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Zyklische Gruppen/Untergruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Do 06.11.2008
Autor: chriz123

Aufgabe
[mm]G[/mm] sei eine Gruppe, [mm]g \in G[/mm]. Wir bezeichnen mit [mm](g)[/mm] die Teilmenge [mm](g) := {g^{n}| n \in \IZ} [/mm] von [mm]G[/mm].
(1) Zeigen Sie: [mm](g)[/mm] ist Untergruppe von [mm]G[/mm].

(2) Existiert in einer Gruppe G ein Element g mit (g) =   G, so heißt G eine zyklische Gruppe.
Beweisen Sie: Zwei zyklische Gruppen sind genau dann isomorph, wenn ihre Kardinalzahlen übereinstimmen.

(3) Bestimmen Sie alle Untergruppen einer zyklischen Gruppe.

zu (1) [mm](g)[/mm] ist Untergruppe von [mm]G[/mm]
      g.d.w. [mm]a,b \in (g)\Rightarrow ab \in (g)[/mm] und [mm] a \in (g)\Rightarrow a^{-1} \in (g)[/mm]
Ich muss doch jetzt zeigen, dass [mm](g)[/mm] unter Multiplikation und Inversenbildung abgeschlossen ist, oder?
[mm]\forall a,b \in (g): ab \in (g)[/mm]
d.h. [mm]a^{n},b^{n} \in (g)= a^{n}b^{n} \in (g)=(a+b)^{n}\in (g)[/mm]
Ich weiß, dass ich dass wohl nicht einfach so schreiben kann... Aber ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen, wie ich die Abgeschlossenheit genau zeigen kann.

zu (2) Unter Kardinalzahlen verstehe ich die Ordnung einer Gruppe, also die Anzahl der Elemente von G.
Isomorphe Gruppen müssen auch die gleiche Anzahl von Elementen haben, dass reicht aber nicht, da eine bijektive Abbildung zwischen beiden existieren muss.
Also muss ja das zyklische noch eine rolle spielen. Aber welche? Wie ist dadruch die Bijektion definiert?

zu (3) Habe das bei wiki gefunden: "Eine Gruppe G ist zyklisch, wenn sie ein Element a enthält, sodass jedes Element von G eine Potenz von a ist. Gleichbedeutend damit ist, dass es ein Element a gibt, sodass G selbst die einzige Untergruppe von G ist, die a enthält."

Heißt das jetzt, das G die einzige Untergruppe von G ist?
Oder gibt es noch mehr Untergruppen, die nicht a enthalten? Vielleicht der Form mG?
Eigentlich müsste doch zumindestens die leere Gruppe auch eine triviale Untergruppe von G sein, oder?


Auch wenn das eine umfangreichere Aufgabe ist. Hoffe ich, dass mir jemand helfen kann! Damit ich das endlich verstehe! Vielen Dank!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

mfG chriz123

        
Bezug
Zyklische Gruppen/Untergruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:26 Fr 07.11.2008
Autor: Gnometech

Hallo!

> Ich muss doch jetzt zeigen, dass [mm](g)[/mm] unter Multiplikation
> und Inversenbildung abgeschlossen ist, oder?
> [mm]\forall a,b \in (g): ab \in (g)[/mm]
>  d.h. [mm]a^{n},b^{n} \in (g)= a^{n}b^{n} \in (g)=(a+b)^{n}\in (g)[/mm]

Wie kommt denn die Addition da hinein? Du hast in einer Gruppe nur eine Verknüpfung und die wird meist multiplikativ geschrieben (es sei denn, die Gruppe ist abelsch und auch dann nicht immer).

Aber im Grunde hast Du Recht, Du musst zeigen, dass die Menge abgeschlossen ist unter Produkten und Inversenbildung.

Bedenke die Definition! Die betrachtete Menge sieht folgendermaßen aus:

$(g) = [mm] \{ g^n : n \in \IZ \}$. [/mm]

Das heißt doch, dass sich jedes Element von $(g)$ in der Form [mm] $g^k$ [/mm] schreiben lässt, wobei $k [mm] \in \IZ$. [/mm] Das musst Du verwenden! Was gilt denn für [mm] $g^k \cdot g^l$ [/mm] mit $k,l [mm] \in \IZ$? [/mm] Und was ist [mm] $(g^k)^{-1}$? [/mm]
  

> zu (2) Unter Kardinalzahlen verstehe ich die Ordnung einer
> Gruppe, also die Anzahl der Elemente von G.
>  Isomorphe Gruppen müssen auch die gleiche Anzahl von
> Elementen haben, dass reicht aber nicht, da eine bijektive
> Abbildung zwischen beiden existieren muss.
>  Also muss ja das zyklische noch eine rolle spielen. Aber
> welche? Wie ist dadruch die Bijektion definiert?

Für die eine Richtung gebe ich Dir einen Hinweis. Nimm mal an, dass $G$ und $H$ zyklisch sind und die gleiche Kardinalität haben. Dann gibt es nach Definition ein Element $g [mm] \in [/mm] G$ mit $G = (g)$ und ein $h [mm] \in [/mm] H$ mit $H = (h)$. Insbesondere lässt sich jedes Element von $G$ als Potenz von $g$ schreiben und ebenso jedes Element von $H$ als Potenz von $h$.

Definiere die Abbildung [mm] $\phi: [/mm] G [mm] \to [/mm] H$ durch [mm] $\phi(g^k) [/mm] := [mm] h^k$. [/mm] Da muss jetzt noch einiges getan werden. Zunächst sollte man zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist (die Darstellung muss ja nicht eindeutig sein!) und dann muss man zeigen, dass sie ein Homomorphismus und bijektiv ist.

Die Rückrichtung ist ganz einfach, wenn zwei Mengen nicht die gleiche Kardinalität haben, dann gibt es keine Bijektion zwischen ihnen (nach Definition), also können Gruppen verschiedener Kardinalität nicht isomorph sein.
  

> zu (3) Habe das bei wiki gefunden: "Eine Gruppe G ist
> zyklisch, wenn sie ein Element a enthält, sodass jedes
> Element von G eine Potenz von a ist. Gleichbedeutend damit
> ist, dass es ein Element a gibt, sodass G selbst die
> einzige Untergruppe von G ist, die a enthält."
>  
> Heißt das jetzt, das G die einzige Untergruppe von G ist?
> Oder gibt es noch mehr Untergruppen, die nicht a enthalten?
> Vielleicht der Form mG?
>  Eigentlich müsste doch zumindestens die leere Gruppe auch
> eine triviale Untergruppe von G sein, oder?

Wenn Du mit der "leeren Gruppe" die Gruppe meinst, die nur aus dem Einselement besteht, dann hast Du Recht. Du kannst ja erstmal vom Fall einer endlichen Gruppe ausgehen, dann hat Dein Erzeuger $g$ endliche Ordnung, d.h. es gibt ein (minimales) $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $g^n [/mm] = e$. Beispiele dafür sind die Gruppen [mm] $\IZ [/mm] / n [mm] \IZ$ [/mm] mit $n [mm] \in \IN$. [/mm]

Manchmal gibt es da echte Untergruppen. Nimm als Beispiel einmal an, dass $G$ genau 4 Elemente hat und zyklisch ist, es gibt also ein $g [mm] \in [/mm] G$ mit [mm] $g^4 [/mm] = e$ und die Gruppe hat genau die Elemente $e, g, [mm] g^2$ [/mm] und [mm] $g^3$. [/mm]

Die Menge [mm] $\{e, g^2\}$ [/mm] ist dann eine echte Untergruppe.

Spiel mal ein wenig damit herum... was geschieht bei einer Gruppe der Ordnung 3? Was bei Ordnung 5? Oder 6? Du kannst immer versuchen, Untergruppen zu bauen, indem Du Dir ein Element hernimmst und das davon Erzeugte ansehen, also schauen, was man durch fortwährendes Multiplizieren alles erreichen kann.

Viel Erfolg!

Lars



Bezug
                
Bezug
Zyklische Gruppen/Untergruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 Sa 08.11.2008
Autor: chriz123


> Bedenke die Definition! Die betrachtete Menge sieht
> folgendermaßen aus:
>  
> [mm](g) = \{ g^n : n \in \IZ \}[/mm].
>  
> Das heißt doch, dass sich jedes Element von [mm](g)[/mm] in der Form
> [mm]g^k[/mm] schreiben lässt, wobei [mm]k \in \IZ[/mm]. Das musst Du
> verwenden! Was gilt denn für [mm]g^k \cdot g^l[/mm] mit [mm]k,l \in \IZ[/mm]?
> Und was ist [mm](g^k)^{-1}[/mm]?

[mm]g^k \cdot g^l=g^(k+l)[/mm] und [mm](g^k)^{-1}=\bruch{1}{g^k}[/mm]
Aber das reicht doch nicht um die Abgeschlossenheit zu zeigen?? Weiß aber nicht was ich noch machen sollte.


> Für die eine Richtung gebe ich Dir einen Hinweis. Nimm mal
> an, dass [mm]G[/mm] und [mm]H[/mm] zyklisch sind und die gleiche Kardinalität
> haben. Dann gibt es nach Definition ein Element [mm]g \in G[/mm] mit
> [mm]G = (g)[/mm] und ein [mm]h \in H[/mm] mit [mm]H = (h)[/mm]. Insbesondere lässt
> sich jedes Element von [mm]G[/mm] als Potenz von [mm]g[/mm] schreiben und
> ebenso jedes Element von [mm]H[/mm] als Potenz von [mm]h[/mm].
>  
> Definiere die Abbildung [mm]\phi: G \to H[/mm] durch [mm]\phi(g^k) := h^k[/mm].
> Da muss jetzt noch einiges getan werden. Zunächst sollte
> man zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist (die
> Darstellung muss ja nicht eindeutig sein!) und dann muss
> man zeigen, dass sie ein Homomorphismus und bijektiv ist.

Was heißt wohldefiniert? Muss ich jetzt wieder die Abgeschlossenheit zeigen, also das es eine zyklische gruppe ist??
Zum Homorphismus:
[mm]\phi(g^k) := h^k[/mm]
[mm]\phi(g^l) := h^l[/mm]
zu zeigen: [mm]\phi(g^k + g^l) = h^k * h^l[/mm]
[mm]\phi(g^k + g^l) = h^(k + l)= h^k * h^l[/mm]
Ist das so korrekt und reicht das auch??

Injektiv:
[mm]\phi(g^k) = \phi(g^l)\Rightarrow h^k = h^l[/mm]
Surjektiv:
[mm]\phi(g^k) := h^k[/mm].
Reicht das??
[mm]\Rightarrow[/mm] Bijektivität

> Wenn Du mit der "leeren Gruppe" die Gruppe meinst, die nur
> aus dem Einselement besteht, dann hast Du Recht. Du kannst
> ja erstmal vom Fall einer endlichen Gruppe ausgehen, dann
> hat Dein Erzeuger [mm]g[/mm] endliche Ordnung, d.h. es gibt ein
> (minimales) [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]g^n = e[/mm]. Beispiele dafür sind die
> Gruppen [mm]\IZ / n \IZ[/mm] mit [mm]n \in \IN[/mm].
>  
> Manchmal gibt es da echte Untergruppen. Nimm als Beispiel
> einmal an, dass [mm]G[/mm] genau 4 Elemente hat und zyklisch ist, es
> gibt also ein [mm]g \in G[/mm] mit [mm]g^4 = e[/mm] und die Gruppe hat genau
> die Elemente [mm]e, g, g^2[/mm] und [mm]g^3[/mm].
>  
> Die Menge [mm]\{e, g^2\}[/mm] ist dann eine echte Untergruppe.

Warum jetzt [mm]\{e, g^2\}[/mm] und nicht  [mm]\{e, g^4\}[/mm](wovon wir ausgegengen sind...)??

> Spiel mal ein wenig damit herum... was geschieht bei einer
> Gruppe der Ordnung 3? Was bei Ordnung 5? Oder 6? Du kannst
> immer versuchen, Untergruppen zu bauen, indem Du Dir ein
> Element hernimmst und das davon Erzeugte ansehen, also
> schauen, was man durch fortwährendes Multiplizieren alles
> erreichen kann.

Irgendwie verstehe ich das noch nicht ganz. Eigentlich könnte ich das doch für jedes [mm]n \in \IN[/mm] machen oder?

Vielen Dank!
Chriz123

Bezug
                        
Bezug
Zyklische Gruppen/Untergruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Sa 08.11.2008
Autor: angela.h.b.


> > Bedenke die Definition! Die betrachtete Menge sieht
> > folgendermaßen aus:
>  >  
> > [mm](g) = \{ g^n : n \in \IZ \}[/mm].
>  >  
> > Das heißt doch, dass sich jedes Element von [mm](g)[/mm] in der Form
> > [mm]g^k[/mm] schreiben lässt, wobei [mm]k \in \IZ[/mm]. Das musst Du
> > verwenden! Was gilt denn für [mm]g^k \cdot g^l[/mm] mit [mm]k,l \in \IZ[/mm]?
> > Und was ist [mm](g^k)^{-1}[/mm]?
>  
> [mm]g^k \cdot g^l=g^{k+l}[/mm]

Hallo,

und damit ist [mm] g^k \cdot g^l \in [/mm] (g).

> und [mm](g^k)^{-1}=\bruch{1}{g^k}[/mm]

Oh, das ist gewagt: ich habe allergrößte Zweifel, daß Ihr für eine beliebige Gruppe irgendwelche Brüche definiert habt. Was sol ldas sein?

[mm] (g^k)^{-1} [/mm] ist das inverse Element von [mm] g^k. [/mm] Welches ist das, und warum ist es in (g) ?



> > Für die eine Richtung gebe ich Dir einen Hinweis. Nimm mal
> > an, dass [mm]G[/mm] und [mm]H[/mm] zyklisch sind und die gleiche Kardinalität
> > haben. Dann gibt es nach Definition ein Element [mm]g \in G[/mm] mit
> > [mm]G = (g)[/mm] und ein [mm]h \in H[/mm] mit [mm]H = (h)[/mm]. Insbesondere lässt
> > sich jedes Element von [mm]G[/mm] als Potenz von [mm]g[/mm] schreiben und
> > ebenso jedes Element von [mm]H[/mm] als Potenz von [mm]h[/mm].
>  >  
> > Definiere die Abbildung [mm]\phi: G \to H[/mm] durch [mm]\phi(g^k) := h^k[/mm].
> > Da muss jetzt noch einiges getan werden. Zunächst sollte
> > man zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist (die
> > Darstellung muss ja nicht eindeutig sein!) und dann muss
> > man zeigen, dass sie ein Homomorphismus und bijektiv ist.
>  Was heißt wohldefiniert?

Du mußt sicherstellen, daß wirklich jedem Element des defintionsbereiches ein Element zugewiesen wird. Das ist hier kein Problem.
Du mußt sicherstellen, daß jeden Element des Definitionsbereiches nur ein Element zugewiesen wird. Das ist ein Punkt, über den hier nachzudenken wäre.

Es könnte ja sein, daß es [mm] k_1, k_2 \in \IZ [/mm] gibt mit [mm] g^{k_1}= g^{k_2}. [/mm]

Es darf nun nicht passieren, daß sich die Funktionswerte dieser beiden Elemente unterscheiden. das mußt Du untersuchen.

>  Zum Homorphismus:
> [mm]\phi(g^k) := h^k[/mm]
>  [mm]\phi(g^l) := h^l[/mm]

>  zu zeigen: [mm]\phi(g^k \red{\*} g^l) = h^k * h^l[/mm]

Du hast es mit einer multiplikativen Gruppe zu tun, deshalb [mm] "\*" [/mm]  und nicht "+".

Zu zeigen ist, daß [mm] phi(g^k \red{\*} g^l) =phi(g^k) \* [/mm] phi( [mm] g^l) [/mm] gilt.

Dafür mußt Du [mm] phi(g^k \red{\*} g^l) [/mm]  und [mm] phi(g^k) \* [/mm] phi( [mm] g^l) [/mm] ausrechnen und vergleichen. Im Prinzip hast Du das richtig gemacht, aber Du mußt deutlich aufschreiben, was die zu zeigende Behauptung ist.

>  
> [mm]\phi(g^k \* g^l) = h^{k + l}= h^k * h^l[/mm]
>  Ist das so korrekt
> und reicht das auch??


>  
> Injektiv:
>  [mm]\phi(g^k) = \phi(g^l)\Rightarrow h^k = h^l[/mm]

Was mußt Du denn für Injektivität zeigen? Du bist nicht fertig.
Im falle von Homomorphismen kannst Du hier auch bequem mit einer Eigenschaft arbeiten, die in Zusammenhang mit dem Kern steht - falls die dran war.

> Surjektiv:
>  [mm]\phi(g^k) := h^k[/mm].
> Reicht das??

Was mußt Du für Surjektivität zeigen, und warum ist es hiermit gezeigt? das mußt Du deutlich herausstellen. So wie es jetzt dasteht, überzeugt es nicht, obgleich es richtig ist.


> > Wenn Du mit der "leeren Gruppe" die Gruppe meinst, die nur
> > aus dem Einselement besteht, dann hast Du Recht. Du kannst
> > ja erstmal vom Fall einer endlichen Gruppe ausgehen, dann
> > hat Dein Erzeuger [mm]g[/mm] endliche Ordnung, d.h. es gibt ein
> > (minimales) [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]g^n = e[/mm]. Beispiele dafür sind die
> > Gruppen [mm]\IZ / n \IZ[/mm] mit [mm]n \in \IN[/mm].
>  >  
> > Manchmal gibt es da echte Untergruppen. Nimm als Beispiel
> > einmal an, dass [mm]G[/mm] genau 4 Elemente hat und zyklisch ist, es
> > gibt also ein [mm]g \in G[/mm] mit [mm]g^4 = e[/mm] und die Gruppe hat genau
> > die Elemente [mm]e, g, g^2[/mm] und [mm]g^3[/mm].
>  >  
> > Die Menge [mm]\{e, g^2\}[/mm] ist dann eine echte Untergruppe.
>  Warum jetzt [mm]\{e, g^2\}[/mm] und nicht  [mm]\{e, g^4\}[/mm](wovon wir
> ausgegengen sind...)??

Du solltest das richtig lesen...

Ausgegangen seid Ihr von einer zyklischen Gruppe mit genau 4 Elementen und Erzeuger g. (Kannst Du eigentlich mal sagen, welche Elemente da drin sind?)

Gesucht wird eine echte (!)  Untergruppe, und [mm] \{e, g^4\} [/mm] ist ganz gewiß keine solche. (Warum nicht?)

Du könntest auch mal ausprobieren, ob die von [mm] g^3 [/mm] erzeugte Untergruppe eine echte Untergruppe ist. Welche Elemente sind in [mm] (g^3) [/mm] ?

> > Spiel mal ein wenig damit herum... was geschieht bei einer
> > Gruppe der Ordnung 3? Was bei Ordnung 5? Oder 6? Du kannst
> > immer versuchen, Untergruppen zu bauen, indem Du Dir ein
> > Element hernimmst und das davon Erzeugte ansehen, also
> > schauen, was man durch fortwährendes Multiplizieren alles
> > erreichen kann.
>  Irgendwie verstehe ich das noch nicht ganz. Eigentlich
> könnte ich das doch für jedes [mm]n \in \IN[/mm] machen oder?

Ja klar. Aber wenn Du es richtig machst, wirst Du feststellen, daß es nicht für alle n echte Untergruppen gibt.

Gruß v. Angela




Bezug
                                
Bezug
Zyklische Gruppen/Untergruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:08 So 09.11.2008
Autor: chriz123

zu 1)
> [mm](g^k)^{-1}[/mm] ist das inverse Element von [mm]g^k.[/mm] Welches ist
> das, und warum ist es in (g) ?

[mm](g^k)^{-1} * g^k = e[/mm]

[mm]\Rightarrow \forall g^k \in G: (g^k)^{-1} \in G[/mm]
Ist so jetzt schon die Abgeschlossenheit bzg. des inverses elements gezeigt??
  
zu 2)

> > Definiere die Abbildung $ [mm] \phi: [/mm] G [mm] \to [/mm] H $ durch $ [mm] \phi(g^k) [/mm] := [mm] h^k [/mm] $.
> > Da muss jetzt noch einiges getan werden. Zunächst sollte
> > man zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist (die
> > Darstellung muss ja nicht eindeutig sein!) und dann muss
> > man zeigen, dass sie ein Homomorphismus und bijektiv ist.

Was heißt wohldefiniert? Was muss ich da zeigen?


> > Injektiv:
>  >  [mm]\phi(g^k) = \phi(g^l)\Rightarrow h^k = h^l[/mm]
>
> Was mußt Du denn für Injektivität zeigen? Du bist nicht
> fertig.

f ist injektiv, falls für [mm]x_1, x_2 \in M[/mm] gilt [mm]f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 [/mm]

[mm] \phi(g^k) := h^k [/mm]
[mm] \phi(g^l) := h^l [/mm]

z.z: [mm]\phi(g^k) = \phi(g^l)\Rightarrow h^k = h^l[/mm]

Das ist doch durch die Definition gezeigt oder was fehlt da noch??

> > Surjektiv:
>  >  [mm]\phi(g^k) := h^k[/mm].
> > Reicht das??
>  
> Was mußt Du für Surjektivität zeigen, und warum ist es
> hiermit gezeigt? das mußt Du deutlich herausstellen. So wie
> es jetzt dasteht, überzeugt es nicht, obgleich es richtig
> ist.

f ist surjektiv wenn [mm]f(x) = y[/mm]

>  [mm]\phi(g^k) = h^k \quad(\forall g^k \in \phi)[/mm]

Weiß nicht was ich dazu noch schreiben soll.
Reicht das so?

zu 3)

> > Manchmal gibt es da echte Untergruppen. Nimm als Beispiel
> > einmal an, dass $ G $ genau 4 Elemente hat und zyklisch ist, es
> > gibt also ein $ g [mm] \in [/mm] G $ mit $ [mm] g^4 [/mm] = e $ und die Gruppe hat genau
> > die Elemente $ e, g, [mm] g^2 [/mm] $ und $ [mm] g^3 [/mm] $.
> > Die Menge $ [mm] \{e, g^2\} [/mm] $ ist dann eine echte Untergruppe.

Was ist denn das besondere an einer echten Untergruppe?
Habe keine Definition gefunden?
Und warum ict jetzt [mm]\{e, g^2\}[/mm] eine echten Untergruppe?

> Ausgegangen seid Ihr von einer zyklischen Gruppe mit genau
> 4 Elementen und Erzeuger g. (Kannst Du eigentlich mal
> sagen, welche Elemente da drin sind?)

$ e, g, [mm] g^2 [/mm] $ und $ [mm] g^3 [/mm] $

> Gesucht wird eine echte (!)  Untergruppe, und [mm]\{e, g^4\}[/mm]
> ist ganz gewiß keine solche. (Warum nicht?)

??

> Du könntest auch mal ausprobieren, ob die von [mm]g^3[/mm] erzeugte
> Untergruppe eine echte Untergruppe ist. Welche Elemente
> sind in [mm](g^3)[/mm] ?

$ e, g $ und $ [mm] g^2 [/mm] $

Mit Untergruppen tu ich mich noch irgendwie schwer...
Vielleicht könnte mir das jemand nochmal erklären bitte.

Vielen Dank!
chriz123

Bezug
                                        
Bezug
Zyklische Gruppen/Untergruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:39 Mo 10.11.2008
Autor: angela.h.b.


> zu 1)
>  > [mm](g^k)^{-1}[/mm] ist das inverse Element von [mm]g^k.[/mm] Welches ist

> > das, und warum ist es in (g) ?
>  
> [mm](g^k)^{-1} * g^k = e[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \forall g^k \in G: (g^k)^{-1} \in G[/mm]
>  Ist so
> jetzt schon die Abgeschlossenheit bzg. des inverses
> elements gezeigt??

Hallo,

nein, denn es ist immer noch nicht klar, warum das Inverse von [mm] g^k [/mm] in G liegt.

[mm] (g^k)^{-1} [/mm] ist ja nur eine Schreibweise für "das Inverse von [mm] g^k". [/mm] Aber welches Element ist nun das Inverse?

Was wäre denn das Inverse zu [mm] g^5? [/mm]

>    
> zu 2)
>  > > Definiere die Abbildung [mm]\phi: G \to H[/mm] durch [mm]\phi(g^k) := h^k [/mm].

>  
> > > Da muss jetzt noch einiges getan werden. Zunächst sollte
>  > > man zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist (die

>  > > Darstellung muss ja nicht eindeutig sein!) und dann

> muss
>  > > man zeigen, dass sie ein Homomorphismus und bijektiv

> ist.
>  
> Was heißt wohldefiniert? Was muss ich da zeigen?

Das hatte ich zuvor sehr genau beschrieben. Vielleicht liest Du mein Post nochmal und beziehst Dich bei weiteren Fragen zur Wohldefiniertheit auf die entsprechende Passage.

>  
>
> > > Injektiv:
>  >  >  [mm]\phi(g^k) = \phi(g^l)\Rightarrow h^k = h^l[/mm]
> >
> > Was mußt Du denn für Injektivität zeigen? Du bist nicht
> > fertig.
>  
> f ist injektiv, falls für [mm]x_1, x_2 \in M[/mm] gilt [mm]f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2[/mm]

Genau.

>  
> [mm]\phi(g^k) := h^k[/mm]
>   [mm]\phi(g^l) := h^l[/mm]
>  
> z.z: [mm]\phi(g^k) = \phi(g^l)\Rightarrow h^k = h^l[/mm]

Nein, vergleich es mal mit dem, was Du oben geschreiben hast: Du mußt zeigen, daß [mm] g^k=g^l [/mm] folgt.

Beachte bitte den Hinweis, den ich Dir zuvor gegeben hatte: habt Ihr den Zusammenhang zwischen Injektivität und dem Kern eines Homomorphismus bereits? Das ist nämlich etwas bequemer.

>  
> Das ist doch durch die Definition gezeigt oder was fehlt da
> noch??
>  
> > > Surjektiv:
>  >  >  [mm]\phi(g^k) := h^k[/mm].
> > > Reicht das??
>  >  
> > Was mußt Du für Surjektivität zeigen, und warum ist es
> > hiermit gezeigt? das mußt Du deutlich herausstellen. So wie
> > es jetzt dasteht, überzeugt es nicht, obgleich es richtig
> > ist.
>  
> f ist surjektiv wenn [mm]f(x) = y[/mm]

Das ist nur ein Teil der Wahrheit.
Du mußt zeigen, daß es zu jdem y aus der Zielmenge ein x der Definitionsmenge gibt mit f(x)=y.


>  
> >  [mm]\phi(g^k) = h^k \quad(\forall g^k \in \phi)[/mm]

>  
> Weiß nicht was ich dazu noch schreiben soll.
>  Reicht das so?

Nein. Du denkst hier aus der falschen Richtung. Daß jedem [mm] g^k [/mm] ein Funktionswert zugewiesen wird, steht ja an dieser Stelle gar nicht zur Debatte. Es geht darum, daß Du für jedes [mm] y\in [/mm] H ein [mm] x\in [/mm] G findest, so, daß [mm] \ph(x)=y [/mm] gilt.

Also: sei [mm] y\in [/mm] H.

Jetzt sagst Du, wie y dann aussieht und zeigst, welches Element drauf abgebildet wird.

>  
> zu 3)
>  > > Manchmal gibt es da echte Untergruppen. Nimm als

> Beispiel
>  > > einmal an, dass [mm]G[/mm] genau 4 Elemente hat und zyklisch

> ist, es
>  > > gibt also ein [mm]g \in G[/mm] mit [mm]g^4 = e[/mm] und die Gruppe hat

> genau
>  > > die Elemente [mm]e, g, g^2[/mm] und [mm]g^3 [/mm].

> > > Die Menge [mm]\{e, g^2\}[/mm] ist dann eine echte Untergruppe.

> Was ist denn das besondere an einer echten Untergruppe?

Eine echte Untergruppe ist verschieden von der Gruppe selbst.


>  Habe keine Definition gefunden?
>  Und warum ict jetzt [mm]\{e, g^2\}[/mm] eine echten Untergruppe?

Weil sich die von G unterscheidet.


>  
> > Ausgegangen seid Ihr von einer zyklischen Gruppe mit genau
> > 4 Elementen und Erzeuger g. (Kannst Du eigentlich mal
> > sagen, welche Elemente da drin sind?)
>  
> [mm]e, g, g^2[/mm] und [mm]g^3[/mm]

Genau.

>  
> > Gesucht wird eine echte (!)  Untergruppe, und [mm]\{e, g^4\}[/mm]
> > ist ganz gewiß keine solche. (Warum nicht?)
>  
> ??

Hier habe ich einen Fehler gemacht. Eine echte Untergruppe ist das schon - wenn sie auch trivial ist: wieviele Elemente enthält denn  [mm] \{e, g^4\}? [/mm] (Es ist nur eins ...)

>  
> > Du könntest auch mal ausprobieren, ob die von [mm]g^3[/mm] erzeugte
> > Untergruppe eine echte Untergruppe ist. Welche Elemente
> > sind in [mm](g^3)[/mm] ?
>   [mm]e, g[/mm] und [mm]g^2[/mm]

Das kann ja schon deshalb nicht sein, weil [mm] g^3 [/mm] auch drin ist. Wahrscheinlich meintest Du das auch: [mm] g^3, g^6=g^2, g^9=g, [/mm] g^12=e.
Die hat vier Elemente, ist also keine echte Untergruppe.


Schau Dir mal die zyklischen Gruppen der Ordnungen 5 und 6 an, und schau, welche Untergruppen es dort gibt, bzw. welche Elemente echte Untergruppen erzeugen.


> Mit Untergruppen tu ich mich noch irgendwie schwer...
>  Vielleicht könnte mir das jemand nochmal erklären bitte.

Vielleicht erklärst Du etwas genauer, wo das Problem liegt.
Ist Dir der Untergruppenbegriff an sich unklar?

Gruß v. Angela

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