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Forum "Modules and Vector Spaces" - c|d in Z <=> c|d in Z[i]
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c|d in Z <=> c|d in Z[i]: Tipp
Status: (Question) Waiting for user Status 
Date: 20:43 Do 07/04/2016
Author: Johnny1994

Aufgabe
Betrachtet wird der Ring [mm] \IZ[i] [/mm] der ganzen Gaußschen Zahlen.
Seien c,d ∈ [mm] \IZ. [/mm] Zeigen Sie: c|d in [mm] \IZ [/mm] genau dann, wenn c|d in [mm] \IZ[i]. [/mm]

Ich kenne zwar die ganzen Begriffe, aber komme zu keinem Ansatz bei der Hinrichtung. Kann mir jemand kompetent dabei helfen?

Vielen Dank im Voraus!

LG Johnny

        
Bezug
c|d in Z <=> c|d in Z[i]: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 08:10 Fr 08/04/2016
Author: hippias

Was bedeutet es, wenn [mm] $c\vert [/mm] d$ in [mm] $\IZ$ [/mm] bzw. [mm] $\IZ[i]$ [/mm] gilt?

Bezug
                
Bezug
c|d in Z <=> c|d in Z[i]: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 09:54 Fr 08/04/2016
Author: Johnny1994


> Was bedeutet es, wenn [mm]c\vert d[/mm] in [mm]\IZ[/mm] bzw. [mm]\IZ[i][/mm] gilt? [/i][/mm]

[mm]c\vert d[/mm] => [mm] \exists [/mm] r [mm] \in \IZ [/mm] : c*r=d aber zum Zweiten kann ich (leider) nichts sagen. Z[i] haben wir definiert als den Integritätsring der ganzen Gaußschen Zahlen. [mm] \IZ[i]=: [/mm] a+bi : a,b [mm] \in \IZ [/mm]


Bezug
                        
Bezug
c|d in Z <=> c|d in Z[i]: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 10:00 Fr 08/04/2016
Author: fred97


> > Was bedeutet es, wenn [mm]c\vert d[/mm] in [mm]\IZ[/mm] bzw. [mm]\IZ[i][/mm] gilt?[/i][/mm]
>  
> [mm]c\vert d[/mm] => [mm]\exists[/mm] r [mm]\in \IZ[/mm] : c*r=d aber zum Zweiten kann
> ich (leider) nichts sagen. Z haben wir definiert als den
> Integritätsring der ganzen Gaußschen Zahlen. [mm]\IZ[i]=:[/mm] a+bi : [/i][/mm]
> [mm][i]a,b [mm]\in \IZ[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]

1. Mach Dir klar, dass [mm] \IZ [/mm] in  [mm] \IZ[i] [/mm] enthalten ist.

2. Wie in jedem Ring: sind r,s [mm] \in \IZ[i], [/mm] so hat man

    r|s  [mm] \gdw [/mm] es ex. t [mm] \in \IZ[i] [/mm] mit s=tr.

Mit 1. und 2. solltest Du sehen, dass die "Hinrichtung" eine Trivialität ist.

FRED


Bezug
                                
Bezug
c|d in Z <=> c|d in Z[i]: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:30 Fr 08/04/2016
Author: Johnny1994

So?

"=>" Seien a,b [mm] \in \IZ [/mm] => [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IZ [/mm] : a+bi [mm] \in \IZ[i] [/mm] => a,b [mm] \in \IZ[i], [/mm] da a|b [mm] \in \IZ [/mm] => [mm] \exists [/mm] q [mm] \in \IZ[i] [/mm] mit b=a*q => da a,b [mm] \in \IZ[i] [/mm] => a|b [mm] \in [/mm] Z[i]



Bezug
                                        
Bezug
c|d in Z <=> c|d in Z[i]: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 10:39 Fr 08/04/2016
Author: fred97


> So?
>  
> "=>" Seien a,b [mm]\in \IZ[/mm] => [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in \IZ[/mm] : a+bi [mm]\in \IZ[i][/mm] [/i][/mm]

Hä ? a und b sind doch fest gewählt ! Wieso dann [mm]\forall ......[/mm] ?


> [mm][i]=> a,b [mm]\in \IZ[i],[/mm] da a|b [mm]\in \IZ[/mm] a|b [mm]\in \IZ[/mm] ist doch völlig sinnlos ! Was bedeutet denn a|b ? Das: "a teilt b". > => [mm]\exists[/mm] q [mm]\in \IZ[i][/mm] mit [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]b=a*q => da a,b [mm]\in \IZ[i][/mm] => a|b [mm]\in[/mm] Z[i] [/i][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][i][/i][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][i] [/i][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]


Nein ! Das ist ziemlicher Murks.

Seien a,b [mm] \in \IZ [/mm] und es gelte a|b in [mm] \IZ. [/mm]  Somit ex. q [mm] \in \IZ [/mm] mit b=aq.

Da a,b und q auch Elemente von [mm] \IZ[i] [/mm] sind, haben wir: a|b in [mm] \IZ[i]. [/mm]

FRED

Bezug
                                                
Bezug
c|d in Z <=> c|d in Z[i]: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:56 Fr 08/04/2016
Author: Johnny1994

Für die Rückrichtung habe ich folgendes:

c|d [mm] \in \IZ[i] [/mm] => [mm] \exist [/mm] q [mm] \in \IZ[i]: [/mm] c*q=d => c=:(c+di), d=: (d+ci) und q=: (q+ri) => (c+di)*(q+ri)=(d+ci) => c|d [mm] \vee [/mm] q|d => c|d [mm] \in \IZ [/mm]

richtig?

Bezug
                                                        
Bezug
c|d in Z <=> c|d in Z[i]: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 11:08 Fr 08/04/2016
Author: fred97


> Für die Rückrichtung habe ich folgendes:
>  
> c|d [mm]\in \IZ[i][/mm] => [mm]\exist[/mm] q [mm]\in \IZ[i]:[/mm] c*q=d

=> c=:(c+di), d=: [/i][/mm][/i][/mm]

> [mm][i][mm][i](d+ci) und q=: (q+ri)[/mm][/mm]


Was ist das denn ????? Was machst Du da ???



>   [mm]=> (c+di)*(q+ri)=(d+ci) => c|d [mm]\vee[/mm] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]q|d => c|d [mm]\in \IZ[/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]richtig? [/i][/mm][/i][/mm]

Nein !

Seien c,d [mm] \in \IZ [/mm] und es gelte c|d in [mm] \IZ[i]. [/mm] Dann gibt es ein q [mm] \in \IZ[i] [/mm] mit d=qc.

q hat die Form q=a+bi mit a,b [mm] \in \IZ. [/mm] somit haben wir:

  (*)   d=(a+bi)c=ac+bci.

Die linke Seite in (*) , also d, ist reell. Damit ist auch die rechte Seite in (*) reell, folglich muss bc=0 sein. Wir bekommen:

   d=ac (mit a [mm] \in \IZ) [/mm]

Das bedeutet:  c|d in [mm] \IZ. [/mm]

FRED


Bezug
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