-1)^32 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 4
[mm] 5\equiv [/mm] 0 mod 5 -> [mm] 5^16\equiv [/mm] 1 mod 4
-> 5 nicht teilbar, da -1+0=-1
für 7:
[mm] 7\equiv [/mm] 0 mod 7
[mm] 5\equiv [/mm] -2 mod 7
-> 7 nicht teilbar, da 0+-2=-2
für 11:
[mm] 7\equiv [/mm] 1 mod 11
[mm] 5\equiv [/mm] -1 mod 11
-> 11 teilbar, da 1-1=0
Also sind 2,3,11 Primzahlen die a teilen. Der Rest nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Do 10.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf
$ [mm] 7\equiv [/mm] $ -1 mod 5
Und
$ [mm] 7\equiv [/mm] $ 1 mod 11
$ [mm] 5\equiv [/mm] $ -1 mod 11
alle drei sind falsch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Do 10.02.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo
> wie kommst du auf
> [mm]7\equiv[/mm] -1 mod 5
> Und
> [mm]7\equiv[/mm] 1 mod 11
> [mm]5\equiv[/mm] -1 mod 11
> alle drei sind falsch.
> Gruss leduart
>
Hallo,
also nochmal für 5:
7 [mm] \equiv [/mm] 2 mod 5 (7:5 = 1 + Rest 2)
5 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 5 (5:5=1 + Rest 0)
(2-0)=2 -> nicht teilbar.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Do 10.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
dasss 7 und 5 keine Teiler sind ist klar, fehlt 11
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Do 10.02.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
Also,
7 [mm] \equiv [/mm] 7 mod 11 (7:11 = 0 + Rest 7)
[mm] 5\equiv [/mm] 5 mod 11 (5:11 = 0 + Rest 5)
(7-5)=2 auch kein Teiler
Grüße
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Hallo Bodo,
wie schon öfter: erst denken, dann rechnen.
Es geht um Potenzen, nicht um deren Basen. Dass 7-5 nicht durch 11 teilbar ist, braucht keine Modulrechnung. Überhaupt ist 7-5 ja nur durch eine einzige Primzahl teilbar, nämlich 2. Wieso ist dann aber [mm] \blue{7^{32}-5^{16}} [/mm] durch 3 teilbar? Das war doch schon eines der Dir vorgerechneten Ergebnisse.
Für p=11 kannst Du Dir viel Arbeit sparen, wenn Du weißt, dass
[mm] 7^2\equiv 5\mod{11} [/mm] ist.
Grüße
reverend
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> Gegeben sei a:= [mm]7^{32}[/mm] - [mm]5^{16}[/mm]
> b) Richtige Rechnung ergibt
> a=1.104.427.674.24x.920.493.717.408.57y ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
wo kommen denn hier x und y her ??
Statt "x" sollte da eine "3" und statt "y" eine "6" stehen !
Ferner:
Gemeint ist wohl ohnehin, dass man die Aufgabe löst,
ohne die riesigen Zahlenwerte überhaupt ausrechnen
zu müssen.
Dass die Basen 7 und 5 selber zwei der zu prüfenden
Primzahlen sind, ist dabei bestimmt nützlich.
LG Al-Chw.
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> > > > Gegeben sei a:= [mm]7^{32}[/mm] - [mm]5^{16}[/mm]
> > >
> > > > b) Richtige Rechnung ergibt
> > > > a=1.104.427.674.24x.920.493.717.408.57y
> > >
> > > wo kommen denn hier x und y her ??
> > >
> > > Statt "x" sollte da eine "3" und statt "y" eine "6" stehen !
> > >
> > > Ferner:
> > > Gemeint ist wohl ohnehin, dass man die Aufgabe löst,
> > > ohne die riesigen Zahlenwerte überhaupt ausrechnen
> > > zu müssen.
> > > Dass die Basen 7 und 5 selber zwei der zu prüfenden
> > > Primzahlen sind, ist dabei bestimmt nützlich.
> > > LG Al-Chw.
> > Hallo,
> >
> > das x und y sollte man hier ausrechnen...
> >
> > Grüße
> Na, dann...
> die Endziffer y einer Zahl entspricht ihrem Rest mod 10.
> Betrachte also
> [mm]7^{32}[/mm] - [mm]5^{16}[/mm] mod 10.
> Wenn du y hast:
> Jede Zahl ist kongruent zu ihrer alternierenden Quersumme
> mod 11.
> Berechne also den Rest von [mm]7^{32}[/mm] - [mm]5^{16}[/mm] mod 11; wähle
> dann x so, dass die alternierende Quersumme von a den
> gleichen Rest mod 11 lässt.
> Gruß Abakus
Na, dann kann ich wohl auch nur sagen: "Na, dann ..."
Ich würde mir dann in diesem Fall folglich herausnehmen,
nachdem der Herr Professor alle übrigen Dezimalen so locker
hinschreiben konnte, es ebenso locker zu nehmen und so
wie er auf einen CAS-Rechner oder z.B. auf die Wolfram-
Webseite zurückgreifen, um die zwei noch fehlenden Stellen
zu ermitteln ...
LG Al-Chw.
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