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Forum "Relationen" - Äquivalenzrelation
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Äquivalenzrelation: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:39 Di 24.03.2009
Autor: Cannae

Aufgabe
Auf der Menge A X A mit A = {1; 2; 3; 4} ist die Relation R defniert
durch
(x; y)R(u; v) , x * v = u * y
(a) Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation auf A X A ist.
(b) Bestimmen Sie durch die Relation R gegebenen Äquivalenzklassen
der Elemente (1,2), (4,3) und (1,1) aus A X A.

Habe ich das so richtig gemacht?

Reflexiv:

(x,y)R(x,y) x * y = y * x erfüllt.

Transitiv:

(x,y)R(u,v)
(u,v)R(s,t)
(x,y)R(s,t)

x * v = y * u
u * t = v * s

Gegeneinander addieren

x * v + u * t = y * u + v * s / -u -v

x * t = y * s also (x,y)R(s,t) erfüllt.

Symmetrisch:

(x,y)R(u,v) und (u,v)R(x,y)

erfüllt da: x * v = y * u erfüllt ist und einfach getauscht werden kann
y * u = x * v .

        
Bezug
Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:30 Di 24.03.2009
Autor: angela.h.b.


> Auf der Menge A X A mit A = {1; 2; 3; 4} ist die Relation R
> defniert
>  durch
>  (x; y)R(u; v) , x * v = u * y
>  (a) Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation auf A X A
> ist.
>  (b) Bestimmen Sie durch die Relation R gegebenen
> Äquivalenzklassen
>  der Elemente (1,2), (4,3) und (1,1) aus A X A.
>  Habe ich das so richtig gemacht?
>  
> Reflexiv:
>  
> (x,y)R(x,y) x * y = y * x erfüllt.
>  
> Transitiv:
>  
> (x,y)R(u,v)
>  (u,v)R(s,t)
>  (x,y)R(s,t)
>  
> x * v = y * u
>  u * t = v * s
>  
> Gegeneinander addieren
>  
> x * v + u * t = y * u + v * s / -u -v
>  
> x * t = y * s also (x,y)R(s,t) erfüllt.

Hallo,

dieser Rechenschritt ist richtig grausam: Du trittst hier die in [mm] \IZ [/mm] herrschenden Rechengesetze mit Füßen,.

Wenn Du addierst, dann hast Du   (x * v )+ (u * t )= (y * u) + (v * s ), die Klammern habe ich gesetzt um "Punktrechnung geht vor Strichrechnung"  eindrucksvoll zu gestalten.

Wenn Du hier auf beiden Seiten -u-v addierst, dann hast Du

(x * v )+ (u * t ) -u-v = (y * u) + (v * s )-u - v,

was Dich hier nicht so bannig weiterbringt.

Wie aber kommst Du weiter?

Statt

> x * v = y * u
>  u * t = v * s

zu addieren, kannst Du ja mal multiplizieren und dann 1. scharf nachdenken und 2. handeln unter Beachtung der geltenden Gesetze.


Der Rest ist  richtig.

Gruß v. Angela






>  
> Symmetrisch:
>  
> (x,y)R(u,v) und (u,v)R(x,y)
>  
> erfüllt da: x * v = y * u erfüllt ist und einfach getauscht
> werden kann
>  y * u = x * v .


Bezug
                
Bezug
Äquivalenzrelation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:56 Di 24.03.2009
Autor: Cannae

Blöder Fehler. Mit Füßen wollte ich niemand treten :-)

x * v = y * u
u * t = v * s

x * v * u * t = y * u * v * s /u /v

x * t = y * s


Bezug
                        
Bezug
Äquivalenzrelation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:36 Di 24.03.2009
Autor: angela.h.b.


> Blöder Fehler. Mit Füßen wollte ich niemand treten :-)
>  
> x * v = y * u
>  u * t = v * s
>  
> x * v * u * t = y * u * v * s /u /v

Hallo,

erwähnenswert wäre hier noch, daß Du durch u und v teilen darfst, weil die nicht =0 sind.

Gruß v. Angela

>  
> x * t = y * s
>  


Bezug
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