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Äquivalenzrelation beweisen: Zirkulär ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 So 06.04.2014
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Wir nennen eine Relation R [mm] \subseteq [/mm] A x A zirkulär, falls gilt:
[mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] A : aRb [mm] \wedge [/mm] bRc => cRa

Beweisen Sie: R ist reflexiv und zirkulär genau dann, wenn R Äquivalenzrelation ist.

Hallo,

bei der Reflexivität habe ich folgendes Problem: Ich habe 3 Variablen [mm] \in [/mm] A , wie soll ich da die Reflexivität beweisen. Wenn es nur zwei wären, wäre es kein Problem. Ist auch die Frage, ob ich unbedingt alle 3 Variablen (a,b,c) brauche.
Stehe hier also auf dem Schlauch. Wäre für jeden Ansatz dankbar.



Weitere Frage: Wie kann ich mir dieses "zirkulär" vorstellen anhand der vorgegebenen Relation ? Ist das so ähnlich wie die Transitivität ? Denn mal bildlich vorgestellt: " von a gehe ich nach b , von b nach c und von c nach a " sozusagen sowas wie ein "abgeschlossenes System" ?

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 So 06.04.2014
Autor: tobit09

Hallo pc_doctor!


> Wir nennen eine Relation R [mm]\subseteq[/mm] A x A zirkulär, falls
> gilt:
>  [mm]\forall[/mm] a,b,c [mm]\in[/mm] A : aRb [mm]\wedge[/mm] bRc => cRa

>  
> Beweisen Sie: R ist reflexiv und zirkulär genau dann, wenn
> R Äquivalenzrelation ist.


> bei der Reflexivität habe ich folgendes Problem: Ich habe
> 3 Variablen [mm]\in[/mm] A , wie soll ich da die Reflexivität
> beweisen.

Bei welcher der beiden Richtungen bist du gerade?
Die Reflexivität ist bei beiden Richtungen doch schon vorausgesetzt.


>  Stehe hier also auf dem Schlauch. Wäre für jeden Ansatz
> dankbar.

Fangen wir mal mit der Rück-Richtung an.

Sei also $R$ eine Äquivalenzrelation.
Zu zeigen ist, dass $R$ reflexiv und zirkulär ist.

Reflexiv ist $R$ natürlich nach Definition einer Äquivalenzrelation.

Zu zeigen ist also noch, dass $R$ zirkulär ist.

Seien also [mm] $a,b,c\in [/mm] A$ mit $aRb$ und $bRc$.
Zu zeigen ist $cRa$.

Was kannst du aus $aRb$ und $bRc$ mittels der Eigenschaften, die $R$ als Äquivalenzrelation besitzt, schlussfolgern?


> Weitere Frage: Wie kann ich mir dieses "zirkulär"
> vorstellen anhand der vorgegebenen Relation ? Ist das so
> ähnlich wie die Transitivität ?

Ja, nur dass die Konklusion $cRa$ anstelle von $aRc$ lautet.

> Denn mal bildlich
> vorgestellt: " von a gehe ich nach b , von b nach c und von
> c nach a " sozusagen sowas wie ein "abgeschlossenes System"
> ?

Wenn man sich $aRb$ als

      "man kann von $a$ nach $b$ gelangen"

vorstellt, so sagt die Zirkularität:

     "Wann immer man von einem Punkt [mm] $a\in [/mm] A$ über einen Punkt [mm] $b\in [/mm] A$ zu einem Punkt [mm] $c\in [/mm] A$ gelangen kann, kann man von $c$ zurück zu $a$ gelangen."

Mit

     "man kann von $a$ über $b$ zu $c$ gelangen"

meine ich dabei

     "man kann von $a$ zu $b$ gelangen und man kann von $b$ zu $c$ gelangen".

Ob diese Vorstellung weiterhilft, sei dahingestellt...


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:28 So 06.04.2014
Autor: pc_doctor


>  Fangen wir mal mit der Rück-Richtung an.
>  
> Sei also [mm]R[/mm] eine Äquivalenzrelation.
>  Zu zeigen ist, dass [mm]R[/mm] reflexiv und zirkulär ist.
>  
> Reflexiv ist [mm]R[/mm] natürlich nach Definition einer
> Äquivalenzrelation.
>
> Zu zeigen ist also noch, dass [mm]R[/mm] zirkulär ist.
>  
> Seien also [mm]a,b,c\in A[/mm] mit [mm]aRb[/mm] und [mm]bRc[/mm].
>  Zu zeigen ist [mm]cRa[/mm].
>  
> Was kannst du aus [mm]aRb[/mm] und [mm]bRc[/mm] mittels der Eigenschaften,
> die [mm]R[/mm] als Äquivalenzrelation besitzt, schlussfolgern?

Ich kann schlussfolgern : die Symmetrieeigenschaft und die Transitivität.

aRb [mm] \wedge [/mm] bRc => bRa [mm] \wedge [/mm] cRb

aRb [mm] \wedge [/mm] bRc => aRc (transitiv)

Habe ich das richtig verstanden, dass man einfach nur bewesen muss, dass es eine Äq.rel. ist , also die drei bzw. zwei Eigenschaften beweisen muss ?


Bezug
                        
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 So 06.04.2014
Autor: tobit09


> >  Fangen wir mal mit der Rück-Richtung an.

>  >  
> > Sei also [mm]R[/mm] eine Äquivalenzrelation.
>  >  Zu zeigen ist, dass [mm]R[/mm] reflexiv und zirkulär ist.
>  >  
> > Reflexiv ist [mm]R[/mm] natürlich nach Definition einer
> > Äquivalenzrelation.
> >
> > Zu zeigen ist also noch, dass [mm]R[/mm] zirkulär ist.
>  >  
> > Seien also [mm]a,b,c\in A[/mm] mit [mm]aRb[/mm] und [mm]bRc[/mm].
>  >  Zu zeigen ist [mm]cRa[/mm].
>  >  
> > Was kannst du aus [mm]aRb[/mm] und [mm]bRc[/mm] mittels der Eigenschaften,
> > die [mm]R[/mm] als Äquivalenzrelation besitzt, schlussfolgern?
>  
> Ich kann schlussfolgern : die Symmetrieeigenschaft und die
> Transitivität.
>  
> aRb [mm]\wedge[/mm] bRc => bRa [mm]\wedge[/mm] cRb
>
> aRb [mm]\wedge[/mm] bRc => aRc (transitiv)

Das sind korrekte Schlussfolgerungen.

Zeigen wollen wir ja $cRa$.
Du hast in deiner letzten Zeile schon $aRc$ gefolgert.
Mit welcher Eigenschaft, die $R$ als Äquivalenzrelation besitzt, folgt nun $cRa$?


> Habe ich das richtig verstanden, dass man einfach nur
> bewesen muss, dass es eine Äq.rel. ist , also die drei
> bzw. zwei Eigenschaften beweisen muss ?

Nein. Zu zeigen sind zwei Richtungen
1. Hin-Richtung
2. Rück-Richtung.

Wir haben auf meinen Vorschlag hin mit 2. angefangen.

2. besagt:

     WENN $R$ eine Äquivalenzrelation ist, ist $R$ reflexiv und zirkulär.

1. besagt:

     WENN $R$ reflexiv und zirkulär ist, ist $R$ eine Äquivalenzrelation.


Zum Nachweis von 1.:

Sei also $R$ als reflexiv und zirkulär vorausgesetzt.
Zeigen musst du:
( i) $R$ ist reflexiv )
ii) $R$ ist symmetrisch
iii) $R$ ist transitiv.

Bezug
                                
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 So 06.04.2014
Autor: pc_doctor


>  Das sind korrekte Schlussfolgerungen.
>  
> Zeigen wollen wir ja [mm]cRa[/mm].
>  Du hast in deiner letzten Zeile schon [mm]aRc[/mm] gefolgert.
>  Mit welcher Eigenschaft, die [mm]R[/mm] als Äquivalenzrelation
> besitzt, folgt nun [mm]cRa[/mm]?

Mit der Symmetrieeigenschaft der Äquivalenzrelation.



>
> Zum Nachweis von 1.:
>  
> Sei also [mm]R[/mm] als reflexiv und zirkulär vorausgesetzt.
>  Zeigen musst du:
>  ( i) [mm]R[/mm] ist reflexiv )
>  ii) [mm]R[/mm] ist symmetrisch
>  iii) [mm]R[/mm] ist transitiv.

Also muss ich zeigen

i )   aRa  , durch die Reflexivität von R ist das doch schon bewiesen , wenn wir diese voraussetzen ?

ii) aRb [mm] \wedge [/mm] bRc => bRa [mm] \edge [/mm] cRb

iii) aRb [mm] \wedge [/mm] bRc => aRc



Bezug
                                        
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 So 06.04.2014
Autor: tobit09


> >  Das sind korrekte Schlussfolgerungen.

>  >  
> > Zeigen wollen wir ja [mm]cRa[/mm].
>  >  Du hast in deiner letzten Zeile schon [mm]aRc[/mm] gefolgert.
>  >  Mit welcher Eigenschaft, die [mm]R[/mm] als Äquivalenzrelation
> > besitzt, folgt nun [mm]cRa[/mm]?
>  Mit der Symmetrieeigenschaft der Äquivalenzrelation.

[ok]


> > Zum Nachweis von 1.:
>  >  
> > Sei also [mm]R[/mm] als reflexiv und zirkulär vorausgesetzt.
>  >  Zeigen musst du:
>  >  ( i) [mm]R[/mm] ist reflexiv )
>  >  ii) [mm]R[/mm] ist symmetrisch
>  >  iii) [mm]R[/mm] ist transitiv.
>
> Also muss ich zeigen
>  
> i )   aRa ,

für alle [mm] $a\in [/mm] A$

> durch die Reflexivität von R ist das doch
> schon bewiesen , wenn wir diese voraussetzen ?

[ok]


> ii) aRb [mm]\wedge[/mm] bRc => bRa [mm]\wedge[/mm] cRb

Habt ihr Symmetrie so komisch definiert?

Üblicherweise definiert man:

Eine Relation $R$ auf $A$ heißt symmetrisch, wenn für alle [mm] $a,b\in [/mm] A$ gilt:

      [mm] $aRb\Rightarrow [/mm] bRa$.


> iii) aRb [mm]\wedge[/mm] bRc => aRc

Ja, das ist für alle [mm] $a,b,c\in [/mm] A$ zu zeigen.


Zeige zunächst ii). Zeige dann iii) mittels Zirkularität und ii).


Zum Nachweis von ii):

Seien [mm] $a,b\in [/mm] A$ mit $aRb$.
Zu zeigen ist $bRa$.

Gemäß Reflexivität gilt $bRb$.
Wende nun die Zirkularität auf $a$, $b$ und $b$ an.

Bezug
                                                
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:22 So 06.04.2014
Autor: pc_doctor

Alles klar, vielen vielen Dank für deine aufgebrachte Mühe. Habs endlich kapiert, dankeschön.

Bezug
                                                
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 So 06.04.2014
Autor: pc_doctor

Hallo nochmal , habe noch eineFrage, die mir eingefallen ist




>

>
> Zeige zunächst ii). Zeige dann iii) mittels Zirkularität
> und ii).

ALso die Symmetrieeigenschaft.
Wieso ist es falsch , wenn ich aRb [mm] \wedge [/mm] bRc habe und dann die Symmetrie so zeige : bRa [mm] \wedge [/mm] cRb , damit habe ich die zweite Eigenschaft doch gezeigt , oder ?


Und bei der Reflexivität hatte ich gesagt aRa , das ist aber nur für a [mm] \in [/mm] A , was ist mit b und c ? Muss ich dann seperat noch mal bRb und cRc schreiben ?




> Gemäß Reflexivität gilt [mm]bRb[/mm].
>  Wende nun die Zirkularität auf [mm]a[/mm], [mm]b[/mm] und [mm]b[/mm] an.

Das verstehe ich leider nicht , wie meinst du das mit auf "a" und dann "b" und "c" , muss ich das 3 mal machen ?


Also speziell bei der Symmetrie würde ich das hier machen:

aRb => bRa
bRc => cRb damit habe ich die Symmetrie doch beiwesen oder ?

Bezug
                                                        
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:41 Mo 07.04.2014
Autor: tobit09


> > Zeige zunächst ii). Zeige dann iii) mittels Zirkularität
> > und ii).
>  ALso die Symmetrieeigenschaft.
>  Wieso ist es falsch , wenn ich aRb [mm]\wedge[/mm] bRc habe und
> dann die Symmetrie so zeige : bRa [mm]\wedge[/mm] cRb , damit habe
> ich die zweite Eigenschaft doch gezeigt , oder ?

In der Tat ist die Eigenschaft

(*)     [mm] $\forall a,b,c\in A\colon (aRb\wedge bRc\Rightarrow bRa\wedge [/mm] cRb)$

äquivalent zur Symmetrie, die durch

       [mm] $\forall a,b\in A\colon (aRb\Rightarrow [/mm] bRa)$

definiert ist.

Du kannst die Symmetrie also durch (*) nachweisen, wenn du dir zusätzlich überlegst, dass aus (*) tatsächlich die Symmetrie folgt.

Aber warum so kompliziert? Die Symmetrie ist doch eine deutlich übersichtlichere Eigenschaft als Eigenschaft (*).


> Und bei der Reflexivität hatte ich gesagt aRa , das ist
> aber nur für a [mm]\in[/mm] A , was ist mit b und c ? Muss ich dann
> seperat noch mal bRb und cRc schreiben ?

Die Reflexivität ist definiert durch

      [mm] $\forall a\in A\colon [/mm] aRa$.

Nicht mehr und nicht weniger.

Sie impliziert aber natürlich die Aussagen

     [mm] $\forall b\in A\colon [/mm] bRb$
     [mm] $\forall c\in A\colon [/mm] cRc$
     [mm] $\forall d\in A\colon [/mm] dRd$

usw.


> > Gemäß Reflexivität gilt [mm]bRb[/mm].
>  >  Wende nun die Zirkularität auf [mm]a[/mm], [mm]b[/mm] und [mm]b[/mm] an.
>
> Das verstehe ich leider nicht , wie meinst du das mit auf
> "a" und dann "b" und "c" , muss ich das 3 mal machen ?

Nein. Ich meinte übrigens wirklich $a$, $b$ und $b$, nicht etwa $a$, $b$ und $c$.

Wir wollen die Symmetrie von $R$ aus der Reflexivität und Zirkularität von $R$ folgern.
Dazu habe wir beliebig vorgegebene [mm] $a,b\in [/mm] A$ mit $aRb$ betrachtet.
Zeigen müssen wir $bRa$.
(Ein [mm] $c\in [/mm] A$ haben wir nicht vorgegeben.)

Die Zirkularität besagt (mit anderen Variablen geschrieben, um Namenskollisionen mit unseren $a$ und $b$ zu vermeiden):

     [mm] $\forall x,y,z\in A\colon (xRy\wedge yRz\Rightarrow [/mm] zRx)$.

Wende nun diese Eigenschaft auf $x=a$, $y=b$ und $z=b$ an.


> Also speziell bei der Symmetrie würde ich das hier
> machen:
>  
> aRb => bRa

Warum gilt diese Implikation? Genau sie ist ja gerade zu beweisen.

Dazu benötigst du die Anwendung der Zirkularität auf $a$, $b$ und $b$.

>  bRc => cRb damit habe ich die Symmetrie doch beiwesen oder

> ?

Leider nein.

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