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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - dgl, 1 ordnung,nonlinear
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dgl, 1 ordnung,nonlinear: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:32 So 06.03.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Lösen Sie x'(t)= x(1-x) - c.

Hallo,
Die Aufgabe bereitet eigentlich keine Probleme. Aber ich frage mich wie man auf die Lösung von wolfram alpha kommt:https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%28t%29%3D+x%281-x%29-c

Kurzform meiner Lösung:
f(x(t)):= x (1-x)-c
[mm] \int \frac{dy}{f(y)} [/mm] dy = [mm] \int \frac{x'(t)}{f(x(t))} [/mm] dt = [mm] \int [/mm] 1 dt = t +k
[mm] \int \frac{dy}{y(1-y) -c}=\int \frac{dy}{(y- \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2})(y- \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2})}= \frac{1}{\sqrt{1-4c}} ln(\frac{y - \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2}}{y - \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2}}) [/mm] hab ich mittels Partialbruchzerlegung gelöst  
Nun habe ich das invertiert für eine explizite Lösung:
y= [mm] \frac{- \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2} e^{- \sqrt{1-4c}(t+k)}+\frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2}}{1 - e^{- \sqrt{1-4c}(t+k)}} [/mm]

Wie kommt der tangens zustande?

LG,
Sissi

        
Bezug
dgl, 1 ordnung,nonlinear: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:16 So 06.03.2016
Autor: leduart

Hallo
[mm] \sqrt(1-4c)=i*sqrt(4c-1) [/mm]
und dann die def von tan durch die [mm] e^{ix} [/mm] Funktionen
ich habe aber nicht nachgerechnet
Gruß leduart


Bezug
        
Bezug
dgl, 1 ordnung,nonlinear: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:38 Mo 07.03.2016
Autor: fred97

Ist etwas über c bekannt ? Ist c>1/4, so kommst Du mit Deiner Lösung ins Komplexe und dann ist es überhaupt nicht klar, was [mm] \ln [/mm] sein soll

FRED

Bezug
                
Bezug
dgl, 1 ordnung,nonlinear: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:17 Mo 07.03.2016
Autor: sissile

Hallo
Ich habe:
$ [mm] \int \frac{dy}{y(1-y) -c}=\int \frac{dy}{(y- \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2})(y- \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2})}= [/mm] - [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2})} [/mm] dx + [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2})} dy=\frac{1}{\sqrt{1-4c}} ln(\frac{y - \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2}}{y - \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2}}) [/mm] $
für c < 1/4.


Wenn nun c>1/4 ist, kann ich den letzten Schritt so nicht durchführen:
- [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2})} [/mm] dx + [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2})} [/mm] dy=- [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 - i \sqrt{-1+4c}}{2})} [/mm] dx + [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 + i \sqrt{-1+4c}}{2})} [/mm] dy=
[mm] \frac{1}{i\sqrt{-1+4c}} [/mm] *[- [mm] \frac{1}{\frac{1}{2} ln (\frac{y^2-2y+4c}{4})+ i arctan(\frac{\sqrt{-1+4c}}{2})+2k_0 \pi}+\frac{1}{\frac{1}{2} ln (\frac{y^2-2y+4c}{4})+ i arctan(-\frac{\sqrt{-1+4c}}{2})+2k_1 \pi} [/mm] ]

Nun ist doch arctan(-x)=-arctan(x). Dementsprechend kann ich das Minus herausziehen bei letzten nenner.
Das scheint aber nicht sehr zielorientiert für die Lösung der Dgl zu sein! Außerdem bin ich mir unsicher ob das überhaupt simmt..
Über c weiß ich leider sonst nichts.

Bezug
                        
Bezug
dgl, 1 ordnung,nonlinear: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 Mo 07.03.2016
Autor: leduart

Hallo
du hast zu integrieren [mm] 1/(y^2-y-c)=1/(y-1/2)^2-(1/4+c)) [/mm]
durch Substitution [mm] 1/(u^2+1) [/mm] oder [mm] 1/(u^2-1) [/mm] je nach vorzeichen von 1/4+c
im ersten Fall kommst du auf arctan(u) im zweiten auf ln((x+1)/(lnx-1))
also je nach c 2 verschiedene Lösungen.
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
dgl, 1 ordnung,nonlinear: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:23 Mo 07.03.2016
Autor: sissile

Vielen Dank für den Tipp. Ich war zum Ende hin wirklich etwas verwirrt wie ich das nun lösen soll. Es war zwar eine kleine Rechnerei aber mit deinen Lösungsvorschlag einfach runterzurechnen.

LG,
sissi

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