Zufallsvariablen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 So 26.01.2014 | | Autor: | petapahn |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Leute,
ich habe eine Frage:
in meinem Skript steht:
Seien X, Y zwei unabhängige Zufallsvariablen. Sei 1 die charakteristische Fkt.. Dann gilt für
$P(X-Y \le 0)= \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X,Y}(x,y)1_{{((x,y)|x-y\le 0)}}}dxdy = \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X}(x)*f_{Y}(y)1_{{((x,y)|x-y\le 0)}}}dxdy\$
Wenn man nun P(X+2Y \le 0) ausrechnen will, dann muss doch auch gelten, da X und 2Y ja auch unabhängig sind:
$P(X+2Y \le 0) = \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X,2Y}(x,y)1_{{((x,y)|x+2y\le 0)}}}dxdy = \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X}(x)*f_{2Y}(y)*1_{{((x,y)| x+2y \le 0)}}(x,y)dxdy.\$
Stimmt das soweit?
Ich komme nämlich irgendwie dauernd auf falsche Ergebnisse. :(
Viele Grüße
petapahn
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Hiho,
> Wenn man nun P(X+2Y [mm]\le[/mm] 0) ausrechnen will, dann muss doch
> auch gelten, da X und 2Y ja auch unabhängig sind:
> [mm]P(X+2Y \le 0) = \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X,2Y}(x,y)1_{{((x,y)|x+2y\le 0)}}}dxdy = \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X}(x)*f_{2Y}(y)*1_{{((x,y)| x+2y \le 0)}}(x,y)dxdy.\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Stimmt das soweit?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Sei A(X,Y) eine meßbare Menge, die von X und Y abhängt, bei dir ist also $A(X,Y) = \{X + 2Y \le 0\}$ dann gilt:
$P(A(X,Y)) = \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X,Y}(x,y)1_{A(x,y)}dxdy$
Du nimmst also immer die gemeinsame Dichte von X und Y
Wenn du die gemeinsame Dichte von X und 2Y nehmen möchtest, wäre dein A ein anderes.
Nennen wir mal $\overline{Y} = 2Y$, dann wäre dein A ja:
$A(X,Y) = \{X + 2Y \le 0\} = \{X + \overline{Y} \le 0 \} = B\left(X,\overline{Y}\right)$ mit $B(X,Y) = \{X + Y \le 0 \} = A\left(X,\bruch{1}{2}Y\right)$
Du integrierst also letztlich über eine andere Menge.
Es gilt also:
[mm]P(X+2Y \le 0) = \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X,Y}(x,y)1_{{((x,y)|x+2y\le 0)}}}dxdy = \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X,2Y}(x,y)1_{{((x,y)|x+y\le 0)}}}dxdy[/mm]
An beiden Stellen die 2 zu haben wäre also doppelt gemoppelt und damit falsch.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 So 26.01.2014 | | Autor: | petapahn |
Hallo gono,
vielen Dank für deine Antwort. Das habe ich soweit verstanden.
Kannst du mir vllt bei folgender Übungsaufgabe helfen? Ich krieg immer noch nichts raus.
Seien X,Y unabhängig.
Sei $ [mm] F_X(x)=(1-e^{-x})*1_{(0;\infty)}(x), F_Y(y)\$ [/mm] identisch.
[mm] f_{X}(x)=F'_{X}(x)= e^{-x}, f_{Y}(y)=e^{-y}
[/mm]
Dann ist doch
[mm] P(X+\bruch{1}{2}Y\le [/mm] c)= [mm] \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X}(x)*f_{Y}(y)*1_{{((x,y)| x+\bruch{1}{2}y \le c)}}dxdy}= \integral_{0}^{\infty} \integral_{0}^{c-\bruch{1}{2}y}{e^{-x}*e^{-y}dxdy}=\integral_{0}^{\infty}{e^{-y}*(1-e^{-(c-\bruch{1}{2}y)}dy}= \integral_{0}^{\infty}{e^{-y}dy}-\integral_{0}^{\infty}{e^{-\bruch{1}{2}y-c}dy}=1-2e^{-c}
[/mm]
--> [mm] f_{X+\bruch{1}{2}Y}(c)= F'_{X+\bruch{1}{2}Y)}(c)=2e^{-c}
[/mm]
Das ist aber irgendwie falsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:51 So 26.01.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
wenn du es anständig formatiert bekommst, kann man dir sicherlich helfen 
edit: Und gleich zu beginn fällt mir auf: Die charakteristische Funktion ist sicherlich [mm] $F_X(x) [/mm] = [mm] (1-e^{-x})1_{[0,\infty)}$.
[/mm]
Gruß,
Gono.
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Hiho,
> Das ist aber irgendwie falsch.
Nö. Wie kommst du drauf?
Bis auf die Tatsache, dass du vergisst die Indikatorfunktion mitzuziehen, aber sonst passt es.
edit: Ah doch, da ist ein Fehler..... schau dir deine Grenzen mal noch einmal an, insbesondere wie weit dein x laufen darf. Denk dabei mal an den Definitionsbereich von y.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:29 Mo 27.01.2014 | | Autor: | petapahn |
Ich ziehe doch die beiden Indikatorfunktionen von [mm] f_{X} [/mm] und [mm] f_{Y} [/mm] gleich in das Integral hinein, d.h. da x [mm] \in (0,\infty) [/mm] und [mm] y\in (0,\infty) [/mm] und x [mm] \le c-\bruch{1}{2}y [/mm] müssten doch die Integrationsgrenzen stimmen.
LG,
petapahn
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Hiho,
du sagst also [mm] $x\in (0,\infty)$, [/mm] dann geb ich dir jetzt mal x=2c.
Nenne mir dazu mal das passende y so dass weiterhin $x + [mm] \bruch{1}{2}y \le [/mm] c$
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:41 Mo 27.01.2014 | | Autor: | petapahn |
OK. Dann setzt man einfach bei x die Grenze bei [mm] c-\bruch{1}{2}y [/mm] und bei y die Grenze bei c?
also [mm] \integral_{0}^{c}\integral_{0}^{c-\bruch{1}{2}y} [/mm] ...
Stimmt das so jetzt so?
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Hiho,
> OK. Dann setzt man einfach bei x die Grenze bei [mm]c-\bruch{1}{2}y[/mm] und bei y die Grenze bei c?
Na fast, da steht ja $X + [mm] \bruch{1}{2}Y$, [/mm] also darf Y bis wohin laufen?
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:49 Mo 27.01.2014 | | Autor: | petapahn |
achso logisch dann bis 2c natürlich.
Vielen Dank, dass du dir Zeit genommen hast, um mir zu helfen!
Liebe Grüße,
petapahn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Mo 27.01.2014 | | Autor: | petapahn |
Hallo,
jetzt hab ich doch eine Frage:
Seien X,Y wieder unabhängig und [mm] f_{X}(x)=2e^{-2x}1_{(0,\infty)}(x), f_{Y}(y)=4e^{-4y}1_{(0,\infty)}(y).
[/mm]
Wenn man z.B. die Verteilungsfkt. für X-2Y ausrechnen möchte
macht man ja P(X-2Y [mm] \le c)=\integral_{0}^{\infty} \integral_{0}^{c+2y}{f_{X}(x)*f_{Y}(y)dxdy}=...=1-\bruch{1}{2}e^{-2c}
[/mm]
--> [mm] f_{X-2Y}(c)=P'(X-2Y\lec)=e^{-2c}. [/mm] Aber in der Lösung steht [mm] f_{X-2Y}(c)=e^{-2|c|}. [/mm] Wie kommt man da auf den Betrag?
Grüße,
petapahn
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Hiho,
du ignorierst getrost einige Fälle.
Was machst du z.B. wenn $c + 2y < 0$ gilt? Wie integrierst du dann?
Das erkennst du schon daran, dass dein Ergebnis hinten nicht einmal eine Verteilungsfunktion ist.
Mache also eine Fallunterscheidung in Bezug auf c.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Di 28.01.2014 | | Autor: | petapahn |
Wenn c+2y< 0, wäre das natürlich blöd, weil dann x < 0 wäre und x muss ja >0 sein wegen der Indikatorfkt.. Also darf c+2y gar nicht <0 sein. Aber ich check es echt grad gar nicht. Muss ich die Integralgrenzen anders setzen und wie genau muss diese Fallunterscheidung bei c aussehen? Weil für c+2y>0 passt es doch so wie es ist. Sorry, wenn ich gerade total dummes Zeug laber :D.
Greetz
petapahn
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Hiho,
> Wenn c+2y< 0, wäre das natürlich blöd, weil dann x < 0 wäre und x muss ja >0 sein wegen der Indikatorfkt.. Also darf c+2y gar nicht <0 sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Muss ich die Integralgrenzen anders setzen
Ja und das tolle ist, du brauchst gar keine Fallunterscheidung
Wie du schon selbst festgestellt hast, ist die obere Integrationsgrenze eben entweder c+2y oder 0, je nachdem, was größer ist.
Ergo: [mm] $\max\{c+2y,0\}$, [/mm] damit rechnest du erstmal und setzt zum Schluß die Definition vom [mm] \max [/mm] ein (so kommt auch der Betrag rein)
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Di 28.01.2014 | | Autor: | petapahn |
Ok dann steht da
[mm] \integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{\max(c+2y,0)}{8e^{-2x}e^{-4y}dxdy}
[/mm]
Fubini birngt mich hier nicht weiter, darum muss ich zuerst [mm] \integral_{0}^{max(c+2y,0)}{8e^{-2x}e^{-4y}dx} [/mm] ausrechnen. Ich setze dazu, wie du gesagt hast die Definition vom Maximum ein:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{c+2y+|2y+c|}{2}}{8e^{-2x}e^{-4y}dx}= 4e^{-4y}*(1-e^{-(c+2y+|2y+c|)})
[/mm]
Bei [mm] \integral_{0}^{\infty}{4e^{-4y}*(1-e^{-(c+2y+|2y+c|)}dy} [/mm] gibt es halt dann die Schwierigkeit über den Betrag zu integrieren. Bei der Fallunterscheidung kommt einmal 0 raus für [mm] 2y+c\le [/mm] 0 und einmal [mm] 1-\bruch{1}{2}e^{-2c} [/mm] für 2y+c>0. Das ist aber doch wieder keine Verteilungsfunktion, oder?
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Hiho,
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{c+2y+|2y+c|}{2}}{8e^{-2x}e^{-4y}dx}= 4e^{-4y}*(1-e^{-(c+2y+|2y+c|)})[/mm]
Mit Augenmaß und Draufgucken, ohne explizit nachzurechnen, könnte das passen,
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{4e^{-4y}*(1-e^{-(c+2y+|2y+c|)}dy}[/mm] gibt es halt dann die Schwierigkeit über den Betrag zu integrieren.
Na wirklich schwierig ist das nicht.
> Bei der Fallunterscheidung kommt einmal 0 raus für [mm]2y+c\le[/mm] 0 und einmal [mm]1-\bruch{1}{2}e^{-2c}[/mm] für 2y+c>0.
Erstmal: Deine Lösung sollte kein y mehr enthalten, das fällt durch die Integration ja weg
Die Idee ist aber richtig. Für $2y+c < 0$ kommt da 0 raus, demzufolge ändern sich die Integrationsgrenzen wie?
Dabei musst du natürlich auch beachten, dass [mm] $y\in (0,\infty)$.
[/mm]
Tipp: Die untere Grenze ist wieder ein Maximum aus zwei Werten.
Irgendwie mag ich die Aufgabe ^^
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Di 28.01.2014 | | Autor: | petapahn |
Hallo,
jetzt hab ichs endlich! Die untere Grenze ist dann [mm] max(0,-\bruch{c}{2}) [/mm]
Beim Weiterrechnen krieg ich das gewünschte Ergebnis. Danke nochmal für deine Hilfe, war ne schwere Geburt...
Man könnte die Aufgabe aber eigentlich auch viel einfacher/schneller durch die Faltungsformel lösen, sofern man diese kennt, oder?
LG,
petapahn
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