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Beweis das rg(A)=1 ist < VK 59: LinAlg < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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Beweis das rg(A)=1 ist: Augabe lösen
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:51 Di 10.01.2017
Autor: Andy2

Aufgabe
Sei A ∈ R ^mxm. Zeigen sie, dass rg(A) =1 genau dann gilt, wenn x ∈ R^(mx1)\ {0} und y ∈ [mm] R^{nx1}\{0} [/mm] existieren mit [mm] A=xy^T. [/mm]

Wie muss man dies beweisen ?Könnte mir jemand helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Beweis das rg(A)=1 ist: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 Di 10.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Sei A ∈ R ^mxm. Zeigen sie, dass rg(A) =1 genau dann
> gilt, wenn x ∈ R^(mx1)\ {0} und y ∈ [mm]R^{nx1}\{0}[/mm]
> existieren mit [mm]A=xy^T.[/mm]

y muss hier entweder wieder die Dimension [mm] m\times{1} [/mm] haben oder deine Matrix A ist von der Form [mm] m\times{n}. [/mm]

> Wie muss man dies beweisen ?Könnte mir jemand helfen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt

Nun, es geht ja hier um das Dyadische Produkt zweier Vektoren. (falls dir das nichts sagt, schlage es bitte nach). Dann sind hier natürlich zwei Beweisrichtungen verlangt.

Für die Hinrichtung musst du dir eigentlich nur die Definition des Dyadischen Produkts etwas genauer ansehen (bzw. obige Multiplikation [mm] x*y^T [/mm] einfach einmal durchführen), für die Rückrichtung steht m.M. nach auf []Wikipedia ein zielführender Weg.


Gruß, Diophant

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