aus Lösungsmenge LGS angeben < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Do 14.01.2010 | | Autor: | mije |
| Aufgabe | | Man gebe ein lineares Gleichungssystem mit Koeffizienten aus [mm] \IR [/mm] an, dessen Lösungsmenge [mm] \{ (1,0,1,2,1) + \lambda_{1}(-1,1,2,0,0) + \lambda_{2}(-17,-7,0,4,10) | \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \IR \} [/mm] ist. |
Hey Leute,
ich verzweifle gerade an dieser Aufgabe und mir fehlt irgendwie die zündende Idee. Wie ich die Lösungsmenge von einem LGS bestimme, habe ich halbwegs verstanden, aber die Aufgabe ist ja genau die Umkehrung.
Ich weiß, dass (1,0,1,2,1) die spezielle Lösung ist für das LGS, was ich aufstellen will. Die anderen beiden Vektoren sind die Basisvektoren für den homogenen Lösungsraum. Stimmt es, dass dann die Dimension des hom. Lösungsraums gleich 2 ist?
Jetzt habe ich mir überlegt, dass mein Gleichungssystem die Variablen [mm] x_{1} [/mm] bis [mm] x_{5} [/mm] haben muss. Außerdem glaube ich, dass gilt: dim des hom. Lösungsraumes = Anzahl der Variablen + RgA. Daraus würde folgen, dass RgA= 5-2=3 gilt. Also müsste meine umgeformte "Endmatrix" 3 linear unabhängige Zeilen haben.
Muss ich also 5 Gleichungen aufstellen oder genügen auch weniger?
Stimmt es, dass gelten muss: [mm] (x_{1},...,x_{5})=(1,0,1,2,1) [/mm] + [mm] \lambda_{1}(-1,1,2,0,0) [/mm] + [mm] \lambda_{2}(-17,-7,0,4,10) [/mm] ? und kann ich mir die Lambdas beliebig wählen? Und wie komme ich dann auf konkrete Gleichungen?
Vielen Dank für eure Hilfe! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Man gebe ein lineares Gleichungssystem mit Koeffizienten
> aus [mm]\IR[/mm] an, dessen Lösungsmenge [mm]\{ (1,0,1,2,1) + \lambda_{1}(-1,1,2,0,0) + \lambda_{2}(-17,-7,0,4,10) | \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \IR \}[/mm]
> ist.
> Hey Leute,
> ich verzweifle gerade an dieser Aufgabe und mir fehlt
> irgendwie die zündende Idee. Wie ich die Lösungsmenge von
> einem LGS bestimme, habe ich halbwegs verstanden, aber die
> Aufgabe ist ja genau die Umkehrung.
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Ich weiß, dass (1,0,1,2,1) die spezielle Lösung ist für
> das LGS, was ich aufstellen will. Die anderen beiden
> Vektoren sind die Basisvektoren für den homogenen
> Lösungsraum. Stimmt es, dass dann die Dimension des hom.
> Lösungsraums gleich 2 ist?
Ja, das ist richtig.
> Jetzt habe ich mir überlegt, dass mein Gleichungssystem
> die Variablen [mm]x_{1}[/mm] bis [mm]x_{5}[/mm] haben muss.
Genau.
Und das GS wird gelöst für
[mm] (x_1, [/mm] ..., [mm] x_5)= [/mm] (1,0,1,2,1) + [mm] \lambda_{1}(-1,1,2,0,0) [/mm] + [mm] \lambda_{2}(-17,-7,0,4,10)
[/mm]
Hieraus erhältst Du 5 Gleichungen.
Eliminiere daraus [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_1.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Fr 15.01.2010 | | Autor: | mije |
Vielen Dank für deine Hilfe! Ich glaube, ich habe jetzt die Lösung. :)
Viele Grüße
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Hallo Angela,
kannst du mir vielleicht noch einen Tipp geben, wie ich [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] eliminieren kann? Ich habe ein Ergebnis, wenn ich [mm] \lambda_{1} [/mm] eliminiere, aber leider hatte ich einen Koeffizienten vergessen, war also alles falsch.
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Hallo,
löse eine Gleichung nach [mm] \lambda_1 [/mm] auf und ersetze in allen anderen Gleichungen [mm] \lambda_1 [/mm] durch den gewonnenen Ausdruck.
Löses dann eine Gleichung nach [mm] \lambda_2 [/mm] auf und ersetze [mm] \lambda_2 [/mm] in den verbleibenden Gleichungen. Du behältst 3 Gleichungen, in denen kein [mm] \lambda [/mm] mehr vorkommt.
Gruß v. Angela
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