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Forum "Uni-Finanzmathematik" - Wienerprozess vs Ho-Lee-Modell
Wienerprozess vs Ho-Lee-Modell < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wienerprozess vs Ho-Lee-Modell: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Do 09.09.2004
Autor: felixx

Ich habe diese Frage auch in folgenden fremden Foren gestellt:
[Hier gibst du bitte die direkten Links zu diesen Fragen an.]

hallo,

kann mir jemand den Unterschied zwischen dem Wienerprozess und dem Ho-Lee-Modell erklären.

gruss
felixx

        
Bezug
Wienerprozess vs Ho-Lee-Modell: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:10 Do 09.09.2004
Autor: Stefan

Hallo!

[willkommenmr]

Ich kann dir morgen was dazu schreiben, wenn du das bitte bis morgen noch einträgst:

> Ich habe diese Frage auch in folgenden fremden Foren
> gestellt:
>   [Hier gibst du bitte die direkten Links zu diesen Fragen
> an.]

Du hast es nicht eingetragen. In welchem Forum also? Wir wollen Paralleldiskussionen vermeiden. (Vorher wird die Frage nicht beantwortet.)

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Wienerprozess vs Ho-Lee-Modell: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:08 Fr 10.09.2004
Autor: felixx

hallo,

also ich habe in folgenden Foren diese Frage gepostet:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=5815
http://www.matheplanet.com

gruss
felixx

Bezug
                        
Bezug
Wienerprozess vs Ho-Lee-Modell: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:39 Fr 10.09.2004
Autor: Stefan

Hallo felixx!

> also ich habe in folgenden Foren diese Frage gepostet:
>  http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=5815

Vielen Dank. :-)

>  http://www.matheplanet.com

Hier bitte den genauen Link nachreichen. Oder soll ich jetzt das gesamte Forum dort durchsuchen? Ich werde gleich antworten, aber ich erwarte von dir, dass du das noch nachreichst (und in Zukunft bitte auch von selbst).

Liebe Grüße
Stefan
  

Bezug
                                
Bezug
Wienerprozess vs Ho-Lee-Modell: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:08 Fr 10.09.2004
Autor: felixx

hallo stefan

Nachtrag zu matheplanet-link
[]http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=24062

beste gruesse


Bezug
                                        
Bezug
Wienerprozess vs Ho-Lee-Modell: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:32 Fr 10.09.2004
Autor: Stefan

Hallo Felix!

Vielen Dank!! :-)

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
        
Bezug
Wienerprozess vs Ho-Lee-Modell: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 Fr 10.09.2004
Autor: Stefan

Hallo felixx!

Also, mir ist die Frage nicht ganz klar. Denn ein Wiener-Prozess ist ein Bestandteil des Ho-Lee-Modells, insofern stellt sich die Alternative nicht.

Was will man hier eigentlich bei dem Ho-Lee-Modell?

Es handelt sich um ein sogenanntes Short-Rate-Modell, bei dem die Dynamik der kurzfristigen Zinsen (also der Zinsen von Bonds, die "unmittelbar" (also nach infinitesimal kleiner Zeit) fällig werden), modellieren. Daraus bekommt man -das liegt an der speziellen Struktur, die dieses Modell innehat, nämlich eine sogenannte affine Zinsstruktur- sehr einfach die Spot Rates für Bonds verschiedener Laufzeiten und damit auch deren sämtliche Bondpreise, berechnen.

Das war jetzt alles ultraknapp. Ich gehe davon aus, dass du diese Zusammenhänge bereits kennst. Falls dies nicht der Fall ist und du daran genauer interessiert bist, kannst du dich ja mal mit einer neuen Frage (in einem neuen Diskussionsstrang) wieder melden.

Wie wird nun die Dynamik der Short Rate modelliert?

Mit einer sogenannten stochastischen Differentialgleichung. Sollten dir dafür die mathematischen Grundlagen fehlen, rate ich dir diese nachzulesen, und zwar am besten in meinem Skript (denn das verstehe ich dann wenigstens auf Anhieb, falls du Nachfragen hast ;-)). Du kannst es hier herunterladen, insbesondere empfehle ich dir meine beiden Vorkurse. Die Skripte lehnen sich sehr stark an das Buch "Arbitrage Theory in Continuous Time" von Thomas Bjoerk (Oxford University Press) an, ein ausgezeichnetes, didaktisch brilliantes (!) Lehrbuch (eines der besten mir bekannten Bücher für angewandte Mathematik) für Leute, die sich in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Analysis halbwegs auskennen und einen Einblick in die stetige Finanzmathematik bekommen möchten. Kann ich dir nur empfehlen, damit habe ich mir selber im "Hau-Ruck-Verfahren" die moderne Finanzmathematik beigebracht. Es ist mathematisch nicht immer (aber doch zumeist) von höchster Präzision, aber man bekommt ein Super-Gefühl für die Techniken und Ideen in der Finanzmathematik; die Sprache bleibt immer (erfreulicherweise) mathematisch, da Herr Prof. Bjoerk selber ein ausgezeichneter Mathematiker (Wahrscheinlichkeitstheoretiker) ist.

Wie  genau lautet die stochastische Differentialgleichung?

Sie lautet:

$dr = [mm] \Theta(t)\, [/mm] dt + [mm] \sigma\, [/mm] dW$.

Hierbei ist $W$ ein Wiener-Prozess. Weißt du, was ein Wiener-Prozess ist? Falls nicht, dann lies es bitte in meinem Skript nach. Anschaulich kann man sagen: Betrachte einen Random Walk und lasse die Größe der Zeitzwischenpunkte infinitesimal klein werden. Mathematischer würde man sagen: Es handelt sich um einen stochastischen Prozess mit fast sicher stetigen Pfaden, dessen Zuwächse normalverteilt und unabhängig sind und der -zumeist der Konvention folgend- in $0$ beginnt.

Ein solcher Prozess schwankt also um die $0$, stochastisch, und zwar so unregelmäßig, dass es verdammt "zackig" aussieht. (Man kann zeigen, dass dessen Pfade fast sicher in keinem einzigen Punkt differenzierbar sind.)

Hiermit kann man (mehr oder weniger, aber dazu ein anderes Mal, an anderer Stelle!) gut die Volatilitäten (also die "Unsicherheit") in Aktienkursen oder anderen Renditeverläufen, auch in der Dynamik von Zinsraten, modellieren.

Nur wäre es jetzt sinnvoll, die Modellierung der Short Rate jetzt ausschließlich mit dem Wiener-Prozess zu versuchen? Nein, sicherlich nicht! Renditeverläufe genügen in keinster Weise einfach nur einem Wiener-Prozess. Man beobachtet immer auch "grobe deterministische Richtungen", in die man läuft, einen sogenannten Drift.

Dieser "Drift" wird mit dem "Driftterm" [mm] $\Theta(t)\, [/mm] dt$ modelliert. Betrachten wir das Ganze mal ohne Wiener-Prozess. Dann lautete die Gleichung einfach

$dr = [mm] \Theta(t)\, [/mm] dt$,

und dies wäre ein ganz gewöhnliches Differential, das man entweder durch Aufintegrieren (oder aber, wenn [mm] $\Theta(t)$ [/mm] von $r$ abhängen würde, tut es hier aber nicht) durch Lösung der entsprechenden Differentialgleichung lösen könnte. Wir hätten also eine glatte Lösung. Aber hast du dir schon mal Kurven der Short-Rate angeschaut? Es wäre nicht sinnvoll diese als so glatt anzunehmen, und hier wäre ja gar keine Stochastik implementiert.

Also nimmt man den "Diffusionsterm"  [mm] $\sigma\, [/mm] dW$ noch mit dazu. Er sorgt sozusagen für die Zacken.

Man muss dazu sagen, dass das Ho-Lee-Modell die Zinsdynamik nicht besonders gut widerspiegelt. Es gibt bessere Modelle (etwa das Hull-White-Modell), die ebenfalls einen zeitabhängigen Drift haben, aber außerdem noch Mean-Reverting-Effekte (also das Bestreben der Zinsraten, immer wieder zu einem langfristigen Mittel zurückzukehren) berücksichtigen.

Man verzeihe mir diese Heuristik und mathematisch unpräzise Ausdrucksweise. Alles Mathematische musst (und willst, nehme ich mal an :-)) du jetzt im Selbststudium nachholen.

Erster Schritt dazu: Lies dir mal mein Skript durch, fange mit den Vorkursen an und melde dich wieder bei Fragen.

Ich weiß ja auch nicht genau, auf welchem Niveau ich hier antworten darf/soll/kann. Deine Frage legt jedoch nahe, dass du dich so genau mit Zinsmodellen noch nicht auskennst, ist das richtig? Dann würde ich erst einmal was an den Grundlagen tun.  
  
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen, auch wenn ich auf deine Frage (die aus meiner Sicht aber auch keine Antwort hat, da sie so direkt keinen Sinn ergibt) nur "über Umwege" eingehen konnte.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
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