Wsk-erzeugende Funkionen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Variante des Billiards verläuft wie folgt. Ziel ist es N zulässige Stöße zu erzielen.
Ein Spieler beginnt und stößt so lange, bis ihm ein unzulässiger Stoß unterläuft.
Dann wechselt das Spiel zum zweiten Spieler, der an den Kugeln bleibt, bis ihm ein unzulässiger Stoß unterläuft. Wechsel, usw. usw.
Die Folge, der zulässigen Stöße bis einschließlich des den Wechsel erzwingenden unzulässigen heißt turn.
Bestimmen Sie die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion und die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Sr, wobei Sr die Anzahl der zulässigen Stöße in r turns ist.
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Hab Probleme mit folgender Aufgabe. Vielleicht kann jemand helfen 
Bin für jede Hilfe dankbar
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewforum.php?forum=100&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Fsearch%3Fhl%3Dde%26q%3Dstatistik%2Bforum%26btnG%3DGoogle-Suche%26meta%3D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mi 27.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Breezeman,
zunaechst einnmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Haben beide Spieler dieselbe Wahrscheinlichkeit, einen zulaessigen Stoss
zu erzielen? Verlaufen die Versuche unabhaengig?
lg
Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Breezeman |
Ersteinmal vielen Dank für deine Antwort.
Ich verstehe die Aufgabe so, dass beide Spieler die selbe Wsk haben einen zulässigen Stoß zu erziele.
Zudem gehe ich davon aus das die Versuche unabhängig voneinander stattfinden.
Ich weiß nur einfach nicht wie ich in diesem Fall eine wohl Formale wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bilden soll...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Mi 27.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Breezeman,
so, wie du die Annahmen hier beschreibst, besitzt [mm] $S_r$ [/mm] eine negative
Binomialverteilung, auch Pascalverteilung genannt mit
[mm] $P(S_r=s)={r+s-1\choose s}p^r(1-p)^s$
[/mm]
fuer [mm] $s=0,1,2,\dots$. [/mm] Dabei ist $p$ die Wahrscheinlichkeit eines
unzulaessigen Stosses.
Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhaeltst du so:
[mm] $g(t)=\mbox{E}[t^X]=\sum_{s=0}^\infty t^sP(S_r=s)= \sum_{s=0}^\infty{r+s-1\choose s}p^r(t(1-p))^s$.
[/mm]
Hier biege ich mal ab. Habe mich aber etwas im Internet getummelt
und meine, dass du die Summe mit der Newtonschen Binomialformel
bestimmen kannst:
![[]](/images/popup.gif) http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient
Achte auf den Konvergenzradius!
Lass uns bitte wissen, ob dich das weiter gebracht hat.
lg
Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Mi 27.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Uebrigens: die momenterzeugende Funktion der negativen
Binomialverteilung ist [mm] $h(u)=\mbox{E}[e^{uS_r}]=(p/(1-qe^u))^r$, [/mm] siehe
http://en.wikipedia.org/wiki/Negative_binomial_distribution
So erhalte ich [mm] $g(t)=\mbox{E}[t^X]=\mbox{E}[\exp[\log(t)X]]=h(\log(t))=(p/(1-qt))^r$.
[/mm]
Bleibt nur noch nachzuweisen, dass fuer $h$ besagte Darstellung gilt
(oder fuer $g$).
lg
Luis
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Erstmal vielen Dank für deinen Lösungsansatz Luis. Hat uns jetzt schon sehr weitergeholfen...
Haben da allerdings noch einige Anmerkungen und Fragen die du dir evtl mal ansehen könntest.
Wir verstehen die Wahl der negativen Binomialverteilung so, dass laut der Definition die Fehlversuche im Grunde genommen die gültigen Stöße sind und der ungültige Stoß die gesuchte Wahrscheinlichkeit darstellen soll.
Zudem vermuten wir, dass das letzte t deiner wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion sich auf das (1-p) bezieht, da es sich hier um die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der negativen Binomialverteilung handelt.
Im Falle der normalen Binomialverteilung würde sich dieses dann eigentlich auf das p beziehen.
LG und vielen Dank nochmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Fr 29.06.2007 | | Autor: | luis52 |
> Erstmal vielen Dank für deinen Lösungsansatz Luis. Hat uns
> jetzt schon sehr weitergeholfen...
Gerne.
>
> Haben da allerdings noch einige Anmerkungen und Fragen die
> du dir evtl mal ansehen könntest.
>
> Wir verstehen die Wahl der negativen Binomialverteilung so,
> dass laut der Definition die Fehlversuche im Grunde
> genommen die gültigen Stöße sind und der ungültige Stoß die
> gesuchte Wahrscheinlichkeit darstellen soll.
Ja, das stimmt. [mm] $S_r$ [/mm] ist ja eine Zufallsvariable, die fuer die Anzahl
der zulässigen Stöße (Nieten) steht. Ich verstehe deswegen die
Aufgabenstellung so, dass das Spiel mit dem $r$-ten unzulässigen Stoss
(Treffer) beendet ist. Deswegen ist $p$ die Wahrscheinlichkeit fuer
einen unzulässigen und $1-p$ die fuer einen zulässigen Stoss.
>
> Zudem vermuten wir, dass das letzte t deiner
> wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion sich auf das (1-p)
> bezieht, da es sich hier um die
> wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der negativen
> Binomialverteilung handelt.
> Im Falle der normalen Binomialverteilung würde sich dieses
> dann eigentlich auf das p beziehen.
Hier weiss ich leider nicht, was du meinst. Auf welche Antwort beziehst
du dich? Auf die vom 21:34 Mi 27.06.2007? Wo liegt da das Problem?
LG
Luis
PS: Wer ist wir? Oder heisst du Breezemen?
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> > Haben da allerdings noch einige Anmerkungen und Fragen die
> > du dir evtl mal ansehen könntest.
> >
> > Wir verstehen die Wahl der negativen Binomialverteilung so,
> > dass laut der Definition die Fehlversuche im Grunde
> > genommen die gültigen Stöße sind und der ungültige Stoß die
> > gesuchte Wahrscheinlichkeit darstellen soll.
>
> Ja, das stimmt. [mm]S_r[/mm] ist ja eine Zufallsvariable, die fuer
> die Anzahl
> der zulässigen Stöße (Nieten) steht. Ich verstehe
> deswegen die
> Aufgabenstellung so, dass das Spiel mit dem [mm]r[/mm]-ten
> unzulässigen Stoss
> (Treffer) beendet ist. Deswegen ist [mm]p[/mm] die
> Wahrscheinlichkeit fuer
> einen unzulässigen und [mm]1-p[/mm] die fuer einen zulässigen
> Stoss.
>
Alles klar, das hab ich dann komplett verstanden!
> >
> > Zudem vermuten wir, dass das letzte t deiner
> > wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion sich auf das (1-p)
> > bezieht, da es sich hier um die
> > wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der negativen
> > Binomialverteilung handelt.
> > Im Falle der normalen Binomialverteilung würde sich dieses
> > dann eigentlich auf das p beziehen.
>
> Hier weiss ich leider nicht, was du meinst. Auf welche
> Antwort beziehst
> du dich? Auf die vom 21:34 Mi 27.06.2007? Wo liegt da das
> Problem?
>
Wir wollen auf die Herleitung der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion hinaus. Haben eine Herleitung für die Binomialverteilung gefunden, allerdings keine für die negative Binomialverteilung. Da wir in unserer Lösung die Herleitung darstellen wollen, kommen wir da nicht so ganz voran. Deshalb die Frage ob man die negative Binomialverteilung so wie oben beschrieben mit der Binomialverteilung in Verbindung bringen kann. Falls dies so sein sollte, wäre uns damit schon sehr geholfen
>
> LG
> Luis
>
> PS: Wer ist wir? Oder heisst du Breezemen?
>
Sitz grad in der Uni und wir versuchen mit einer kleinen Lerngruppe die Aufgabe zu lösen, deshalb schrieb ich grade wir.
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Fr 29.06.2007 | | Autor: | luis52 |
> >
> Wir wollen auf die Herleitung der
> wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion hinaus. Haben eine
> Herleitung für die Binomialverteilung gefunden, allerdings
> keine für die negative Binomialverteilung. Da wir in
> unserer Lösung die Herleitung darstellen wollen, kommen wir
> da nicht so ganz voran. Deshalb die Frage ob man die
> negative Binomialverteilung so wie oben beschrieben mit der
> Binomialverteilung in Verbindung bringen kann. Falls dies
> so sein sollte, wäre uns damit schon sehr geholfen
>
>
Hallo,
es gibt m.W. keinen direkten Zusammenhang zwischen beiden Verteilungen,
etwa derart, dass die WEF der einen Verteilung aus der der anderen
hergeleitet werden koennte.
Ist euch denn der Ansatz
$ [mm] g(t)=\mbox{E}[t^X]=\sum_{s=0}^\infty t^sP(S_r=s)= \sum_{s=0}^\infty{r+s-1\choose s}p^r(t(1-p))^s [/mm] $
meiner Zuschrift vom 21:34 Mi 27.06.2007 klar? Im dort genannten Link
finde ich die Formel
[mm] $\frac{1}{(1-z)^{\alpha+1}} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}{\alpha+n\choose \alpha}z^n$
[/mm]
fuer $|z|<1$, von der ich unterstelle, dass ihr sie kennt. Es ist mit
$q=1-p$ und $|tq|<1$:
[mm] $\sum_{s=0}^\infty{r+s-1\choose s}p^r(t(1-p))^s=p^r\sum_{s=0}^\infty{r+s-1\choose s}(tq)^s=p^r\sum_{s=0}^\infty{r+s-1\choose r-1}(tq)^s$
[/mm]
Setze wir [mm] $\alpha=r-1$ [/mm] in obiger Formel, so ergibt sich
[mm] $g(t)=p^r\sum_{s=0}^\infty{r+s-1\choose r-1}(tq)^s=\frac{p^r}{(1-tq)^r}$,
[/mm]
was mit dem im "Nachklapp" erwaehnten Ergebnis uebereinstimmt.
LG
Luis
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